I . îw

^ in y a V^ I — q-*"*

Ce sont donc les termes constants que nous avons à comparer. Nous nous ser\ irons pour cela de Téquation déjà employée, en y remplaçant la période b par une quantité arbitraire p, savoir :

— al F(/?-+- ^-^atjdt—^ Ç F(/?-+- ^t)dt^ litzik.

Si nous supposons p=i b\j^ et /? -h fi = fcua, A se réduira au seul ré>idii de F(w) qui correspond à ^ = !J,, et Ton aura immédiatement, en divisant par a^ la relation

f F(at-^bji)dl— f F{ae-^ljut)dt= ^^ R,.

.Nous pouvons donc ramener les deux développements à ne contenir absolument que les mêmes éléments analytiques, de sorte <|ue, le premier étant

a Jmd 1 — 42

-îiî«.;2

tin — i:->;a»

Lé 1-.1 «'" '

'23o œUVRES OK CHARLES IIERMITE.

le second, en réunissant les termes en Rj, s'écrira ainsi

De là se lire une conséquence importante et qui justifiera ce que nous avons annoncé plus haut, sur le rôle de la fonction de seconde espèce.

Remarquons, en effet, que les diverses séries affeclées des facteurs R|, Rj, . . . proviennent de ce seul développement

en y remplaçant ;; par z — !^i, ^ — Ço, . . ., et z — Ç| — b dans le second cas. Or, en mettant z — - au lieu de z^ ce développement prend la forme

qui nous rappelle immédiatement une expression analytique bien connue. Soit, en effet,

d'où

Q = '/, on aura

( z) __ it: y^ f/ '" e ^ '•'^ V^ 7'" niT:

TT) "" K* ^ i^^<y~^'«^ ~ "k" ^,n I — 7*'" *'" K

Nous pourrons, par conséquent, écrire, pour 5 = «/ -H tU|,

el, pour w = rt/ 4- />î>2,

F(. - .K') = C -^ R. r*îllll|i^l^^ - ij: I

TUÉORIK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 23l

Ce*l en ce moment que se manifeste loule Timportance tic la propriété caractéristique de la fonction de seconde espèce relativement à la double périodicité. Eflcctivement, les relations

( Z(jr-H.2K )=Z(X)H-2J, \ Z(x-f-'2tK')=Z(^)H-2«J'

êi|uivalent à celles-ci :

d'où l'on voit que l'on peut ramener à une seule les deux formules de développement, par l'introduction de la transcendante, puisque

la quantité -— J .-^^-r: — -ir se réduit a —- J^ •

De là résulte une relation analytique générale subsistant dans toute rétendue des valeurs de l'argument, et dont la forme définitive, en passant de V(z — iK.') à F(^), s'obtiendra comme il suit :

Kappelons d'abord que l'on a

e{x-h £K') = iU{x)e' ^'^'''^'^\ duii, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres,