X:*K^ . . uKa? CK* /vcos'ji.r 'i^^cos.^a: 3<7'cosGa

-sin»am = îî— -— (i — -+- -l 1 ^ ^ ^... ).

Mais c'est à sinamo;, cosainj?, Aainj:* ([u'il s'agit de j)arvenir, et le même procédé s'aj)))liquerail, s'il était possible de les considérer comme les dérivées logarilhmicpies de fondions décomposablcs en fac'leiirs ainsi que 6(x). Or, on a, en effet,

, . f/lof;( A aiiirr — Xcosamj')

A 5111 am X = ^^ -, ,

dx

., é/Ioj;( A am j:-+- //• sin amx)

f A (!< js am X = ^^ , ■ y

dx

^lo" ( iM»s \\\\\x -4- / sin am j')

/Aam^ — , -,

THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 'liy

e{ les quantités sous le signe logarillunique s'expriment comme il >uit :

aKjT , xKar

\ am A- ces am

(i — 1 \/q cosx -h q)(l — '?. \J q^ cosar H- 7')(i — i ^q^ cosar -f- q^),..

(i -»-a ^q cosjr-h q){\-^'X ^q^ cosa:-^ q^) (i -h 2 yfq^ cosir -h <7*)...

A ani — — h ik sm am ^

__ ( I — îi v^— ^ sin X — ij)\ I — '2 v/ — <7^ sin a: — 7')( 1 — •>■ v/ — 7* si n :r — 7*) • • • (i-f--2V^ — ^sinx — 7)({-t-a/ — (jr'sinar — </5)(i-t-2v^ — 7* sin a: — q^) ."

^Kx . . aKx co< am h i sin am

e^i^(\ — qe-^i^){\ — y^e»*'-^) (i — ys e-»^-^ ) . . . ■" (I — 7e>'-*)(i — <75e-«'J^)(i — <7«e«^*)... '

«le sorte qu'un c^ilcul tout semblable à celui qui a été fait précétiomment conduit aux formules suivantes :

XK . 'iKx i/</sina? i/^ sin 3 a: Jq^%\i\^T

— sin am = —^ h ^^-^ ; h !-î : h . . . ,

XK 2KiF i/^cosjr v^ûr'cosS:?' v/<7*cos5ar

— cosam = ^^ h ^-^ ; h ^^-^ 1^ h...,

2z ir ^-^9. 1-4-7' H- 7*

K , 'xKt I 7C0S2.r ^/^cosjjr 7'cosGa;

— Aam =7-*-i 7--^' -z- -^ ^ T- -+-

<^hiant aux expressions des quantités

A amar — k ces am x, A am X H- iX: sin a m x, ces ama: -i- «sin ama;,

•lonl nous venons de nous servir, nous nous bornerons à établir I une d'elles, la même méthode s'ap[)liquant aux autres, et c'est la «It'rnière que nous choisirons, les précédentes se trouvant dans les Vundanienta, car elles se tirent de l'équation (5), paj^e 8(), en y rliiin«;eant j>onr la première jr en ^^ — x et pour la seconde q en — y. \ cet edet, soit pour un instant, comme pa«;e i4o,

21 8 OEUVRES I>K CHARLES IIERMITK

l'expression (|u'il s'agit de démontrer égale à

cos amor-H i sin ama* prendra cette forme

d'où l'on voit qu'on la ramènera déjà à avoir B(x) pour dénominateur en multipliant les deux termes par

Ao( — ir-+-«K')^(ar-*-3*K')ç( — ar-+-5*K')...,

\ désignant une constante. Faisons donc

on aura évidemment

*l>(ar-+-'2K) = — *(x), et, en second lieu,

Or on satisfait de la manière la plus générale par des fonctions entières au\ deux conditions

*(3rH-2K) = — *(x),

*(a:-+-4tK') = *l>(x)e k *••"*■ ' \ en prenant

*(xi = CII{>)-f-Gin,(a7),

de sorte (ju'on peut poser

^^«^ o(— .r-4- tK')o(a7-h 3/ K')o( — ar-^ 5eK'), ç(y -H £K')<p(— .r -+- 3«K') ç(ar-h 5«K'). . .

= A cos amx -h «B sin ama*,

en désignant par A et B des constantes, ((u'on déterminera par une hypothèse particulière. Soit par exemple x = o et x = K, on obtiendra iuiincdialement A= i, B=i, ce (|ui démontre notre formule.

A celte occasion, je remarquerai que la manière la plus générale de salisfaire par des fonctions entières aux conditions

Ij;E,.,.^4.-K')

( «I>(ar-f-4«K') = *(a:)c""K

qui comprennent les précédentes, est de prendre avec quatre constantes arbitraires

*(ar) = Ae(a?}-t-Bn(a7)-f-Ce,(x)-f- DII,(ar).

Cette expression qu'on voit a priori être solution, par les relations de la page 16 1, est cfTectivement la plus générale; car, en supposant

mi'KJr

ou plutôt

la seconde de ces conditions conduira a poser

ce qui ne laisse bien subsister que quatre constantes arbitraires dans l'expression de ^(x).

II. — Des séries précédentes ordonnées suivant les puissances de q.

Ces développements se sont oHerts d'eux-mêmes dans ce qui précède; ainsi, avant d'elFecluer la sommation des progressions géométriques, a-t-on obtenu par exemple :

-— - siii aiii = sinjr ^q {\ -\- q -r </' H-. . .)

H- sin3x v^ (1 -+- 7' -+- <7* -h...) -h sinSa? ^7* (1 -h ^* -f- <7*°-i-. . . )

= sin-r y^ /y*"»-*-»

-+- bili 3d: ^ y/(jAKim^\i -h ^i^ 5.r ^ /y* «/'«*i)

Jt'lO (IKUVRKS DK CllAlil.KS IIBRMITE.

OU hicn, sous la forme (Tune somme doiihlc,

- — siii am ^ '- = V sin(7|x-+- i) /<yiîH'H-iHi/«-+-iJ.

Faisons donc

M re))résenlera tous les nombres Impairs, et le coefficient crun terme quelconque \/^j dans la série, sera la somme de toutes les ({uanlités sin(a[jL-t- i)j7, où 2[jL-f- 1 est un diviseur de M. Kl, comme tout diviseur d'un nombre impair est lui-même impair, on pourra écrire plus simplement, en désignant j)ar jjl un diviseur de M,

D'une manirre toute semblable on obtiendra

M 1 __ pi-l

cos am

-^3— = ^^ (— 1) * /^ 7 ( — i) * cos'xx.

A l'égard de Aamj7, si Ton désigne par N = 2^M un uouibre entier (pielconcpie, :i^ étant la |)uissance la plus élevée du facteur 'a (|u'il contienne, de sorte que M soit impair, on aura

— Aam = - -h 7 (— I) 2 ^\ ^ (|, i cosièV-Hijxj-,

OÙ a représente couiine précédemment tout diviseur du nondjre impair M. Il est impossible de ne pas être frap))é du cararlère arilluuéti(|ue de ces expressions

N^ sin jij