II. — Formules pour l'addition de deux arf(uments

Nous a|>pIiquerons les théorèmes précédents au cas de trois aruiiincnts ai, x^ et a,, en supposant le dernier égal à zéro, et nous pn/ndrons

On remarquera alors que, dans le cas de z = sinamx, Téqua-

190 0BUVRB8 DB CHARLES HKRMITE.

Par voie d'addition et de soustraction on en conclut

2 sin am X| cos am 3s A am S]

sin am («1 -h aj) -h sin ain(ai — aj)= ,. . ^ r-r; i

'2 cos am ai co$ amas

cos am («1 -h aj) -h cos ain (ai — if) = ,, . . r-r 9

\ \ 1 x/ \ 1 1/ j — A-* sin* amai sin'amaj

•2 A amai A amaj

Aam(ai-haj)-i- Aam(ai — aj)= . r-; •

^ I — A:* sin* amai sin* amat

t2sin amat cos amai Aamai

sinam(ai+a«) — sin am(ai — aj)= ,, . r-r >

^ ' I — A-*sin*ama| sin* amat

, , , , ^ -^sin amai sin ama* Aainai Aania^

cosannai — aj)— cosam(ai-i-at)= ,. . , r-r »

) \ 1 ï/ I — A* sin* amai sin*amaj

2Â-* sin amai sin ama* cos amai cos amsi

Aam(^ai — a,)— Aain(a|-i-a,)= .^ : , :— ; •

I — A* sin* amai sin* amat

Les trois dernirres équations, en faisant

ai -+- ai = OTj «1 — a, = a,

conduisent à déterminer toutes les valeurs de x, qui donnent

sin am^r = sin ama,

cos amo: = cos am a,

A amx = Aama.

Ainsi, dans le premier cas, on reconnaît que toutes les solutions sont données par celles des équations

sin am = o ou x.

cos am = o,

A am = o.

On en conclut immédiatement, d'après les formules données page 143 pour les racines des équations

e(T)=o, Uix) =-.(), e,{jr) = o, Hi(a:) = o,

qu'on a

\x= a -h 4/nK -H am'i'K',

I X = — a -h { ^ m -h •2)K -^ •! m' îK' : de même, pour

cos am^: = cos amA,

on obtiendrait

I j- = = rt -!- ( 4 m -+- -2 ) K -h ( 4 w' -H -2 )i K',

ou plus simplement

X = ± rt -f- 'i //i ( K -^- i K' ) -i- 4 wi' I K', H pour

Aam.r = 1 ama,

ar = -±:a -h 'imK -h ^m' ÎK'.

Dans ces formules m et m' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.

Les formules pour l'addition de deux arguments donneraient

lit*u à beaucoup d'autres remarques; je me bornerai ici aux ré-

^ultats relatifs à la duplication et aux valeurs que prennent les trois

fonctions lorsqu'on suppose l'argument égal à une demi-période.

Le*» premières découlent des formules fondamentales, qui donnent

immédiatement

'2 sin aina cos ama Àama

sin am 'i a -= ,, . , »

I — a:' sin* ama

I — 2sin* ama -h A:* sin* ama

cos amia =

A ain'2 3 =

I — A'* sin* ama '

I — 2A** sin* ama -h k* sin* ama ï — A* sin* ama

et Ton en déduit les valeurs suivantes, qu'a données Gudermann

..Kl /K' I sin am — = , , 1 sin am = — =»

K s/'k' ' iK' /i-hA- ' cos am — Œ . , { cos am = — ,- -

'1 y/T^TÂ' ^ y/k

Aam — = ^k' ; [ A am = ^V-hT;

I ,in,n.(^:r.K'^ = ^, i sin an. (k ± !^) = -±,

f iam( |3:iK'j = ^:iv/^': f A am ^K ± '-^j = 4/1 - A ;

193 OEUVRES OK CHARLB8 UKRMITE.

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