EXTRAIT

LETTRE' DE M. HERMITE À M. BORCHilRDT.

Journal de C relie f t. 64, i865, p. 294.

u Partant de ce résultat si beau de Jacobi, savoir

£/«(ar«— i)«

i.a.../i.2'» dx'*

j'ai considéré des polynômes à deux variables

sous la condition a -f- ^ = /i, ou plus généralement

d" iax^-^- 'i.bxy -\- c y* — r )" rfrr« dy^

en imitant exactement comme vous voyez le mode de généralisation p<)ur passer des séries elliptiques \^(?'"^"^'"''** aux séries abéliennes

h^ songeais en même temps à la modification correspondante à

(') t-ne exposition plus détaillée du sujet traité dans cette lettre se trouve dans Ie4 Comptes rendus de l'Académie dex Sciences de Paris, année t865, séances du 3o et à-j février, du 6 et i3 mars. Voir aussi Hkrmitk, Œuvres, t. Il, p. 319.

3to

CitTVRKS [>E CHAHtBS HKttMTTI^,

apporter nu radical y^i — aeï^ + rt^, et c'est auï expressions suivantes

/i — aaj"^ îiè^ H- a* -h é*,

y^ I — 3 a J? -- 1 6j^ -h A a' -+- 1 B aè "h C A'»

que je me suis arrêté tout d'abord, La grande importance du d<*ve-

appelait également mon

» et c'est ici que

loppement de la fraction — attention sur l'expression —-

A asp -^ a»

j'ai un [*reuiier résultat à vous indiquer.

» Soit en eit'et

i — acïj: — y bj + cï^ -h J&*

Ua^p sera un polynôme entier en x et j^ du degré a H- ^, el ron

I ( ^0L4^rZdx<ijr = o,

l'intégrale étant prise entre les limites définies par la condition

sous la condition que la difl*érence st+p — y — S ne soit pas nuUe^ Maïs, en intégrant le produit de deux polynômes diUérents, un n'obtient plus zéro, s'ils sont du même degré- Pour rrUihlir I ana* logie avec les loue lion s d'une variable ayant pour origine le di-ve-

loppemenl de -— ^ — ■ ~ el qui semble ici se perdre, j'ai pensé

à déduire des polynômes l^,^ d'un même degré, d'autres en même nombre qui en dépendent linéairement, auxquels je donne la dénomination Vflj^p, de manière a ij\oir

f 1 ^sL.p^y,ldi^^X - o,

toutes les fois que les de un indices x et ^, y ei ù ne seront pas simultanément égaux. Ce sont précisément ces polynômes qui ni 'ont donné la généralisation des fom' lions d*' Le^endre que je recherchais, mais il est nécessaire pour cela de sorlir de* Texpression I — aax — 2 ùy H- €i^ -\- ù'^ qui a servi de point de départ.

BXTRAIT d'une LETTRE A M. BORCHARDT. 3ll

» Considérant la forme ternaire en a, 6, c c*-t- 'lacx -H 2.bcy -+- «'-h 6*,

j'observe qu'elle a pour forme adjointe

(c — ax — Av)* — (a*-h 6*) (a?*-h />— i);

or en y faisant pour simplifier c = i , c'est le radical

/(i — aa: — 6j)* — (a«-f-^s)(j:»-+- K*— i),

dont le développement donne naissance aux polynômes Va^p, et, si Ton fait

/(i — ax — by)'^ — (rt<-f- 6*)( JT*-*-^* — I) = \^ a« b^ V^^p,

on aura ce nouveau résultat :

>) Soit

les polynômes Va^p seront exprimés de cette manière :

et l'on obtient l'analogie aussi complète que possible avec les fonctions de Legendre. Opérant donc comme le fait Jacobi {Journal de Crelle^ t. 2), au moyen d'intégrations par parties successives^ je trouve quelle que soit la fonction F(j7, y)

entre les limites

J'en conclus que

/ j Voi,fi Vy,S dx dy = o,

si les degrés a -|- p et y H- o wv. sont pas les mêmes, comme cela devait être en effet d'après la dépendance des polynômes Va,p

» \jSk propriété caractéristi(|ue des fonctions Vg^p consiste en ce

3l'i QEIVRËS DE CHARLES HËRMITE.

que l'équation

si Ton fait abstraction du faoteur x ou y, suivant que a ou ^ est impair, représente une courbe fermée, la distance d'un quelconque de ses points à l'origine étant moindre que l'unité, de sorte qu'elle est comprise dans l'intérieur du cercle

D'après l'égalité fondamentale

/ / Ua,fiVy,6€/T^^ = o,

tant qu'on n'a pas à la fois a = y et ^ = 8, on voit que, dans Tintérieur de ce cercle x*-}- v2= i, toute fonction Y(^x^ y) pourra être développée de ces deux manières

qu'il semble impossible de ne pas considérer en même temps. J'ai déjà trouvé un fait semblable d'un double mode de développement en m'occupant des polynômes tirés des dérivées de la fonction er^'^^'^^'y^'y' {Comptes rendus, 1864) (*).

» Les intégrales suivantes qu'on obtient facilement,

dx dy

SI

If-

J (i — lax — 'ÂbY -+- a*-^ />* )(i — ia' X — f.b'y -+- «'*-+- b'^)

TU ab' — ba'

= -T 7— rarctang -, j-n,

ab — ba 1 — aa — bb

dx dy

I — na'x — ib'y -^a'*-^ b'^)\{\ — ax — 6^)*— (a»-H 6*)(ar«-t-^'— i)]'

suffisent pour établir les points essentiels de la théorie des fonctions U et V; je donnerai plus tard dans les Comptes rendus quelques autres détails. »

Paris, 27 janvier i865.

(') Voir aussi Hkrmite, Œuvres, t. Il, p. aqS.