SUR DEUX INTÉGRALES DOURLES

Annales scientifiques de V École Normale supérieure , i** série, t. II, i865, p. 49»

Une question relative à un certain mode de développement en série des fonctions de plusieurs variables repose sur la détermination de l'intégrale multiple

dx dy, . .du

où les quantités P et P' ont pour expression.

P = I — lax — 'xhy — . . . — ilu -h a' -4- 6* -i-. . .-t- /*, P'= I — xa T — 'xb'y -. . .— a /'m 4- a''-+- 6'*-h...-+- /'*,

et Tintégration devant être étendue à toutes les valeurs des variables x^ y^ e/, qui satisfont à la condition

Hn posant Q =(i — ax—by — ...— /m)« — (a*-H 6«-+-...-4- /«)(a7«-+-^« -+-...-+- a* — i), la même question exige aussi la détermination de l'intégrale

' dx dy . . . du

l'VQ

entre les mêmes limites que la précédente. Me bornant au cas de deux variables seulement, et en employant les méthodes élémentaires, je vais développer le calcul par lequel on obtient leurs valeur?».

3l4 (Ct'VRES DE CHARLES HERIIITB.

Soit, pour abréger,

j'introduirai comme auxiliaire un angle 0 défini par les égalités

aa' -H- bb' . ba' — ab' . ^

; — = cosO, ; = sinO,

rr rr

et je ferai un premier changement de variable, savoir a^-^bri bj — ari

par lequel l'intégrale A prendra cette forme plus simple

J J (i — 9.r5 -+-r«)fi — ar'(Çcose-t-Tj8ine)-^r'«|

Les limites d'ailleurs seront déterminées comme précédemment par la condition

de sorte que l'intégration par rapport à t^ devra s'effectuer depuis

r, = — y/i — Ç* jusqu'à Tj = -4-v^i — £^« On trouve ainsi pour résultat

I I . I — •2/-'({ COS0 — /i — Ç* siïiO)-!- r'*

i~-2r5-4-r« 'ir'sinb ''^' , ^r'{^ cosO -+-/irrçi sine) H- r» '

et c'est cette expression qu'il reste à intégrer de S= — i à Ç=:-|-i. Fin posant

; = c^sç,

on obtiendra pour A la valeur suivante

. I r^ » sinQ , I — 2r' cos(9 -+- 6)-»- r'*

A = , . ^ / ao ^^ log ; s- 7T9

2rsin6JJj • I — '^rcosçp-hr* i — ar cos(«p — 8)-^-r* ou plutôt^ en multipliant et divisant par r,

I /''^^ rsino . i — ar' cos(«p -h 0)-+- r'*

^ 'i{ba — ab' ) J^ * i — arcosç -f- /** i — ar'cos(«p — 6)-+-r'*'

Cette intégrale définie se trouve aisément, comme on va voir.

SUR DBUX INTÉGRALES DOUBLES. 3l5

Je supposerai expressément que r et r' sont tous deux moindres que l'unité, de manière à pouvoir faire usage de ces développements :

rsincp

1 — arcosîp -f- r*

= r sin o -4- r> sin atp -I- r* sin 3 <p -H . . ,

log[i — 2r'co8(f -H 8)-t- r'«]

= r'cos(<p-h6)H cos2(îp-H6)-^ — cos3(îp -^ e)-4-. . .

log[i — ar' cos(^ — 6)-+- r'2]

= r'cos(<p — 8)-4--;-cosi(<p — 0)-h -^cos3(çp — 6)-h....

On conclut des deux derniers

£. I — -ir'cosCcp-i- 0)-+- r'* 4 I — 2r'cos(o — 6)-»- r'«

= r' sincpsinO H sinaîp sinaO -h — sin3?psin36 -h. . .,

de sorte que l'on est amené à intégrer entre zéro et tz le produit de deux séries

(rsinç -h r* sin-içp -h r* sin3© -+-. , .)

r' sin© sinO H sini© sinaB -+- — sin3ç .sin36 -h. . . j.

