UR LES THÉORÈMES DE M. KRONECKER, ETC

ei, en fuisant comme précédemment,

Oi -*— = tangj? -H ^ (— i)'*""'2y'»'J5,i sin 2 /iwT.

Ce produit devant être ensuite intégré entre les limites o et 7, nous ferons usage de ces formules, qu'il est aisé d'obtenir,

/ colxsxn'inx ax = >

j tangxsin2/ia:rfj7 = ( — !)«-*-• On trouvera de cette manière, après avoir suppriiné le facteur f >

Les deux premières séries qui se présentent dans cette expression se développent sans difficulté suivant les puissances de q. En désignant par m un nombre impair quelconque, par o(/;i) le nombre de ses diviseurs, on trouvera

■^^(^-'i)?(fn)q^-^-^^^^,

l'exposant t prenant la série des valeurs i, 2, 3, etc.

Pour la troisième, en remplaçant d'abord par le dévc-

loppement 2^"" i)«f"+')^«//^ elle devient

re qui met en évidence dans l'exposant q le déterminant d'une forme r|uadratiquc (A, B, C), en posant

A ~ /i, Ij = />, (] ;^ /< -f- I -7- a.

25o (lEUVIIES DE CHARLES ilERMlTE.

Laissant de colë pour un instanl le facteur ( — |)«(«+i)^ dont nous nous occuperons plus tard, observons que b doit recevoir les valeurs

o, ±1, ±1'?., ...» ih(n — I);

de sorte que cette forme sera réduite, si l'on s'arrête à la limite

±: ( — j> c'est-à-dire, pour plus de précision, — (: i ) lorsque n

sera pair, et ± y — ; — \ lorsque n sera impair. Ce premier groupe

de valeurs, si l'on fait

donnera, et une seule fois, toutes les formes réduites de déterminant — A, en exceptant les formes ambiguës (A, B, C) ou 2B = A et G = A, et parmi les formes ( A, o, C), le seul cas de A = C, qui se présente quand A est un carré. Dans ces divers cas, en clFet, on serait conduit pour le nombre a à une valeur négative.

Considérons ensuite la seconde série <les valeurs de 6, savoir :

±:6=-, — hi, ..., n — I, lorsque n est pair, et

lorscpic n est impair. Soit e une cpiantité égale à l'unité en valeur absolue et de même signe que b\ en faisant la substitution

dans la forme

nx* -H i bxy -+- ( /i -h 1 -f- a )y^^

cm trouvera

/iX*— 2»(n — 6£)\Y-r- (Vî/i — i^î-f-I -hfl) Y»,

et cette transformée, (jue nous désignerons par (A, — sB, C), c\\ posant

remplira les conditions :>. B <; V, >, B •< C, le premier terme étant tantôt plus grand, tuitot plus petit que le dernier C. On voit donc maintenant se produire une série de formes en nombre double des

SIR LES THÉORÈMES DE 11. KRONECKER, ETC. 25l

formes réduites, si l'on exceple celles-ci : (V, o, C), qui ont été précédemment obtenues pour b = o. En circl, on tire des équations (i) :

*a) n = A, ^ = e(A~B), « = 0 — -iB — i,

et. en permutant \ et G,

<5> fi = C, 6 = £(C — B), a = A — iB — I.

Vinsi chaque forme réduite non ambiguë donne effectivement deux systèmes différents (/ï, h, rt), où n et a sont positifs et 6 compris entre les limites assignées. Mais, à l'égard des deux formes ambiguës (.\, eB, A), les équations (2) et (3) coïncident, et pour celles-ci : (aB, eB, C) les équations (3) conduisant à une valeur négative de a, on n'a de même cl pour chacune d'elles qu'un seul et unique système de nombres, /2, 6, a. Si l'on avait d'ailleurs à la fois

on ne pourrait employer ni les équations (2), ni les équations (3), «le sorte que cette forme est absolument exclue, comme plus haut le cas de A = C dans le groupe des formes ambiguës (A, o, C). En résumé, soient, pour un déterminant donné A : H le nombre «Jes formes réduites non ambiguës, h le nombre des formes ambiguës de l'espèce (A, o, C), h' le même nombre à l'égard des deux >uî vantes : (2B, B, C), (A, B, A), l'expression

^era le nombre des systèmes (/i, t, a) qui, sous les conditions ref|uise9, satisfont à l'équation

/i' -^ n -i- an — b^ — A.

