I -+- O'fco

Soit, pour simplifier,

et prenons pour Inconnue ©*(w) ou le module k lui-même de l'intégrale elliptique; on parviendra à une équation du quatrième

A* H AU» -f- JiX* — AU H- I = 1»,

qui est susceptible d'une solution analytique sous le point de vue précisément où nous sommes placé en ce moment, car, en faisant

on trouvera ces expressions des racines

, 1 1 -h -àtz t. — a îit — a

Ar = laiig-, laiij,- , laii- — -— , lang —

Fai?ant <*hoix de l'une d'elles pour module, afin d'en déduire la \alfMir correspondante de w, on aura, pour les racines de l'équation de M. Jcrrard, ces valeurs de x

I «t> ( eu ) I <^ ( 0) -r- I H ) I «l> ( eu -h '2 . 1 6 )

I '^(to-i-{.l6) I 'Kw f-4.i6)

C'est donc la résolution de l'équation, en tant que les racines se lr.*u\ent représentées séparément par des fonctions uniformes. <^>uanl au calcul numérique, la convergence extraordinaire des "rric* qui figurent au numérateur et au dénominateur de 'f (w) le rendra Irês» court, même dans le cas où rj sera imaginaire, car on

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sait que son module peut toujours être abaissé au-dessous de la

limite e ^ * ^ u ,o658* On peut aussi faire le développement suivant les puissance!^ ascendantes de y, ce qui donne, en posant pour

simplifier y* ^ i|,

et Ton trouverait, pour le rarrt^ et le cuhe de 4>(ù)),

4i»{ u*) == /î^ V%* ( I H- 3 q — 5t q* ^ fi q^ — ^2^ n* — 79H* "h , * , ),

La première des séries entre parenthèses uianque des puissances de ïj dont l'exposant est ^ f, mod 5, la deuxième et la troisième .des puissances dont les exposants sont respectivement = 3 et ^ a, mod 5. D'ailleurs le clian^emeni de tu enci>-h i6m reviendra a multiplier la quantité f) par les diverses racines cinquièmes de Fiiuité*

f observerai enfin que le système des ciaq fondions <ï>('"j-l-ït3^it)

possède^ par rapport aux substitutions r— qui appartiennent a

hi première classe, des propriétés toutes semblables à celles de ç(ti>). Effectivement, en faisant, pour abréger,

on trouvera, par exemple,

i Tiff

rindice du troisième degré en wi étant pris suivant le module 5>

Dans Tune des procliaines séance s -^ j'aurai rbonneur de préseuter a l'Académie les résultats analogues aux précédent?^ et auxquels je suis parvenu, pour la réduction de l'équation modulaire du huitième degré au septième et de réquation modulaire du douzième degré au onzième.