LA THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES

Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LV, i8G'2 (H), p. G84.

La luéthode de M. Dirîchict pour la délermination du nombre des classes de formes quadratiques de même délerminaiil, el celles qu*on a tirées récemment de la considération des fonctions elliptiques dans le cas des déterminants négatifs, conduisent pour la même question à des solutions tellement diflerentes, qu'il semble aussi diffîcile de trouver un lien quelconque entre leurs résultats qu'entre les principes sur lesquels elles se fondent. Ce que laisse à désirer à cet égard la théorie des formes quadratiques parait tenir à l'absence de quelque principe essentiel auquel on serait sans doute amené, soit en découvrant une démonstration purement arithmétique des propositions de M. Kronecker, soit en tirant de la théorie des fonctions elliptiques les expressions mêmes de Dirichlet. En accordant la préférence à ce dernier point de vue, j'ai dii, comme première préparation, faire de la méthode de cet illustre maître une étude qui m'a conduit peut-être à abréger et à simplifier en quelque chose son analyse, et voici sous quelle forme je la [tréscnterai.

Soit

-^ a^f/;^cy.../^*

un nombre entier décomposé en ses facteurs premiers a^b^c^..,.k rexpression

OU, en développant le produit des facteurs binômes,

abc. . .A'

représente le nombre des entiers moindres que m et premiers avec lui. Je commencerai par généraliser celle expression en considérant le nombre des termes premiers à m dans la suite

où n est quelconque. Si Ton désigne, suivant l'usage, par E(j:) le plus grand entier contenu dans J7, ce nombre sera

Pour plus d'uni formité, je remplacerai le premier terme n par E(/i); on obtient par là une expression où il est possible de mettre, au lieu du nombre entier /?, une variable quelconque x^ à savoir ;

La signification aritlimétique de celte fonction sera d'exprimer le nombre des entiers non supérieurs à J7 et premiers à ///, en faisant toujours

m = a'^b^cy. ..A*.

Pour m = i et afin de compléter la définition, nous conviendrons

de poser

ïlM;:r) = K(3-),

c'est-à-dire de réduire la formule à son premier terme. Enfin, en désignant par s une quanlilé comprise entre -|- i et — i, et par |jl le nombre des fachMirs premiers, ^/, />, ..., /•, on voit aisément <|u\)n a

c'est la propriété de celle fonction dont nous ferons principalemenl usage.

THBORIE DBS FORMES QUADRATIQUES. ^5y

Soit encore à trouver le nombre des termes de la suite

qui sont en même temps premiers à m et divisibles par un nombre donné i. Comme les multiples de / dans cette suite sont

ce nombre est le même que celui des entiers non supérieurs à - et premiers à m; ainsi il est donné par l'expression 4>Y?). C'est à ce moment que se justifie notre convention de faire, pour m = i ,

car alors la formule doit donner le nombre des multiples de i qui

ne sont pas supérieurs à n, et pai" suite coïncider avec E(^]* De

là résulte entre ^{x) et E{x) une certaine analogie de rôle que la question suivante rendra manifeste.

Soit F(/i) une fonction ainsi définie

la somme comprenant tous les nombres i qui sont diviseurs de n. On vérifie aisément qu'on aura

En eflet, dans le premier membre un terme quelconque /(/) est

amené par toutes les quantités F(/r) où k est multiple de/; il se

trouve par conséquent répété autant de fois qu'il y a de multiples

de / dans la suite

et c'est précisément ce qu'exprime le second membre. Modifions H. — II. 17

maintenant cette relation en introduisant d^abord la condition f[i) = o, lorsque i n'est pas premier à un nombre donné

et posant ensuite

lorsque pareillement k n'est pas premier à m. On voit alors que

dans la somme ^ F(^) ^^ terme /(/) est autant de fois répété

qu'il y a dans la suite i, 2, 3, . . ., ai de termes divisibles par < et premiers à m. On aura donc, au lieu de la relation précédente, celle-ci :

que nous emploierons bientôt à la recherche du nombre des classes. Mais il est nécessaire de rappeler d'abord quelques résultats sur la représentation des nombres, par le système des formes non équivalentes, de même déterminant D.

A cet effet, nous désignerons par /i un entier positif, impair, premier à D, et, en nommant S^ le plus grand carré qui divise D, nous ferons

Cela posé, voici les deux théorèmes fondamentaux établis par Dirichlet au moyen des considérations les plus élémentaires et qui pourraient être placés parmi les premières propositions de la théorie des formes quadratiques.

i" Le déterminant D étant né fixatif, la somme

où i désigne tous les diviseurs de n, et l -.- ) le symbole généra-

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Usé de Legenire, exprime de combien de manières diffé^ rentes (•) l'entier n est susceptible d'être représenté par les formes non équivalentes, composant l'ordre proprement primitif de déterminant D.

2* Le déterminant étant positif, la même expression, sauf le facteur 2 qu'on supprime,

Wy

donnera encore le nombre des représentations de n par les formes non équivalentes de l'ordre proprement primitif ^ mais sous les conditions suivantes : Premièrement, on choisira, pour représenter /i, des formes

ax^ -h 2 bxy -h cy^ ,

où a soit positif et c négatif; en second lieu, xety devront être positifs et satisfaire à cette condition

oùT et\] sont les plus petits nombres qui donnent