NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES PONCTIONS

Ci»s <livers résuhats se retrouveront d'ailleurs à Fëgard des fonctions plus générales qu'on tirerait des dérivées successives de Texpression e""^', que j'ai reconnu indispensable d'employer dans certaines circonstances. Sans m'y arrêter en ce moment, j'arrive aux polynômes analogues à U„, et qui renferment un nombre qu<'i('unque de variables (').

(') Ko posant x = 2 cosçp, les quantités V„ = 2 cos/iîp, U„= ^ seront

sin - 9 2 •

aussi des polynômes du degré n en x, tels que les intégrales

»eront nulles ou égales à 2it suivant que n est différent de n' ou lui est égal. Ces polynômes satisfont aux équations différentielles

/ , / V ^^tJ„ , ^ du,, , , ,

^^ ^^^~d^ -h2(ar-4-i)-^ -/i(/i-f-i)U„ = o,

dont la première est donnée dans V Algèbre supérieure de M. Serret. On peut rgalemeni les considérer comme les dénominateurs des réduites successives des fractions continues suivantes :

yjx^^ — 4

fl

Je n'ai pas besoin enfm de rappeler les polynômes P/"' de M. Lamé dont les propriétés ont été exposées avec tant de simplicité et d'élégance, par l'illustre géom<^lre, dans son Ouvrage sur les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes. •

agS OEUVRES de charles hermitb.

Soit o(x, y, 5, . . .) une forme quadratique à ix variables x^ y, z, ... et dont la partie réelle soit définie et positive : désignons par ^(x, r, 2, ...) le contrevarianl quadratique ou forme adjointe de Gauss, et par 8 l'invariant. Nous considérerons deux systèmes de polynômes rationnels et entiers en j;, ^, 5 . . . qui seront définis de la manière suivante.

Développons en premier lieu, suivant les puissances des accroissements A, A|, Aa, ..., l'exponentielle

et en remplaçant, pour abréger, le produit 1.2. 3... ai par (/i), posons Tégalité

les quantités U„,«',,|-, ... rationnelles et entières en x^ y^ 3, ... et d'un degré égal à /i 4- /i' •+- /i" 4- . . ., formeront le premier système. Le second s'en déduira par une substitution linéaire elFecluée sur les accroissements A, A,, Aj, . . .; en introduisant le polynôme •]^(A', A*!, A'a, . . .), nous ferons

^=dk' ^'^dFr ^'^dF,'

et ils seront définis par le développement suivant les puissances de A-, A,, A-a, . . . de l'expression

/ fi'\, rf'V «'4' ^

Nous les désignerons par V,,^;,'^,,", ..., en posant, comme tout à rheure.

("3' '-.'."S- •••)...-... 2;^;^?fev.,...

Voici maintenant comment s'obtient leur propriété caracléris-