IIJ

e( d'où résultent autant de formes difTércntes pour les expressions

' r-- Cela posé, nous aurons suivant chacun de ces six cas ces

équations

' \a-hbtû/ ^ '

<IH) or r- ) = :^* »

^\a-{-boi/ 9(0)) *

' /c-r-d{»}\ ©(iO) .

*\rt-»-6o)/ çCw)

Nous rappellerons encore cette propriété fondamentale, qu'en désignant par n un nombre premier et posant

vet Cl sont liés par une équation de degré /? -H i , qui présente ainsi un type nouveau d'équations algébriques dont les racines se séparent analjtiquement par l'introduction d'une nouvelle variable. En di*signant, eu effet, par £ un nombre qui soit i ou — i, suivant que 'A est résidu ou non- résidu quadratique par rapport à /i, les n — I racines // seront

lit .

■cH

, , / co -h 1 f) /w \ Eç(/itu) et ç( jj

m étant un nombre entier pris suivant le luodule n (*). Mais, sans in>i*ler ici sur les autres propriétés remarquables des équations nuMiulaires. je m'attacherai seulement au Tait si important annoncé p^r (ialojs. et qui consiste en ce qu'elles sont susceptibles d'un

) L» di-lerininalioii de t n été donnée par M. Sohnko dans un excellent traçât! pul»lié dans le Tome IG du Journal de CrcUe sou» le titre : jEquationes mwiidares pro transformatione functionum ellipticarum.

lO (KL'VRES DK CHARLES HERMITK.

abaissement au degré inférieur d'une unité dans les cas de

/i = >, w — 7 ei /i = II.

Bien que nous ne possédions que quelques fragments de ses travaux sur cette question, il n'est pas difficile, en suivant la voie qu'il a ouverte, de retrouver la démonstration de cette belle proposition; mais on n'arrive ainsi qu'à s'assurer de la possibilité de la réduction, et une lacune importante restait à remplir pour pousser la question jusqu'à son dernier terme (*). Après des tentatives qui remontent à une époque déjà éloignée, j'ai trouvé que dans le cas de l'équation modulaire du sixième degré

on y parvenait aisément en considérant la fonction suivante :

*-"-f'<'»'-tf?)][.(^«)-.("-i^)]

[/ta -^ 1.16 \ /un-3.iô\1

Eflecti veulent, les quantités

i>(co), «|>(to -h 16), <l>(co -h2. 16), i>(a)-|-3.i6), i>(to-h4.iG)

sont les racines d'une équation du cinquième degré dont les coefficients contiennent rationnellement o(w), savoir :

Or on voit qu'on ramène cette équation à celle de M. Jerrard en faisant simplement

car il vient par là

•A i-h9*Cto) X^ — X - - — -^ — = o.

(*) Postérieurement à mes premirres recherches restées inédites, mais dont les résultats avaient été annoncés {Œuvres de Jacobi, t. II, p. q49)» "" géomètre italien distingué, .M. Betti, a publié un travail sur le même sujet dans les Annales de M. Tortoiini,

RKSOLtTlON DR l'ÉQUATION DU GINQUIBMK DEGHË. Il

Donc, il ne restera plus, pour arriver à l'expression des racines de

tVquation

par la fonction 4>(co), qu'à déterminer co ou plutôt cp(co) parla condition suivante :