r 00, ^- = Ce, n-r.z

t £1 lit

2}. 00, |{î = -r,ii, H-T.i;,.

2(6 (IKtVRES DE CHARLES IIERMITK.

I^cs quanti les A, B, C sont des constantes, savoir :

A = Z (o) = i^^nq^'*,

Dans ces formules m est pair et n ^ 3 (niod/f), les coerficieuls f^H} c,n désignant les fonctions numériques déiinies parées égalités

il -I rf — ! d — \

où d représente tous les diviseurs impairs de n et de m inférieurs à leurs conjugués et rf' les diviseurs impairs de m plus grands que leurs conjugués. On a d'ailleurs, en faisîint j: = o dans les équations 13, 16, 20, ces relations dont nous ferons usage plus tard :

r,3 = AO,— BO, 1? = Ar, -+-Ce, CO,.

f 0' = Bt,

Voici maintenant de quelle manière les deux systèmes de fonctions conduisent à la considération des formes quadratiques à deux

indéterminées de déterminant négatif.

Ayant, a cet (îU'el, distingué (juatre espèces de développements en série, suivant qu'ils se composent de termes en

si n ( •>>. /i -f- 1 ) x^ cos ( j» /i -4- 1 ) j-, si n i nx, cos 2 nr,

nous multiplierons entre elles toutes les fonctions du premier et du second système qui appartiennent à la même espèce, de manière (pie les produits obtenus ne comprennent que des termes en Lo^'inx. Kn intégrant ces produits entre les limites zéro et - ou donnera naissance à autant d'expressions fonctions de la seule

(piantilé q, où le coeflicient d'un terme (|uelconque q^ ou q^ dé-

SUR LES THEOREMES DE M. KRONECKKR, ETC.

pendra d^une certaine manière du nombre des classes qiiadraliqucs de déterminant — A. Tel est donc le procédé analyli(|iie très simple qui, en établissant an lien entre les formes quadratiques de déterminant négatif et les transcendantes elliptiques, conduit à l'ensemble de résultats que nous allons passer en revue. Ces résultats d'ailleurs se classent naturellement d'après les intégrales définies de fonctions 0, d'où ils sont tirés. Ainsi, en premier lieu, s'oiVrent les combinaisons obtenues en multipliant respectivement les équations 15, 18, 1, S, 11 du premier sjstèmc avec les équations 5, 1, 3,7, S du second, et où l'intégration s'elVectue d'elle-même, savoir:

e <ijr= - 0],

ki^dT= -00».

/« II» r.

0»0,-"'-^/r= - co,

m,->-(lx= '-'■ i\r,.

Klle» sont, comme on voit, essentiellement distinctes, et toutes les

'Jt48 OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

autres de forme analytique semblable qu'on pourrait obtenir reproduiraient, en changeant suivant les cas le signe de y, les mêmes fonctions.

Legendre, comme on sait, a le premier découvert par induction que le nombre des décompositions d'un entier en trois carrés dépendait d'une manière simple du nombre des classes quadratiques ayant pour déterminant ce même entier changé de signe, et Gauss a démontré ensuite ce résultat important dans ses Recherches arithmétiques, M. Kronecker a remarqué qu'on y est également amené parla théorie des fonctions elliptiques; mais la méthode du savant géomètre suppose, à son point de départ, et d'une manière essentielle, autant que je puis en juger, la notion arithmétique de classe, qu'il n'est pas nécessaire d'employer dans la voie que j'ai suivie. Si l'on ne distingue pas les représentations propres et impropres, il suffira, en elîet, de la définition seule du système des formes réduites pour un déterminant donné; de sorte que ce théorème, dans l'enchaînement naturel des propositions de l'Arithmétique, pourra être placé dès le commencement et à côté des résultats qu*a obtenus Jacobi sur la décomposition en quatre carrés. Pour justifier celte observation, je présenterai en détail ce qui concerne la formation du cube de la fonction

0, = I -h 9.<7 -+- 2<7* -H 2<7'-f- -Jtyïfi -h. . .,

afin aussi de pouvoir me borner à Tégard des autres quantités r,', 6,r,2, ..., contenues dans les formules (\), à donner seulement les résultats.

Considérons, à cet effet, les séries lo et o du premier et du second système, dont il faut efVectuer le produit, savoir :

^^ ^\\\ Î7sin2x \q^^\ï\\X \q^?^\t\CiX

OJ i = col J" -h -' ^-^ r' r ^ . . .

V^ \(l" sin>. /i.r

^mà !-+-(,— y/*