H I dx

336 0ELVRE8 DE CHARLES HERIIITE.

Nous aurons d'ailleurs pour "Çm.n et XDm,/! des propriétés entièrement semblables aux précédentes, et, comme elles s'établissent de la même manière, il suffira d'indiquer rapidement les plus importantes.

Voici en premier lieu leurs valeurs dans les cas les plus simples

\'Vi=3^, V>M= y(2ia»*-i4^*-+-i),

\'>,., = i5ay^, \*\i= ^(63a7V*-7^*— 7r*-^-0»

et en posant, pour abréger,

V>î.o=?(4a:«-h>'*— I), l9j,i=2op(2J:»j^-l-ar;'»— j:j^),

i:),j= 6pa?^, t)j,i= 2p(6j?*-i-27a?«^»-i-6j^* — 7J"*~7>^*-»-i),

V)o.5= p(47*-^-^*— 0» X:)|,s=2op(2jrx»-ha7»7 — ar/),

V)3,o=4?(^^^-i-r/* — ^)» ^^0.^= p( 16^^-1-1207*^* -h or* — 12^* — 2a7*-hi),

Cela posé, les intégrations étant toujours entre les limites déterminées par la condition

on aura

I / c^ûÇ;'V>/,,,n'C^(x,v = o, f j dxdy'On^n'0^y-=o\

SÉRIE DE PONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. SSj

si les degrés m H- /i et [x 4- v sont différents, et en outre,

I I dxdjry^„i,nV)^^y=o,

lorsque les indices m et [jl, n et v ne sont pas égaux à la fois. Dans le cas contraire, on obtient

/•/^rf^V)..„0..„=.(.- .^„^J.,^^,)

Ce dernier point résulte de la considération d'une intégrale double analogue à celles qui ont été précédemment désignées par A et B, savoir :

C= / l dxdyii — r^a'x — ib'y -^a'^-^ b'^f^^i—x^ — y^)^ x[i — lax — "ihy -h a^{t — ^*)-H 9,abxy -^^ b^{i — «r*)J '. Nous allons en donner la détermination.

Soit, pour abréger,

En posant

«t introduisant les quantités suivantes

aa' -\- bb' ,. ab' — ba' . ^

; = cosO, ; = sinft,

rr rr

nous obtiendrons une transformée en Ç et rj, que nous écrirons ainsi

X[(i — r cosOJ — r siiiOr, )2— /-«({«-h r,«— i)J-». Ce résultat conduit à intégrer en premier lieu par rapport à tj,

c'esl-à-dire à Texpression

r^^(,ç«— Yjt)i[(, — rcosQt — rsinOr))»— r«(Ç«H-V — I)]-»,

qu^on peut décomposer de cette manière

— — r- / ûfirj(i — rcosOJ — rsinÔirj — ry/Ç^-hTj*— i)"* H r- / dri{i — rcosOJ — r sinôirj -+- r/Ç»-i- tj* — i)~\

En faisant

ij = v/i — 5* cos<p,

on devra, d'après les limites de tj, faire croître l'angle ç de zéro

à 7c, et, si Ton pose

L = I — rcos6J,

M = /sinev/i — {«,

ces intégrales deviendront

y/i — ^» r'^ sincpt/y /i — ^» /•'^ sinyg^y

lir J^ L — M cos © — * IM sin çp lir J^ L — M cos<^ + f N sin^ ^

ce qui peut être évidemment réduit à l'intégrale unique

y/i — ;« r^'^ sin y flfy

Ç« /•■"'' sin y flfy

^ L — M cos ç — « N

sintp

Introduisant en dernier lieu la variable 6'?=-5, nous serons conduit à intégrer, le long d'un cercle ayant son centre à l'origine et son rayon égal à l'unité, la fraction rationnelle

^[aLc — M(-3«-+-i)— N(-»«— I)]'

dont il n'y a plus dès lors qu'à déterminer les résidus.

A cet effet, nous supposerons r et r' moindres que l'unité, restriction permise, puisque l'intégrale doit être développée suivant les puissances ascendantes des quantités a, 6, a', b\ Sous cette condition, l'équation

SÉBIB DB FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. SSq

admet une racine inférieure à l'unité, car le premier membre prend pour j ^ i la valeur positive

2 L — -2 M = -2 ( I — /• cos OÇ — /• sin 6 /i — Ç«),

et pour z = — I la valeur négative

— -iL— -iM = — a(i — rcos6{ -+- rsin6/i — î<).

Or, le résidu de la fraction proposée, relatif à cette racine, a pour expression

rcos*0/i— $*\ /i — 2rcos6{ -»- r* cos*6/

en rajoutant au résidu relatif à la racine ^ = o, savoir :

r(i — sine)v/i — Ç**

on trouve l'intégrale de la fraction rationnelle

r {\—z^)dz

^ li-K / I — rcosOJ \

rcos*6v/i ~ Ç* \ /i — 'ir cos6Ç -+- r* cos'9/

et par conséquent

2 ir J^ I- — M cos ^ — f N sin tp

T / I — rcosOJ \

" r»co5«6\^'~ v^i -2rcose5-+-/-«cos56/'

ce qui réduit l'intégrale double proposée à

r* cos*

r*^' ^; / i-rcosQg \

^•^'-i (,2/-'Ç-h r'*)* V /i — 2/cos65 -h r«cos*6/

Maintenante calcul s'achève par les procédés élémentaires, et l'on obtient

p — ir / I I . I -h v^rr' cos 6 \

"" rr' cose \i — rr'cose ~ .^/rr' cos 0 ^^ T^^^/TPTÏ^/

34o OEUVRES DE CHARLES HBRMITE.

de sorte qu'il vient en définitive, en remplaçant rr' cos6 par sa valeur,

- an'-^ùù\i- au - bb' "^ ^ /^^?T^' ""^ T- y/T^^iFTW J

et l'on en conclut immédiatement la proposition énoncée sur l'intégrale

prise entre les limites déterminées par la condition x^-^-y^S. i.

Nous allons considérer maintenant le développement suivant les puissances ascendantes de a et 6 de la fonction

(i — x^ — y^Y\} — '^CLT — nby -h a»(i — y^)

iabxy-\-b*(\'-x^)]-^=\a'^b'^V„,^n,

afin d'établir l'expression déjà donnée du polynôme XD^^n- Soit à cet effet

P = ax -h by -h{a^-\- ô')'(ar«-+-^*— i)«,

Q = aar -h ft^ — (a'-f- ^î )*(ar« -H ^«— I)» ;

on voit aisément que l'on pourra écrire

(i — x^ — y*y[ ï — "J^-ûrar — 'j>by -h a'(i — y^)-^ labxy -h b*(i — x* }\ »

de sorte que l'ensemble homogène des termes de degré k dans ce développement sera

•2iV«*-i- b* cl voici comment on parvient à leur expression.