T*- DU

On voit que dans ces propositions figurent exclusivement les nombres impairs et premiers au déterminant. Les valeurs des indéterminées X et y, qui rendent ainsi une forme impaire et première à son déterminant, se distribuent en certains systèmes, tels que

(A) j? = 2Di'-ha, y = iDw ->r^,

i^ et iv étant des entiers arbitraires, a et ^ étant choisis dans un système de résidus suivant le module 2D. Leur nombre, si Ton

('; Les déterminante — i et — 3 font exception, le nombre des représentations étant respectivement pour ces deux cas :

^6o OEUVRES DE CHARLES HERMITB.

représente par D| la valeur absolue de D, est

2D,(p(D,) ou 4D,^(D0,

selon que D est impair ou pair. Ce dernier résultat rappelé, voici maintenant de quelle manière, en n'ayant en vue que la détermination du nombre des classes, il nous a paru possible d'abréger la belle analyse de Dirichlet.

Revenons à l'équation

pour y faire

où (-7-) est le symbole de Jacobi, avec la convention de poser (-r] = o lorsque / ne sera pas premier à D. Alors les expressions

F(n) = 'i^/^i) ou F(/i) = 2/(0,

suivant que D est négatif ou positif, donneront, en vertu des propositions précédentes, le nombre des représentations de l'entier /i, parle système des formes proprement primitives de déterminant D. Mais ces propositions supposent essentiellement n impair et premier à D, de sorte que, pour tout nombre k qui ne satisfait pas à ces deux conditions, nous devrons supposer F(A) = o. En conséquence, il faut déterminer la fonction 4> en prenant m = 2D1, ou simplement m = D| , selon que le déterminant sera impair ou pair. Pour mieux préciser, bornons-nous au premier cas : les expressions

F(/i)= 2 V ( —]* ^^) pour D négatif,

^(^)= 2,. (7)* (7) pour D positif,