SUR UN NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS

Comptes rendus de r Académie des Sciences, t. LVIH, i864 (I),

p. 9^ et 266.

I^es fonctions uniformes de plusieurs variables à périodes simul- Unées par lesquelles MM. Weierslrass et Rieinann ont résolu le pmblèine de l'inversion des intégrales de différentielles algébriques quelconques sont représentées, comme Ton sait, par le quotient dv deux séries telles que

y g-y(xH-/n, jr-H/i, z-^p, ...)^

OÙ 3 dé>igne une forme quadratique dont la partie réelle est définie

et jx)silive, le signe ^ s'élendanlà toutes les valeurs des nombres

♦'niiers w, n, p, ... de — oo à -h 00. L'élément fondamental de ces nou\«'lles transcendantes, ainsi donné par l'expression

se pré>ente dans toutes leurs relations analytiques, et acquiert par là une importance dont il est impossible de n'être pas frappé. La tliéorir des fonctions elliptiques, déjà assez avancée pour donner ridée dv ce qu'on doit attendre de ces transcendantes à plusieurs variables, justifie particulièrement, à Tégard de l'expression e~ *\ ce caractère d'élément essentiel dans l'expression de leurs pro- |»ri«*lés, i*t qu'on ne peut, en ([ucflque sorte, perdre de vue dans les n-cherclies auxquelles elles conduisent. C'est ce qui m'a amené à

celte remarque, que les exponentielles e"^* et ^-çU,/,*, ..) donnent naissance, comme le radical

(i — 2ad7-4-a*) *, et l'expression

[i — iaL{xy -4- cosSy^'i — x^^i — ^*)-+- «*]" ',

qui joue le principal rôle dans plusieurs des plus importantes questions de la Mécanique céleste, à un système de polynômes entiers, pouvant servir au développement des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Mais, tandis que les fonctions de Legendre et de Laplace conduisent à des développements où les variables sont renfermées dans les limites — i et -hi, il sera nécessaire ici d'embrasser toute l'étendue des valeurs réelles de — 00 à -f-oo; on verra, du reste, entre les propriétés d'expressions d'origine si différente, l'analogie la plus complète. Je commencerai, afin de la mettre dans tout son jour, par le cas des fonctions d'une seule variable et des polynômes semblables à X,, qui se tirent de l'exponentielle e~'^.

Désignons par e~''U„ la dérivée d'ordre n de e~'', de sorte qu'on ait successivement

Uo=i,

Ul = — -237,

11^= \(Sx'* — 48-^'-Hia,

et, en général.

— r -{•XX)'* ■♦'-H. ..,

NOUVEAU DEVELOPPEMENT EN SÉRIE DES PONCTIONS. igS

OU, SOUS une autre forme,

quand /i est pair, et

(-1) • Vn

an(/» — !)...( ^^j

= ^ aa:' H — :— 7 — 2*0:»

quand n est impair.

Cela posé, on démontrera aisément les propositions suivantes :

I. Trois polynômes consécutifs U,i^i, U,,, U„i sont liés par la relation

Urt Ki-+- 2J^U«-H 2/lUn-l = o

et, par suite, peuvent être considérés comme les réduites successives de la fraction continue