I -r- aj A* amx -H . . . -h /<j A*"* aniar

Tous les coefficients dans ces diverses formules sont des fonc-

lions rationnelles et entières de A*^, et Jacobi a donné pour leur détermination, dans le cas où n est impair, le théorème suivant :

Soient

simamx = -— , s\i\aïïï{ nx) = —r et 11 = 77»

Pf»^ Q étant des polynômes entiers en u\ si Von fait

ces deux polynômes satisferont à C équation linéaire aux difprences partielles que voici :

dz

d^z dz

-T- (I — a M* -h a* ) -j— T = in* (ai* — 4 ) -#- • du* doL

Sur les intégrales de seconde et de troisième espèce.

Dn V est amené par la considération de l'intégrale

/ F(siiiam.r, cosaiiiJ^, lauijr) dx.

où F désigne une fonction rationnelle (juelconque, cl qui va mainlenant nous occuper.

Soit, comme précédemment,

u = si II aiii j:*, ç = cos ainj7, w = 1 amx.

On reconnaîtra d'abord qu'elle peut être réduite à la forme

/ (A-f- Hv -h Cw -^ Dvw) dx^

où A. B, C, D sont des fonctions rationnelles de la quantité u. Il rn résuite ({ue la première partie

\dx H. - II.

proporlionnel à la variable : c'est donc seulement Je dernier qui met encore en évidence une fonction nouvelle, que nous étudierons sous la forme

r A u^ dx J I — aa* au lieu de

r dx J I — a M»

En faisant

a = A' sin* anin,

A= - -7- AT* sin aiiiei cos ama Aama, •>. da

nous poserons

'*" /r' sin ^n\a co« ama Aain a sin* t\TïïX,dx

I — A* sin* ama sin'aitij:

et celle ex[)ression sera désormais pour nous la fonction de iroisième espèce,

I. — Expression par 6(.r) des intégrales de seconde et de troisième espèce.

Nous avons précédemment établi la relation suivante :

. ^ . ,^ ^/siii ain.r ^, HiJ* — a,)H(> — asiH(jr — a,)

siii ainvf'( siii* iim j^-h A > -*- B ; =C — t.

dx O' ( X )

OÙ les coefficients V et B s'expriuienl par a« et Xj en posant

. ,v ^/sin amai

siii ain ai ( sin- aiii ai -h A ) -4- H -. = o,

aai

Sin ain ajl siii- aiiiaj -h A ) -f- b 7- ^ o.

r/sin ama]

Soil

a, = — aj = a,

cl, par suite,

d'après la condition

a, -t- a^ -î- aj =0,

on trouvera

h =r o. A= — sin*ama,

THEORIK DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. I97

el. par conséquent,

,., ., , ^ H(ar-f-a)H(x — a)H(^) sinanix(sin* am^ ^ sins ania) = C ^— r-^ — — ^^ — -»

Déterminant C en faisant ;r := o, il viendra enfin

e*(o) H(x~ha)H(x — a)

8in* amx — sin* ama =

keHT)e*{a)

Celte relation importante prend, si l'on change a en ^ -f-iK', celle nouvelle forme

I — A* siniam^ sin* amx = —~, : »

à laquelle on parviendrait encore d'une autre manière en employant l'ideniilé

i Hi X -h a) Hf X — a)

T TT, ^ = sin am( j^ -h rt ) sin am(T — o)

k S(x-^a)iè{x — a) '

sin* iiim* — sin' aiiirt

~" I — A' sin* anirt sin* amx

Elle donne, en prenant les logarithmes de deux membres,

lojg;, I — A» sin« ama sin* amx) = logB*(o) -+- lo*;«0 h- a )

-1- logera:— -a )— ilogecj^) — -^logefa),

et de là on lire immédiatement, en ditlérenliant par rapport à a et en intégrant ensuite par rapport à x,