Or, en vertu des relations,

/rfçp sinmcp sin/icp = o,

on obtient ainsi, pour la valeur de A, ce développement

A = T—, 77 ( rr sinO h sin';t6 h s— sin36 -h. . . ),

ha ^ ab \ i 3 /

et, d'après les formules connues, on en conclut immédiatement

. ir 1 . 1 — rr'e-^^^

3l6 OEUVRES DE CHARLES HERMITB.

Observant enfin que l'on peut écrire successivement

log

log = log

= log

rr'(cos6 — yj — i sinS)

rr'(cos6 -♦-\/ — i sinS) rr' sin6 ^7—7

I — rr' eus 6

rr' sin 6 / '

ha' — ah' f

i-aa-66'^ ■

hà — a6' 1 '

I — aa— 66'^ '

on arrive définitivement à ce résultat très simple

iT ha' — ah'

A = -. — ; T, arc tang -, r-77

ha'— ah' ^ i — aa'— hh'

Je considère en second lieu l'intégrale B, savoir

dx dy

elle devient d'abord, par la substitution linéaire,

a'\ — h'yx

d^dy^

»- fi î-

ce qui conduit à intégrer, en premier lieu, par rapport à la variable rj. Il convient, à cet efi'el, d'employer des logarithmes imaginaires, en se servant de la formule

et en remarquant que les valeurs limites de ti donnent Ç^ -4- Tj* = i , la racine carrée placée sous le signe logarithmique pourra s'extraire et deviendra simplement

I — rcosôj — rsinÔTj.

SUR DEUX INTÉGRALES DOUBLES. 3l7

Quelques réductions faciles à voir donneront pour résultat de celle intégration, par rapport à t), entre les limites tj = — ^i — Ç*, T, = -H ^ I — i*, la quantité

I I 1 — rcose(S— y/^y/i — gO

et il s'agit de l'intégrer par rapport à Ç entre les limites 5 = — i , ; = + ..

Je ferai comme précédemment

Ç = COSQ,

ce qui donnera, après avoir multiplié et divisé par r', l'intégrale définie

B = ! — f d9 dîiiiT : |o«

rr' cos6 J^ ^ i — 2 r' ce* '^ -^ -'* ' ' ^

sino I , I — rcosBc-?*'-* 1 — mp =1-3

et, en admettant toujours la supposition déjà faîte de r et r' moindres que l'unité, je ferai usage des développements

r sinç

I — ar cosçp -H

—7- = r' sinçp -f- r'* sinao -^ r'* sin3«p -i-. . .,

I , I — rcosOtf-?'^

log =r-

1 — rcosBe?^-^

iV-i

^ . r* cos' 6 . r» cos* 8 . « = rcos6 siiif H ; sin'2 9 H r sin3(p -h. ...

Maintenant, si Ton intègre entre les limites zéro et tc le produit des seconds membres, on trouvera immédiatement

r / /v (rr'cosô)» (rr' cosO)' 1

rr'cosen ^ -+- ^ h... L

rr'cosô c'est-à-dire

^^'^ rr'cosd'^^^i-rr'cose "" aa' -^ bh' ''^^ \ i — aa'— 66' /

C'est le résultat que je me proposais d'établir; je me borne en ce moment à remarquer que les constantes «, 6, a', b' n'y entrent «jue par les produits au' et />//, de sorte que l'intégrale ne change

3l8 0BUVRK8 DE i.HAKLBS HRRMITB.

pas en y remplaçant a et a' par - > a'^, et b et V par — > Vu, Relativement à A, il est possible seulement de changer a et 6, d^une part, en at^ bt\ a^ et 6', de l'autre, en —» — ; ce sont ces propriétés

qui servent de point de départ à Textension aux fonctions de plusieurs variables de la théorie des fonctions X/, de Legendre.

SUR