NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS

tique. Soit, pour un instant,

♦(x,jr, *,...)= ?(a? -h A, ^ -h Aj, « -^ A,, . . .)

on aura, d'après les équations mêmes de définition,

Multiplions par dxdy dz ... les deux membres, et intégrons |ifois entre les limites — » et + »; l'expression

/ / ... «-*(•'. .> • -. •••' dxdydz...

nous conduira au résultat par une transformation bien simple. Posons, en effet.

les limites des variables ;, r^, î^, ... .seront toujours — x et H- x, et Ton vérifiera sans peiné que

^/ ,1. ^ / do d'b d':> M do d^ \

L'intégrale cherchée est ainsi ramenée à celle-ci :

Mais de plus, et d'après la nature du polynôme adjoint

^ik, X-,, A-,, ...), on a l'identité

3oo OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

de sorte que nous parvenons à la relation fondamentale

(/i)(n')(n")... ^''•''''«'••••'<2-(n)(n')(n')... ^'»' «''«'••- Il en résulte immédiatement cette conséquence que Tîntégrale

s'évanouit, si aucune des différences n — m, n! — m', /i' — m*', ... n'est nulle, tandis qu'en supposant n = /w, /i'= m', /i*'= m*', . . ., on a

f f "'^~'^^''^'^""'^n^n\n',..yn,n\n%...dxdydz,,.

Celte proposition peut servir de base, comme on voit, à l'élude du développement d'une fonction F(x^ j% 2, . . .) sous cette double forme

F(^0% -ï ...)=^A.„,n',n-, ...IJn./i', «',... = ^B«, „',„*,.., V„,„', „-,...;

les coefficients élant ainsi déterminés :

Mais la recherche des propriétés des polynômes U et V doit naturellement précéder cette question; dans une autre occasion, j'essayerai d'y revenir.

NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS. 3oi

Je vais donner quelques nouvelles remarques sur les polynômes tirés des exponentielles e" "^'^ ^-?(x,j,2,...) ^^ ^^\ peuvent être employés, comme je l'ai fait précédemment (Comptes rendus, t. LVni, séance du 1 1 janvier), au développement en série des fuaclioQS d'une ou de plusieurs variables. J'indiquerai, en premier lieu, une modiCcation légère à apporter à leur définition, et dont Teffet, comme on le reconnaîtra, est de simplifier leurs expres- >ions algébriques. Ainsi les équations

^(n)(n')(n')... "'"''' "que j'avais d'abord données, seront remplacées par celles-ci :

Ku particulier, pour le cas d'une seule xariable, je poserai

el l'on aura de la sorte

mn—i) , . ni n — i )i n — A)( n — i) t„=a'*T'* la^-ïx'»-*-

ce qui montre déjà la simplification donl je parle. Ordoimanl par

3o2 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

rapport aux puissances ascendantes, on obtiendra pour n pair

nax^ n(n — 2)a'j^* n(n — 2)(/i — 4)«'^'

"" ' ïTi" "* I.-2.3.4 1.2.3.4.5.6

et pour /i impair (-1) * u„

1 .3.5. , .n,a ' __ (n^i)ax^ (n—i)(n — 'i)n^x^ (/i — i)(yi — 3)(/i — 5)a*ar^ ""^ 1.2.3 "^ 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7

A ces formules j^ajouterai encore les relations

Maintenant j^arrive aux polynômes à plusieurs variables.

Soil, en considérant pour plus de simplicité le cas de deux variables seulement,

nos polynômes seront définis par l'équation

OU bien

NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS. 3o3

On trouvera ainsi, en faisant, pour abréger, ax -h by = ^^ bx H- cjr = r^,

les valeurs

Uo.o=i, U,,o= $» -3a5,

U,,o= ?* — «, Uo.3= ï;' — 3cr„

U,., = Çti — 6, U4,o= 5* -6aÇ»-h3a«,

Uo,t = TJ« — c,

(it'néralement, soit

cV>i-à-dire l'expression même de U„, quand on y aura mis — au lieu de .r; on aura

H ^^ *' F,;,-.,($, a ) F„,(Tfi, c)

A l'égard des polynômes V„i^,i, Téquation de définition donnera

l(m)(Ai)

d'où Ton voit que leur expression coïncidera avec la précédente en mettant x et y au lieu de Ç et rj, et en remplaçant a, 6, c par les

coefficients de la forme adjointe ti — g-> - divisés par le déterminant 0 = €/c — 6*. Cela posé, on obtiendra aisément les relations

et celles-ci

3o4 OEUVRES DE CHARLES HERMITB.

d'où se tirent les deux équations linéaires du second ordre aux diflérences partielles

fi^*U//i,« , / d^^m,n dV,n,n . ^wt

Je joindrai aussi à la relation fondamentale

t/__ go ^^ M

les suivantes

sous la condition m >/>, et

en supposant n> q. On en déduit aisément

9 (a:) et S(y) étant les polynômes entiers en x eiy des dej;rés m — i et /î — I, à coefficients arbitraires. Voici la conséquence qu'on en déduit.

