DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARUBLES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. LX, i865 (I), p. 370, ^'H. \^i et 5i2.

Les recherches que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie sur les dérivées des divers ordres de l'expression

oii s(x, y, 5, . . .) représente une forme quadratique définie et positive, et dont se tire un mode de développement en série de fonctions de plusieurs variables ( * ), m'ont amené à faire une étude attentive des fonctions X„ de Legendre, comme offrant l'exemple le |»his important et le type des propriétés que j'ai remarquées dans les polynômes U,,,,,,,,", ... définis par l'équation

J*ai été ainsi conduit à une généralisation sous un nouveau point de vue de ces fonctions X„, je \eux dire à un système de polynômes d*un nombre quelconque de variables ayant une même origine que ceux de Legendre, ce qui n'avait pas lieu pour les quantité» L/,,n', /!%...? et à l'égard desquels on retrouvera la plupart des

(') Comptes rendus de l* Académie des Sciences, t. LVIII, séances du 11 janvier et du 8 février. Voir aussi Hkkmite, Œuvres, t. Il, p. 293.

320 OBUVHES DE CHAHLB8 HKRMITB.

propositions de l'illustre géomètre, et même l'analogue du beau théorème de Jacobi, savoir :

** "" 1 . 2 . . . n . •1'* «te«

Ce système de polynômes, et un autre qui s'y joint immédiatement, conduisent à des développements de fonctions de plusieurs variables, x^y^ ^» • • •> ^lans l'étendue limitée par la condition

ou plus généralement

le premier membre de l'inégalité étant une forme quadratique définie et positive. La méthode si féconde et si connue depuis Fourier, consistant à déterminer les coefficients par Tintégration après avoir multiplié la fonction par un facteur convenable, s'applique encore dans ces nouvelles circonstances, mais avec une modification qui semble caractéristique pour les fonctions de plusieurs variables. L'intérêt de ces nouveaux développements, d^ailleurs, consiste surtout en ce que les variables y sont traitées simultanément, de sorte qu'ils ne résultent pas, comme le plus souvent, de l'application répétée du même procédé sur chacune des quantités x^ y^ z^ ..., successivement considérée comme variable unique. Enfin on peut présumer que ces polynômes donneront la solution de questions de minimum ou d^interpolation du genre de celles qu'a traitées M. Tchébichef, et cette étude a été amenée, je dois le dire, par di\ erses questions que m'a posées plusieurs fois sur ce sujet notre savant confrère.

L'expression

I — lax -h a*.

qui <lonne naissance aux fonctions de Legendre et aux formules trigonométriques pour la multiplication des arcs, d'après ces rela-