/' A* >\\\ ama ces am<ï Aaiiir/ s I — A* siii* ama sin* i

A* >\\\ ama ces am<ï Aaiiir/ sin* Axwxdx

am:r

«(rt I , ^{x — a) = n(.r, a; = j» 1 loc ^^^ ;

rVsl l'expression analytique découverte par Jacohi de la fom^tion de troisième espèce. En divisant par/'/ et su|)posant ensuite a^=-o^ on en déduit

/ A« sin* amjr^j^ = Z(x) = ^j" —

ou

Il l'on a posé

g — 47^ -H 9 7'^ — HW/"^ H- l'iif^-^ —.

194 (KtVRKS DR CHARLKS HKRMITB.

demande seule un examen attentif, car, à i^égard des deux suivantes, l'intégration s'effectuera par les règles relatives aux radicaux carrés du second degré, en prenant u pour variable indépendante, et la dernière se trouvera même ainsi ramenée aux fonctions rationnelles. C'est donc seulement dans l'expression

/ Kdx que l'on peut s'attendre à voir résulter de l'intégration des

fonctions nouvelles, et que les considérations suivantes vont mettre effectivement en évidence.

Soit

<f et *}^ désignant des polynômes entiers; en multipliant par^( — u) les deux termes de la fraction et faisant

<p( a ) <}'( — a ) = <!>( a* ) -h M <l>, ( a» ), on décomposera l'intégrale proposée dans les deux suivantes :

dont la seconde se ramène encore aux radicaux du second degré, puisqu'en faisant u^ = t elle devient

Il y a donc seulement lieu de s'occuper de la première, qu'on fera dépendre, en décomposant en fractions simples ? — r-> de termes tels que

OU bien

et ces termes sont eux-mêmes réductibles, comme on va voir, aux cas les plus simples de // = i , /; ^ i .

THÀORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 196

Parlons en premier lieu de la relation du*** j

qui différentiëe donnera

(Lr^

En întéjjirTant par rapport à x les deux membres de cette équation, on lrou\era celle formule de réduction

-^ = mi m — I) I u**^^dx — m*(i-hk*) I u"^dx-hm(m-hi)k* [u'**-^^dx,

qui montre commenl de proche en proche on ramènera Pintégrale proposée où m := 2 aj, aux seuls cas de /i = o, /i = i .

Le premier donne un terme proportionnel à la variable, et c'est le second qui conduit à un nouvel élément analytique, dans la iliét>rie des fonctions elliptiques.

Ku introduisant comme facteur constant le carre du module, nous poserons

c»- sera re que l'on nomme et ce que nous appellerons dorénavant la fonction df' seconde espèce,

Partons en second lieu de la relation

, / I -h X« 3 A-* \ r dx

qu'on trouvera identique par la différentialion. Il est clair que, de proche en proche, elle fait dépendre le cas le plus général des trois Miivnnts où l'on suppose /> ^ — i , y^ = o, /> = 1 . Le premier nous r4fiji»ne à la fonction de seconde espèce, le second donne un terme

proportionnel à la variable : c'est donc seulement le dernier qui met encore en évidence une fonction nouvelle, que nous étudierons sous la forme

J I — a M* au lieu de

r dx ./ I — aw* En faisant

ot = k^ sin* ama,

A = — T- A» sm am a cos aiii a A am a, >. da

nous poserons

'" X'- pin amflr cos am« Aain a sin* ^mx .dx

II(j-, a) = I —

I — A* sin* amn sin*amar

et cetle expression sera désormais pour nous la fonction de troisième espèce.

I. — Expression par B(x} des intégrales de seconde et de troisième espèce.

Nous avons précédemment établi la relation suivante :

. „ ^ r/sinainjr ^\\(x — a,)H(d^ — a2»H(> — a,)

sin am^'(sin* am j'-h A ) -h B -i = L -r- ^— ,

dx H* ( X )

on les coefficicats A et B s'expriment par a^ et 7.2 en posant

. „ d*^\i\ ama, siii am 3(|( sin* ainai -h A ) -h B -z =0,

. <ysin amaj sin am a* ( sin^ am a* -+- A ) -♦- B ; = o.

