II.— 11. ir

IJiaG OKL'VRKS DE CIIARLKS IIRRMITR.

Et si Ton reproduit pt'riodiqucment les mêmes séries, en faisant eroîlre // depuis Tunité jusqu'à l'infini, et décroître depuis zéro jusque'» l'infini négatif, on aura embrassé toute Télendue des valeurs imaginaires de l'argument et obtenu, sauf les restriclions indiquées, une représentation complète de la fonction. Cela bien compris, nous allons donner la détermination des quantités Am-

Pour cela nous emploierons la proposition fondamentale du calcul des résidus, exprimée par l'équation

Çï(z)dz = 2«i:A,

où le premier membre représente l'intégrale d'une fonction uniforme f(5), prise le long d'un contour fermé quelconque, et A la somme des résidus de i{z) pour toutes les valeurs de la variable, qui correspondent à des points renfermés dans ce contour. Cette proposition de M. Caucliy, appliquée au cas où le contour est un parallélogramme ayant pour affixes de ses sommets les quantités

P -^ Cl,

p -\- tt -^ b,

et pour écpiations de ses rolés ces relations où la variable croît de

zéro à Tunité, savoir :

-5 — /> -- a -^ bl^ z =z p -^ b -r- a {\ / ».

z — p -\ b{\ — / ), donnera

a I dp -^ al ) (il -h b I f ( p ^a -i bl ) dl .1 .1

— <7 y f|/>-^ /> » <ni — n|<// b I f[/>-i-/>(i — /)|<y/ - -^/tta.

ou pbis sinq)lement

\*f j Up — andI bf iip \ a-i- bl \dl

I ti I (i/> h ■ „n,/i — f> I r./>- />n,/t - >iT.i.

D'ailleurs, el d'après la signification précédemment indiquée, A représentera la somme des résidus de f (s) pour toutes les racines ^ de Téquation r— = o, dont les valeurs peuvent être représentées par la formule

en supposant / et a compris entre zéro et Funilé. Cela posé, IVquation

donnanl

'iU.

nous appliquerons la relation (i) en faisant

P = />'Ji,

Coin me on a évidemment

•*n posant, ainsi que plus haut, le premier membre de Téquation (i) se réduira à

Quant au second, c'est-à-dire A la somme de* résidus de la fonction

pour 3 = IJi, 1^2? . • •* ^11? nous supposerons pour simplifier que ces quantités soient des racines simples de Téqualion prr; == ^>î alors, t'H désignant par R/ la limite de £ V(^i -j-s) pour s = o, on trouvera iiiinK'diatenient

itnitt' — •* / ,. -ÎWI7C— ^ -2m/7r'" ,. —•*mi'n^^\

A = *' " \R|<? ''-4-R, ^ '' -H. ..H- HpL<^ "/.

On en conclut le développement cherché de la fonction F (3) pour z =at -\- brjt sous cette forme

(5)= const.

où nous ajoutons une constante arbitraire, en supprimant dans chaque somme le terme qui correspond à /;/ = o. Pour ce cas efTectivement Tcquation

ne peut, comme on le voit, délerminer AJ,'', et donne seulement

A = o, c'est-à-dire

Ri-+-R,-h...-+-Ra=o.

Mais, avant d'aller plus loin, faisons de suite une application de la formule générale que nous venons d'obtenir en supposant F(5) = sinams. Soit alors

on aura

Ki -h liinîsin am(eK'-+-£) = j n *^'

et, par suite,

fin .... iTZ ..■. ^.. 1 Y^^ 3K \7r ^■^ I

X ~. 7 .:; I -^ const.

= —rr y e "^^ -^^ [1 — (—1 >'"-+- const.

On voit qu'on peut no conserver que les valeurs impaires de ///, de sorte quVn supposant nulle la constante, on trouvera immédiatement

sin a m — > c"*^^-^ -^^ — »

cest-à-dire pour le second membre la série désignée par U, pa«:e lu.

Revenons aux eonsidéraliou^ générales, et surtout à la compa-

nÎ!»on des deux dévcloppeiiieiils qui correspondent d z = at-\- b\Jt ei z =at-\- b\j2' Les résidus, dans le premier cas, se rapportent aux valeurs Ç|, Çt» • • -i ^|i'; or en passant à Tintervalle suivant, défini par la relation z=: at'\- bij^, on sera conduit à la série ^2^

îi , IJj4, JJi -h 6, et comme les résidus de F(z) relatifs à Ç|,

IJ, H- 6 seront les mêmes, les deux développements seront, avec l'expression des termes constants,