LETTRE DE CHARLES HERMITE A M. JULES TANNERY

c'esl-à-dire

et nous en concluons

» Je m'arrêterai à cette formule, et je remarquerai en premier lieu que, en passant de S à S', le nombre b est remplacé par—» Il en résulte que, ayant posé 6=:a*6,, Texposant k varie de l'une à l'autre d'une unité. Cela étant, la comparaison des valeurs de S et de S' nous donne l'égalité

d'où résulte

» Ceci posé, écrivons le fa'^teur ( — i) * sous la forme e ^ ,

et employons Texpression de 8', à savoir :

on aura ainsi

» Or, on vérifie facilement la congruence suivante :

(A) 2^»(i-+-a) — 36rf— ?.abd — nb^c ~ -^ ab (inod i6),

faisant, en effet, passer tous les termes dans un même membre et divisant par 6, qui est pair, elle peut s'écrire

2(1 — €id)-\-'i{a — d) — abc ^== o (niodS),

puis, d'après la condition ad — 6c = i ,

— Àbc -h 3(a — d) — a(ad — 1} ^ o (mod 8);

mais, i et c étant pairs et a impair, on a

'ibc^=zo, a* =^ I (mod 8;;

elle deviendra donc simplement

4{a — d)== o (mod 8), H. - II. 2

l8 Oei'VRËS DE CHARLES HKHMITE.

ce qui a lieu, en efTet, a et d étant impairs. Nous avons, en conséquence.

» Nous obtenons ensuite, au moyen de l'expression qui a été notre point de départ.

Oo.ir^w)

la relation fondamentale

» On en tire les deux systèmes de formules concernant les fonctions cp(co) et A(w) pour tous les cas que présenlenl les entiers «, 6, c, rf, pris selon le module si. Ces cas sont indiqués dans le Tableau suivant, que j'ai donné dans mon article Sur l* Equation du cinquième degré :

» Kn premier lieu, je change, dans l'équation ( Ihwen el </,

/>, c\ d en /;, a^ d, — r; on trouve ainsi

<ll

LETTRE DE CHARLES HKRMITB A M. JUI.K8 TANNKRV. IQ

* Dans la même équation, je remplace ensuite w par od — i , a et c par a -4- 6 et c -+- rf; il vient

^ \tl -^ OU} / 'l' ( w )

Passant à l'équation ( II), je cliange w en w -h i , a et c en a — 6 et r — r/, ce qui donne

»» Je continue en remplaçant, dans (V), co par et a, i, c, d

|wr />, — «, rf, — c^ et j'obtiens

^ \a -T- Obi/ o(<w)

•» Pour avoir le système complet des formules cherchées, il ne me reste plus qu'à changer dans cette équation co en (o — i , ^ et c* en a -r- b et c -h d] on a ainsi

en employant l'égalité

• Voici maintenant les résultats réunis et mis en regard des six «as éniimérés dans le Tableau précédent :

, / c -^ (lu) \ , iZE(A^^-,/^|^

^ W/ H- /Xij / ^ ( (O ) '

',/« -+- Ad» / 4'* '"*> '

, / c -h r/(u \ VI 'Vl I = —

OEUVRES D£ CHARLES IIERMITE.

» J'ai à y joindre enfin les formules qui concernent la fonction ^(t). Je remplacerai à cet effet a, 6, c, d par — c^ — d, a^ 0; on change ainsi

et aux divers cas