VI. o Z' llLîîïi') = ti!i> g- T

* \a -k- ùtij J <p ( to )

» J'observe enfin que les deux séries de formules établies, dans le cas où b est positif, subsistent dans tous les cas, comme on le voit en changeant a, 6, c, rf en — a, — 6, — c, — d,

» Ce sont bien les résultats que j'ai indiqués et dont je me reproche d'avoir tant tardé à vous donner la démonstration que vous m'avez demandée (*). Mais cette démonstration, je dois le reconnaître, opère peracto, ne mécontente point : elle est longue, in-

(') Les formules précédentes n'ont pas toutes la même forme que les formules de la Note sur réquation du cinquième degré (p. 9 de ce volume), mais elles se ramènent à celles-ci si l'on tient compte des ctmgruenccs auxquelles satisfont les entiers a, 6, c, d. E. P.

LETTRE DE CHARLES HERMITfi A M. JULES TANNERY. '21

directe surtout; elle repose en entier sur le hasard d'une formule de Jacobi, oubliée et comme perdue parmi tant de découvertes due> à son génie. Je vous l'envoie, mon cher ami, valent quantum, en vous informant que je serai revenu dans quelques jours, el à votre disposition pour tout ce que vous aurez à me demander. El nous causerons aussi d'autre chose que d'Analyse, nous argumenterons^ nous nous disputerons. De ma proximité de l'Espagne je rapporte des cigarettes d'Espagnoles; si vous ne venez pas en fumer a\ec votre collaborateur d'aujourd'hui, votre professeur d'autrefois, c'est que vous avez le cœur d'un tigre.

o Toitis luus et toto corde,

» Ch. HERMITE. »)

SUK LA HÉSOLUTION

iiK

Comptes rendus de P Académie des SctcftceSj t. XLVf| iB>8 (î ), |>. jtSt 1

La tliéone des formes cubiques à Iroh Iiitléleninnées conduil

ibles di

de^rré

icni

iirs (équations remanjuîi en ^iert]<^ulier un rote imporlanl dans la dt'lermi nation des ptunU dinilexion des courbes du iroisit-me ordre. L^étude de ces équations ni'ajant fa il remarquer qu'elles olFrent la plus étroite afnnilé avec celles qu^on rencontre dans la transfornialion du troisième ordre des fonctions elliptiques, il ne ma pas paru inutile de m'ar- i réter à ce rapprochement qui peut-être conduira à comparer dè:^^ même les équations du neuvième degré dont dépendent les coor- ' données des points d'inflexion, avec celle qui se présente pour cipriiner, par exemple, sin am - par sinaui^. Cette analogie, d'ailleurs, m*a ouvert la voie pour représenter par les transcendantes elliptiques les racines de Téq nation générale du quatrième degré, ce qui était le résultat auquel jf désirais principaleuienî parvenir. Avant d'exposer celte reclu^rclie qui se lie naturelleinent à celles que j-ai eu Thonneur de communiquer a TAcad^imie sur Téquation du cinquième degré, je rappellerai l'origine et j'indiquerai les propriétés principales de ces équations spéciales du fpiatrième ^egré, auxquelles conduit lu tliéorîedes formes cubiques a trois indéterminées.

Soienl, en employant les mêmes désignations que M. Cayley ( *),

(V) Je renverriiit jïuui- |p<. c*|ircsi^ioiis dr IRI, PU, €lc** au Uchu trii^iol iJu savant géimiélre, publié dans k§ Trafisaetions de tu Soeiéié Ifo^ a te^ ^^tm W ûirei Tttird memoir ttpon Quantk^, et je tue buriieiéi il iluiiiier ici leurs furiEies cano-

U une forme cubique quelconque, HU, PU, QU le covarîant et les doux formes adjointes du troisième degré par rapport aux indrlcrminées, S et T les deux invariants de M. Aronhold, et S| une quantité définie par la condition

S»-4-Sî = TV ces équations seront

<i) /(x) = x^ — f)S .rï— HTjr — 3S« = o, ,2) /,rjr) = .r* — 6S,ar»— 8Tar— 5 S} = o, i'i) Fix)= iJiSa?* ^8Tj:> — eS^j-* — fiSTa:— T« — |S» = o,

et voici leurs propriétés essentielles. Soient 8 une racine de la première et A une racine de la troisième, les deux fonctions

oU-f-OHU, fiAPU-f-QU

seront décomposahles en facteurs linéaires. Désignons encore par 5| une racine de l'équation (2) qui a été déduite de l'équation (1) en permutant S et S|, on aura

en nommant cl le déterminant de la substitution propre à réduire CJ à la forme canonique

ar' -h ^' -h 5' -h 6 fxyz.