Soit

a, = — a^ = rt,

Cl, par suite,

a, = o ; d'après la condition

a, -t- a^ -}- as = o,

on trouvera

B =r o. A= — sin^ama,

el, par conséquent,

sin anij^(5in2 amj; ^ sin> ama) = C — : : — ^^ — -*

Dt^termînant C en faisant j: = o, il viendra enfin

e^(o)}\{x -^ a)H(ar — a)

sin* amx — sin* ama =

Celte relation importante prend, si l'on chau{^e a en a -i- / K', celle nouvelle forme

I — A* sin'anriflr siii* amr = r— -r »

ià laquelle on parviendrait encore d'une autre manière en employant l'identité

i Hi T -i- a)H' T — a)

y — — = sin ain ( X -+- <7 ) siii am ( t — a )

<;in* nmx — sin* aiiwi

~ I — X* sin* ama sin* amar Elle donne, en prenant les logarithmes de deux membres, |,>jf, I — X-* sin* ama sin* amx) = logt^*(o) -r- logH(\r -h a )

el de là on tire immédiatement, en ditVérentiant par rapj)ort à a et en intégrant ensuite par rapport à j?,

z"^' A* *iii ania cos ama lama sin* aiujrdx J^ I — A'* sin* aiiia sin- ani.r

e'(rt) I e(-r — /?), -= \\{x.a) -= X — loi; ^^ ;

rVsi Texpression analytique découverte par Jacohi de la fonction <l«* troisième espèce. En divisant par/7 el supposant ensuite a=o, on en déduit

A* sin* anix (ix — Zix) = ;:r ^ »

où Ton a posé

IQB oeuvres de CHARLES IIERMITE.

c'est Texpression donnée également par Jacobi de la fonction de seconde espèce et qui va nous conduire aisément à ses propriétés fondamentales.

n. — De la fonction Z(x).

La première de ces propriétés est de n'avoir qu\ine seule el unique détermination pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable. C'est aussi ce qui résulte directement de la considération de l'intégrale

/A* sin* ani zdz.

En effet, pour Tune quelconque des racines de l'équation

sin am2

savoir

le résidu correspondant de A*** sin^ am 5, c'est-à-dire le coefficient

de - dans e

A'« sin* am [ 2 m K -h ( '1 m' -H I ) £ K' -h t ] = -r-; »

^ sin'ame

s'évanouit, car sin''' ams ne contient que des puissances paires de e dans son développement. F^'inlégralion, quel que soit le chemin décrit par la variable z, ne donnera donc qu'une seule et unique détermination. Nous pouvons ainsi poser sans aucune ambiguïté, en adoptant les dénominations de M. Weierstrass,

J = / k* ^'in* am xdx^ • 0

/J'= / k'^ s'in* am xcLc.

Ces quantités se nomment ies fonctions complètes de seconde espèce et sont liées à K el K' fonctions complètes de première es-

pèce par la relation que nous avons déjà mentionnée

KJ'— K'J = -

et que nous allons maintenant démontrer. A cet effet, faisons successivement

z = K-+-*K', dans l'équation fondamentale

La première substitution donnera tout d'abord car on a

Pour la seconde, nous partirons de la relation donnée page i43 :

et d'où Ton tire

loge,(a7H-*K') = logH,(:F)— 1^ (-237 -4- iK'). En différentiant par rapport à x^ on en déduit

e,(a:-hiK') "" Hi(a:) aK*

Maintenant, si l'on fait j: = o, la dérivée de la fonction paire H 4 {x) s'évanouissant, il viendra

e,(iK') - e(K-h /K') "■ 2K' On en conclut

Z(K-+-«K') = Ç(Kh-/K')-4- -!l