UL

I) * cos ;jix, a I

(»lles oflrenl un exemple d(*s fonctions numcrif/urs tpii ont été le sujet des belles reeluM'cbes de M. Liou>ille. et la manière siuiple dont elles sont anuMiées par la théorie des fom^tion»^ ellipti(|ues peut aisément faire présumer le rôle dt» cette théorie dans Tétude <le> propriété> de> ncunbres.

III. — Vérification des équations différentielles fondamentales,

Dt}si«;nons par m cl m* tous les nombres impairs positifs el néiralifs, par lu leltre n tous les nombres entiers pairs et impairs; en |vosânt

~ âLl x — cj"^ * " 2d I H- (J"^' '

on ;nini

//K . o.Kx ,, sin nm = U,

— ces am = V .

K aKa-

— A am = \V .

Cl 'la pose, aux écpiations

^ sin ailler

d C09. «lin r

d \ muT

dT rorrr^ijHiiKlfnt eelles-ci

= cos ain:î' AaniJ-, = — sin am j^ Aam j*, — -- /»** sin am.r cos am.r,

dx dx dx

«pie nous nous proposons de vérifier.

C^MisitlrTons pour cela les j)roduits

Lv = y -^- — ^ -r »

Tt'll OEUVRES DE CHARLES IIERIIITE.

et observons qu'on a identîquemenl

wi'-4-l« m'4-ln

En posant

de sorte que M et M' soient des nombres impairs, et N un entier quelconque, on pourra écrire :

vw-V /y^^^'^'V ' ^^'-"' \

uv

Ces expressions étant comparées respectivement a y-> j— » -7—» on reconnaît qu'il suffit pour démontrer les relations difiereiitielles d'établir qu'on a, en supprimant les accents :

;:+. qts-mj

Le procédé à suivre pour cela étant le même dans les trois équations, nous considérerons, pour fixer les idées, la première. Distinguons, à vH ('flVt, les val(Mirs positives des valeurs négatives du

nombre m ; les premières conduisent a l'expression qu'en supposant M positif, nous écrirons

d*après les identités

les secondes, en mettant — m à la place de m, à celle-ci :

Vl-hçr-"* l4-g"*-»-"»/ -^\H-<7"» l-f-<7M+'"/'

de sorte qu^il reste la quantité suivante :

Mais, à partir de m = 2M+i, tous les termes de la première somme sont donnés par la seconde en signes contraires et disparaissent. Ainsi il ne subsiste plus qu'une série finie

2qtn—U l^qm-M' m=l

qur nous décomposerons comme il suit, en isolant le terme moyen, savoir :

Or, en remplaçant — — ;^^ apr ^r^i^ '*^ i)rcniière somme

#*St

• ~^ 1 -+-... -t- ïi — ; »