SÉRIE DE PONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

Revenons à la formule

^\z) ~~^^\,7l ..m.i.2.../i dx"^ dy*^

où z est une racine de Téquation

^(^) = ^ — Y{x->f-az^ y -^ bz)=o,

en y changeant, comme plus haut, a et 6 en -, -• Si Ton prend

F(Xyy)=:x^-hy^^i,

on retrouvera d'abord la même équation en z, savoir :

1g««— IU-+-K = o,

en faisant, pour abréger.

H = I — ax — by^

K = ar«H-^« — I.

Nous en tirerons

II/Hî GK

de sorte qu'ayant évidemment

./ az bz\ / —

on en conclura par un calcul facile ^ / az bz\

Mais, d'après les valeurs de G, H, K, cette expression est précisé-

Mais bien avant, et dès i8i5, un homme du mérite le plus distingué et dont la mémoire est restée chère à ses nombreux amis, M. Olinde Rodrigues, y était parvenu dans une thèse, Sur l'attraction des sphéroïdes, présentée à la Faculté des Sciences de Paris. Cette thèse contient encore la relation remarquable

i.2.../7t — ;/ dx"^-i> i ,9., , .m -i- p dx^^-^-P

<lonnée également par Jacobi dans le même Mémoire, et qui joue un rôle important dans la théorie des fonctions Y„. A Tégard des polynômes Um.n la propriété analogue n'a pas une forme aussi simple. On l'obtiendrait en partant de l'équation suivante, facile à démontrer,

I (lin-{-n—p—*i / J'Y — 1 )"*-•-'*