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(XUVKKS Itl^ MlAHt^â llgltMITK*

el ces divers Icnncs, respecltvemcnl ajotilL'S à cpux de la seconde,

savoir ;

donneront autiint de fub i unité qii d y a de Icnncs, c est-i'i-dire —^ — ; joignirnl à cela la fiaetioti - qui correspond au lerme du milieu, il vient en défini live

ce qui est bien le réstilut auquel il l'ai lait parvenir. Enfin, si Ton suppose M négatif, on observera que l'expression que nous avons considérée change de signe avec M, de sorte que

Xi \i*f- (/'" ~ I 4-i/M~»</ "'"^ \i-h(7'« ~ H-'/-**-"'/

En effet, si l'on met dans le premier membre #?î h- M au lieu dé ni^ tni (ditirndra identiquement le terme général de la série du second memlire.

Ajïres avoir ainsi montré par un exemple important de quelle manière les nouveaux développements peuvent, comme ceux qui ont servi de base a la théorie, conduire aux propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons présenter â un fjoinl de vue plus général la eomjiaraison entre les deux modes d'expressions, en donnant sous forme de série périodique simple une loncliiui uuîfornu^ quelconque à double ivériiMlo.

iV. — Dik'vfoppemeftt en x^rie de si/tus ei de co^ttins

il' nu*" fttnciitjn doublement périodique.

Nommons F (s) la fonction proposée, a et b ses périodes; voici

en premier lieu comment nous définirons les limites rie la variable,

entre lesquelles sera successivement représentée cette fonction,

par un développement en série de sinus et de cosinus qui mettra

en évidence, par exemple, la période a. Observons, a cet effet ,

que roîLpressidn

z = ni -h hu.

THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Xlà

en supposant réels t et //, peut représenter toute quantité imaginaire, et que, s'il s'agit d'obtenir toutes les valeurs que peut prendre F(3), il suffira, eu égard à la double périodicité, d'attribuer à / et {£ toutes les valeurs réelles comprises entre zéro et l'unité. Nous appliquerons cette remarque aux racines de l'équa-

lion =-: — = G dont dépendent les limitations que nous avons en

vue, et en suivant l'ordre croissant depuis zéro à l'unité des valeurs de tf, nous les désignerons par Ç|, Ça? • • •? ^ii ^^ sorte que Çi corresponde à u = w/. Cela posé, soit u/ une quantité comprise entre ui et «1^.1 ('), les limites exclues, l'expression

F(a/H-6ui)

ne pourra devenir infinie pour aucune valeur réelle de /, et donnera lieu par suite au développement

convergent quelle que soit cette variable. Par conséquent, si les quantités Ç/ sont en nombre égal à [jl, l'ensemble des \k séries suivantes :

z =1 at -k- hitj

représentera F(z) pour

/ riant quelconque, // moindre que Tunité, mais toutefois eu

«•\rliiant les quantités

al -+- bui,

af -i- biff.

at -h hu^.

: '; La (|uanlité u, pourra ùtre supposée comprise non seulement cnlrc i/, et /'-ro. nMi!4 encore entre zéro et la valeur négative de u la pluspetitc, abstraction f4itr (lu »ign<r.