Miiis, si A est un carré ou le triple d'un carré, ce nombre, d'après les excepti(ms relatives aux formes dérivées de (i , o, i) et (2, 1 , 2), devra être diminué d'une ou de deux unités. On peut d'ailleurs l'écrire de celte autre manière :

f-n introduisant le nombre tolid des classes de déterminant — A qui est

252 (lEUVUKS I>K CIIARLKS I1ERM1TE.

Maiiitcnanl revenons au fadeur ( — i)i("+0 qui joue dans la <jucslion un rôle essentiel. En posant en premier lieu

A = n, B = />», G = /i4-n-cr,

et, en second lieu,

A = /i, M = n — bzj G = 2/1 — 'ibt-hi-hct^

G = //, \l=n — ùtt A = 2/1 — 'ibs.-r-1-h a,

on trou\e toujours la même valeur

a( /i -h I) s A -H A -H B -f- G -f- 1 ( iiiod a).

Il en résulte que pour tout déterminant le facteur ( — i)«(«+») sera égal à -f- i si Tun au moins des termes extrêmes A et G est impair, et à — i si tous deux sont pairs. En faisant cette distinction dans les formes réduites, nommons JQo 'e nombre total de ces formes, Aq, /*„ celui des formes ambiguës des deux espèces dont nous avons parlé, où l'un des termes extrêmes est impair, et J^M Ai, A',, les expressions de même signification dans le cas où les deux termes extrêmes sont pairs, on aura évidemment

^(,yiU-M)yn.-*-/,4-«„-6«= ^[riJ§o->/'o-^i)-(3iÇ,-2A,-A;)]7A,

ce qui donne la loi du développement suivant les puissances de </, de la sériiî 7 V • La partie que nous avons isolée à dessein

s'évalue à Taide des résultats (pii suivent.

Soit d'abord A = m, m étant impair, on aura,

nt 4- I

ho = -o{m). 1 /'o = 1 «pO/H,

SIR LKS THKORÈMRS DK M. KRONECKRR, ETC. 253

Et ensuite pour

J /ro = o(/n), ( //; = o, ( /«i =o, ( h\ = o;

A = 4.2i''WJi

I /i^ = o(//t), 1 /fi = (p(//0,

On en conclut

V ( ^ A, -+- /r, - 2 Au - ^ô) y^ = 2 ^"~'- J -'^' <? r //O 7"«

Il en résulte qu'en remplaçant dans l'équation fondamentale

les trois séries par leurs valeurs, on verra les deux premières détruire celle partie qui provient des formes auihiguës, et il restera simplement

Tout(îfois, si A esl un carré f)u le triple d'un carré, le l(?rme ^én:Tid doit être remplacé par

Mji' rtii pnit évilor cc>i ficux cas (l'cxccplioii m iijoulaiil deux sr-

'254 (KITVRES DE CHARLES HEBMITE.

ries de termes de la forme ^"' et q^"*\ si Ton fait, pour abréger,

on aura de celte manière

OJ = 2 i^(«o - «i) y'^ + 30 -+. 4e - (y.

C'est le résultat auquel est parvenu M. Kronecker, en employant la considération des modules qui donnent lieu à la multiplication complexe, car, d'après les dénominations de ce savant géomètre,

on aura

i9o = /^XA), fl,= (?(A)-F(A), et, par suite.

On a donc deu\ méthodes absolument distinctes qui rattachent par un double lien à la théorie des fonctions elliptiques les propositions de Legendre et de Gauss sur la décomposition des nombres en trois carrés. Ces illustres géomètres, en poursuivant au prix de tant d'elTorls leurs profondes recherches sur cette partie de l'Arithmétique supérieure, tendaient ainsi à leur insu vers une autre région de la Science et donnaient un mémorable exemple de cette mystérieuse unité qui se manifeste parfois dans les travaux analytiques en apparence les plus éloignés.

SUR