THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES

auxquelles nous sommes ainsi amenés, donneront donc la somme des nombres de représentations pour tous les entiers positifs, impairs et premiers à D de un à /î. Or on peut obtenir cette même somme en se plaçant à un point de vue bien différent, comme on va voir. En supposant d'abord le déterminant négatif, faisons correspondre, à chacune des formes (a, 6, c) qui composent l'ordre proprement primitif de ce déterminant, une ellipse ayant pour équation en coordonnées rectangulaires

or* -h 2 bxy -H cy^ = n.

On reconnaît sans peine que le nombre des points dont les coordonnées sont exprimées par l'ensemble des formules (A),

ar = 2Dp-Ha, ^ = 2Di«'-Hp,

€l qui sont situés dans l'intérieur et sur le contour de cette ellipse, donne précisément cette somme des nombres de représentations par la forme (a, 6, c) des entiers considérés ci-dessus. En second lieu, supposons D positif, nous aurons un résultat entièrement analogue, en faisant correspondre à chaque forme (a, 6, c) de Tordre proprement primitif une hyperbole

ax^ -h ibxy -h c^* = n.

Effectivement, d'après les conditions propres aux déterminants positifs, le nombre de points dont les coordonnées sont l'ensemble des formules (A), et qui sont compris dans Tintérieur ou sur le contour du secteur hyperbolique, lerniiné d'une part par les droites

aU ^ = o, y= ^—^-^ X,

et de l'autre par la branche de courbe s'étendant du côté des abscisses positives, coïncidera avec la somme des nombres de représentations appartenant à la forme (a, 6, c).

On va voir quelle const';quence importante résulte de cette seconde manière d'exprimer F(/t).

a62 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Rappelons, à cet effet, la proposition de Dirichlet sur le nombre

des points compris dans Tintérieur d'un contour fermé, et donnés.

par les formules

X = av -h OL, ^ = 6iv -»- p,

où if et iy prennent toutes les valeurs entières de — « çi -h oo. Si Ton suppose a et 6 positifs, ainsi qu'on peut toujours le faire en changeant le signe de v et (v, et qu'on désigne l'aire du contour par 0", on aura sensiblement —r- pour la valeur de ce nombre quand 9 est très grand. Ce résultat ne contenant pas a et ^, si l'on a |jl systèmes de valeurs des coordonnées ne différant que par ces constantes, ^ sera la somme de tous les nombres de points ainsi exprimés et qui sont compris dans l'intérieur du même contour. Cela posé, l'aire de l'ellipse

ax* ■+- 1 bxy -\- cy^ = n où 6* — ac -=. — Dt

est

/lit

celle du secteur hyperbolique,

/ilog(T-4-Uv/D)

le nombre [x des systèmes

puisque nous supposons le déterminant impair, est

'iD,Q>(D,).

Aiinsi ^-rr sera ah

i-7=— dcins le premier cas,

n,(D)MT-.Uv/D) ^^^^ ,^ ^^^^^^ 4/1)'