SUR LES FONCTIONS MODULAIRES

a Saint-Jean-de-Luz, villa Bel-air, 24 septembre 1900.

» Mon cher ami,

y» Je viens dégager ma parole et m'acquitter bien tardivement, il me faut l'a\ouer, de ma promesse de vous démontrer les formules

concernant les quantités o( r— ) données dans mon ancien article Sur l'équation du cinquième degré.

»v Le bon air de la mer m'a aidé à surmonter la torpeur qui faisait obstacle à mon travail; j'en profite pour échapper aux remords de ma Conscience, et, en pensant que vous avez sous les yeux cet article, j'aborde comme il suit la question.

V' Mon point de départ se trouve dans les formules de la page 2 et «le la page 3, qui donnent les expressions de ^/c et de y/A:' comme fonctions uniformes de q, ou plutôt de w, en posant m= -^ » et, parmi ces formulei d'une extrême importance dont la découverte e>l due à Jacobi, j^'nvi^:agerai pour mon objet la suivante, à savoir :

JJ' — y = —7 . , - (/i = o, dr I, in 2, . . .)

M ) Nous reproduisons une Lettre d'Heruiite à M. Jules Tannery, où se trouve là démon»lraiion des formules seulement énoncées dans l'article qui précède sur IV.^uniion du cinquicmc «legré. Cette Lettre a déjà été publiée p(ir MM. Tannery ^i MolW dans leur Traité sur la théorie des fonctions elliptiques, en intena- !<int quf-lqucs explications complémentaires avec renvois à certaines parties du Traîtr. Nous donnons ici le texte même de la Lettre d'Hermite que \\, Tannery * l.:-ii \oijlu nous communiquer, en corrigeant seulement de légères inadvertances.

l4 OeUVRKS DK CHARLES IIKRMITE.

» J'y introduirai tout d'abord la quantité w, en nie servant, au

lieu des fonctions 0, H, . . , de la série

f)y,y(x) = Z{ — iy"^e L "^ * J (/i = o, ±1, -Ji-i, ...)

[voir mon article Sur quelques formules relatiies à la transformation des fonctions elliptiques {Journ, dcLiouinlle, i858)], et j'écrirai

ou plus simplement

J'ai posé, comme vous savez,

on aura donc

/ r --■ ftisi\ / c -*- </(o \ ^ ^'M rt -î- btti ) ^ \a -h bivj

Oo.i ('J

Dans cette égalité, «, 6, c, rf désignent des entiers assujettis à la

conditionne/ — 6c= i ; je ferai la supposition qu'ils appartiennent

au premier cas (page 4), oii b eX c sont pairs, a ei d impairs, et je

ferai

nous aurons ainsi

■ r -r- (ioi\ __ ' // t- b(u /

et, comme nous conservons la condition ad — 6'c' = i, la question se trouve ramenée ii celle qui concerne la transformation de la fonction ^^^^^{x). Dans rarlicle cité tout à Theure, j'ai obtenu les résultats suivants, dont je vais maintenant faire usage.

» Soit en général, pour des valeurs ({uelconques de n, b. c, rf,

•1, — a jx -h ^v -T- <ib,

Vj ::- Cl -h ^/V -H Ci/.

^ - -r ,'ir a» ^ */« av • /»'/v f id/^ru ♦!»//#<. V -t- aAV.

LETTRE DE CHARLES HRRlilTK A M. JULES TANNERY. l3

puis, en supposant b positif,

rp SÔ

/ — ib(a -h ôia)

le signe de la racine carrée étant pris de manière que sa partie réelle soit positive. Nous aurons l'égalité

fia vl(a -r- bta)x,ui] e'«A(a+Aa))x« = tO» v. ( ^- t±JÙl\ ^

et nous en concluons, polir x = o,

•• La condition de h positif peut toujours s'obtenir en changeant, O'jQime il est permis, le signe des quatre entiers rt, 6, c, d. Cela ^tant, la somme S s'exprime comme il suit, au moyen du sjmi>ole ( j- \ de la théorie des résidus quadratiques.

»> Supposons que b soit pair. Je ferai 6= 2*6|, bi étant impair, ri Ton aura, suivant que l'exposant k est pair ou impair,

OU bien

•• Je vais faire, en entrant dans tous les détails du calcul, l'application de ces formules aux quantités

Vi ( ' — T- '-i K\ ( — — r — •

J^ «'Upposerai qu'on ait

ri f= I , /> i^ o, c s= o, r/ =^ I ( iiiod •/ ).

<-^ sera donc le preuiier des six cas qu'il faudra considérer; nous >»Tn»ns bientôt que tous les autres s'en déduisent immédiatement. • Soient d'abord u = o, v = i . Des deux nombres

V I TT-. d ->r cd^

l6 OEUVRES DE CHARLES HBRMITE.

le premier est pair, et même multiple de 4^ le second est impair. Ayant donc en général

nous en concluons l'égalité

» J'ajoute qu'on peut mettre sous une forme plus simple la quantité

qui entre dans la valeur du fadeur

Des hypothèses faites sur les entiers a, b, c, d résulte, en effet, la

congruence

b(ï -h ^abd -\- ftb*c== — bd (modS),

ce qui permet d'écrire

» Si nous passons ensuite à la quantité 6o,i ( -p — )» où

6' = - et c' = 2c remplacent 6 et c, a et rf ne changeant pas, on a

jjii = b' -\- ab', V, = <i -h c'd',

le premier de ces deux nombres est encore pair et le second impair, mais [X, n'est pas nécessairement divisible par 4» et, par conséquent, on a l'égalité

b'-htth' / ^t , J ^ \

oii T' représente ce que devient, dans ce second cas, le facteur T. » Désignons aussi par 5' et S' les nouvelles valeurs de 5 et de S ; on aura

/— ib'(a 4- ^'.210)

ù-hfib'