Je dis que l'équation U,n,„=o, considérée par rapport à ar, admet au moins m racines réelles, quel que soit v, et envisagée par rapport 'd y^ n racines réelles quel que soit x. Employant en elVet la belle méthode donnée par Legendre dans les Exercices de Calcul intégral pour les fonctions X,,, je supposerai i racines réelles,

NOUVBAU DéVELOPPEMENT EN SÉRIE DBS PONCTIONS. 3oS

I étant moindre que m; et en faisant pour un instant

/(ar) = (ar — a:, )(ar — a:,). . .(:r — ar/),

je prendrai 8(j:) = y(j:), ce qui donne l'égalité

On en conclut que le polynôme F(j:) change de signe au moins une fois entre — oo el -4- oo, sans quoi l'intégrale ayant tous ses éléments positifs ne pourrait s'évanouir, de sorte qu'on peut ajouter une nouvelle racine réelle aux précédentes, et poursuivre ainsi jusqu'à ce qu'on soit amené à la limite du degré de 8(^). Cela donne par conséquent ni racines réelles pour j:, et en opérant sury on trouverait de même le résultat annoncé. Mais on peut aller plus loin et établir que l'équation U;„,„= o, considérée par rapport à x ou y, a toujours toutes ses racines réelles.

Remontant à cet eiFet à la définition même de nos fonctions, savoir

je remarque qu'on a pour m = o

Lo,„ = (-i)" -^^ ,

de sorte qu'on peut écrire

Or on a, d'après l'expression générale précédemment donnée,

et, en vertu de la liaison remarquée entre F,, et les fondions l'„ à une seule variable, nous sommes déjà assurés que Téipiation Ip „= G admet n racines réelles par rapport à r, = bx H- cy^ et par conséquent par rapport à x quel que soit >^. Le facteur exponentiel étant toujours positif, on en conclut ({uc la dérivée

3o6 OEUVRES DR CHARLES HRRMITE.

-T — a /î — 1 racines dans l'intervalle des précédentes.

Mais, en raison de ce même facteur eiponentiel, l'expression

^ * Uo,/i s'annule pour x =z — oo et ^=r-|-oo, d'où résulte

nécessairement, dans la dérivée, deux nouvelles racines, l'une entre — 00 et la plus petite racine de l'équation Uo,„= o, l'autre entre la plus grande et -h oo. 11 est prouvé par là que la nouvelle équation U|,/,= o admet /i -f- i racines; et, en continuant de proche en proche le même raisonnement, on établira l'existence de m -+- /i racines réelles pour l'équation U,»,/, = o, dont le degré est m -h/i par rapport à x. La même chose aura lieu évidemment à l'égard de j% et notre proposition se trouve ainsi démontrée.

Je terminerai par une remarque sur la valeur limite, lorsqu'on suppose n très grand, des termes du développement d'une fonction F(j") par la formule

où le coefficient A„ est, comme on l'a dit précédemment, déterminé par la relation

An= ' nW— I ^ ^ V„F(x)dx,

et qui pourra servir à la recherche des conditions de convergence de ce développement. Suivant à cet effet la méthode donnée par Laplace dans la Connaissance des Temps, année 1827, et appliquée par ce grand géomètre aux fonctions X,, de Legendre, je représenterai l'intégrale de l'équation

-7— r ax —z h an Urt = o

dx* dx

par

U„ =/? sin(ir/a/i)4- q cos{x ^an).

En substituant et égalant séparément à zéro les coefficienLs de

NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DBS PONCTIONS. S07

sini x\an ) et cos( ary/o^), on aura

dp \ l'd^q dq\

dq ï /d^P dp \

et par suite, en négligeant les termes divisés par ^/i, dp dq

d'où

I^s constantes a et ^ se déterminent d'après la condition que U/t soit une fonction paire ou impaire de x^ suivant que n est lui-même pair ou impair, et en comparant au premier terme des développements

On obtient ainsi pour n pair l'expression limite

A„L„=1/— •«* cos(ar^ân)x - / € * F(ar)cos(arv/ân)Éte, l '^ *^ ^ '- •

et pour n impair

A„Lrt=l/--^ * sin(ar/an)x - / « * F(a7)sin(ar/ân)éjtr.

Kn mettant dans les intégrales -—= au lieu de x^ on peut dire

y an

enrore que les termes du développement \^A„U„ tendent de plus

en plus à se confondre avec ceux de la série

fl.r«

tf* ^ -[flr„c<)s(j-v/«/i)-H6n sin(arv/ân)],

3o8 OEUVRES DE CHARLES HBRMITB.

OÙ l'on suppose

an= - I e *" F( -^ jcosaréjtr, ^*/. \vanj

Ces expressions en série au moyen du polynôme U,,, d'après une observation importante faite par M. Bienaymé à Toccasion (fun Mémoire de M. Tchébichef [5ar les fractions continues {Journal de M. LiouvillCy année i858)], appartiennent à cette catégorie très étendue de développements qui donnent des formules d'interpolation par la méthode des moindres carrés. Je remarquerai enfin que la quantité U„ s'offre dans la théorie de la chaleur et a été déjà considérée par M. Sturm dans son beau Mémoire sur une clause d^ équations aux différences partielles (*). Si l'on désigne par u la température d'une barre non homogène, de petite épaisseur, placée dans un milieu d'une température constante, on a, comme on sait, l'équation

du \ dx] ,

Considérant le cas où, pour x=S, ^ = t, la fonction u s'annule avec ses /i — i premières dérivées par rapport à x^ M. Sturm donne l'expression suivante

où le polynôme P, en faisant a pour valeur

{in) (2/1 — 2 ) I . A Ci /i — 4 ) 1 . '2 . 3 ( •>. /i — 6 )

Or, on a ainsi précisément la fonction -j— Lj/i, en supposant

la constante a égale à -•

( ' ) Voir Journal de Liouville^ t. t, p. 873.