Ces quantités 8, 8|, A auront d'ailleurs les relations suivantes :

" = 7I^' '=.7TTT)-

oiques qui sont :

U-j:^-+-^-+-5-»-+- 6lxyz, HU = /2(x» -+->"»-+- i») — (1 -h .il^)xyzy PU = — /( j?^-i-^-^-+- i») - (1 — 4^') ^r^, QU = {i-iol^)ix'-\-y'-^z^j -6/2(5 -h U')J^y-y

T=i i.jo/^-8/«, S, = 1-4- S/'.

2i ŒUVRES DE CHARLES IIERMITE.

Ceci posé, je comparerai d'abord à l'équation modulaire p* -+- 2 a' v^ — 1 uv — M* = o

les équations (i) et (2). On sait qu'en faisant w = o(co), on a, pour i^, les quatre valeurs

i;=-(p(3a>), ?(oJ' ^\~r~;' ^v — ^î — /'

or, en posant

on obtiendra, pour les quatre racines 0, les expressions suivantes :

Maintenant, si Ton change S en S|, afin d*arriver aux formules analogues pour les racines 8| de Téquation (2), on sera conduit au module

or à la relation S' -h SJ = T^ correspondra, entre k et /, celle-ci :

d'où résulte immédiatement cette conséquence que l'on passe

de S à 3| en changeant simplement] w en •

Mais il est une autre équation du quatrième degré que présente également la transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, et à laquelle se ramènent d'une manière plus immédiate encore les équations (1) et (2). Je veux parler de la

relation enlre le mullîpilcateur M et le module Ar, qui est, en fai-

En comparant cette équation avec l'équation (i), introduisant le module

et faisant usage de l'expression de M donnée par Jacobi dans les

(^ ) Jacobi a appelé le premier l'attention sur ces équations qui oiTrent un grand iBtrrrt, en particulier pour cette théorie de la multiplication complexe, sur laquelle M. Kronecker a récemment communiqué ]k TAcadémie de Berlin des résultats aussi beaux qu'importants. Mais, jusqu'ici, on ne connaissait que l'équation doaiiée par Jacobi. et qui se rapporte à la transformation du cinquième ordre. Celle que j'ai employée a été calculée par le P. Joubert qui, suivant l'exemple doiBc par M. Sohnke pour les équations modulaires, s'est occupé avec succès de kor formation, et les a obtenues pour le cin<:)uiéme, le septième et le onzième ordre, sous les formes suivantes :

(M-i)*/m- gW ï A'A-"M* = o.

-+- 3.3-A-»^'^M« -+- — k^k'HA'^—k"^)\V = o,

-+-3.'i«Â-U'''(««»-f- a»A-U'')M'»-4-83.a>».^U-'MA'— A-'')M» -r- 2i.29A = A ''Ar-h i"A-2A'M^'-A'')M^-+-33.i«A-'A"M«=o.

la autre résuliat très intéressant, obtenu aussi par le P. Joubert, consiste en r» que, *i l'on nomme M, M', M", etc. les racines de l'équation pour le cinquième ordre, la fonction suivante des racines anaiogutr à celle qui m'a donné la résolulion de Téquation de M. Jerrard, savoir :

j7 = ( M — M') ( iM"— .\r ) ( M«>^ — M^' ), ^>ti«-fail à celte équation

j:(x'-h .V.a^A-U-'^^)' -^ 5'. 3-^ AU 'Ml - 4A-A'M V^'5.

[M. Ifermite donne ici la substitution qui peut ramener l'équation à la forme de J«rrard; mais, cooime elle n'est pas exacte, nous ne la reproduisons pas.] E. P.

«JEIVREB DK CItAiLKi RKHIIITb*

Fnndtimanta^ on nblleiil. pour les qiialie raciiif'5 5. les valeurs]

siiivatiles

sin^ am

MAi^ cuam i K

sin* coam i i K'

!*in* a m ! (K -h l'K' j

sin* coam ^ {

Tiin* am -ziK — / K' )

$iii' coam

fK )

A ces formules je joindniî celles f|ui reprrsenleiil les racines A àç Féquation (3), et où les fonctions elliptiques ont encore le même module, savoir :