i — p.i .'A, . .m — (/ dx^-P dy
{^XY --\ )P'*~*' ^//n-/i-+-/>-H7 ( xy — I )fn-¥-n
~ i .1 . . , m -h p . i . K . . . n -h q dx"'-^*> dy'*-*-v
et remplaçant les quantités x et y par x -\-y\l — i , x — y\i — i ; mais ce changement de variables donnerait un résultat un peu compliqué, et je ne m'y arrêterai pas.
SUR
Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LXI, i865 (II), p. 877, 9<>5 et 1073; t. LXII, 1866 (I), p. 65, 167, a45, 715, 919, 969, io54, 1161 et iai3.
La théorie des fonctions elliptiques conduit à deux méthodes pour la résolution de Téquation du cinquième degré. La première a pour fondement la possibilité de ramener Téquation proposée à la réduite
de l'équation modulaire relative à la transformation du cinquième ordre. Dans la seconde, qui est due à M. Kronecker (*), on prend pour point de départ certaines fonctions cycliques des racines dont les carrés ont seulement six valeurs, et que Ton représente par les
quantités
cosam9.(o cosam.^w cosam4(o cosam^Ci)
,. , . K iK' K±iK' 2K±iK'' ç .
co étant successivement -ë^ 9 -r-> = — * ^ • De ces fonctions
on déduit ensuite rationnellement les racines elles-mêmes, qui s'obtiennent ainsi sous forme explicite à l'aide des mêmes quantités. Ces deux méthodes ont été pour moi le sujet d'une longue
(*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, année i858, et Journal de C relie, t. 59, année 1861.
'^(8 OeUVRKS DE CHARLES HERAIITE.
élude, dont j'ai en ce moment l'honneur d'offrir à l'Académie les résultats. Je m'occuperai d'abord de la réduction à la forme trinôme X* — X — a = o de l'équation générale du cinquième degré, et, à cette occasion, de la recherche des conditions de réalité des racines sur laquelle M. Sjlvester a publié récemment un de ses plus beaux Mémoires (*). J'essayerai ensuite d'approfondir la méthode de M. Kronecker et de la rapprocher de la précédente, en prenant pour base le travail remarquable et plein d'invention dans lequel M. Brioschi en a exposé les principes (^). Celte méthode permet, en effet, de ramener l'équation générale du cinquième degré à celle-ci
X* — lod?' -h 4^ir — 4 -\rp = ^i
qui est la réduite de l'équation
1,1 . ,1 . - i/rosam2w cosam4t«>\*
dont les racmes sont les quantités - ( ; ) •
^ 2\cosam4(o cosamao)/
Mon but principal sera d'effectuer complètement le calcul de la substitution qui donne ce résultat si important, et, comme les éléments algébriques invariants et covariants des formes du cinquième degré servent de base à ce calcul, ainsi qu'à la réduction à la forme trinôme, je rappellerai d'abord à cet égard les notions dont j'aurai à faire usage.
Soit
/(^'. y)= ^T^-^ '^^x'^y -h io^(x^^^
( ' ) On the real and imaginary roots oj algebraical equatio.is : a trilogy {Philosophical Transactions. Pari III, i864).
( ' ) Sut methodo di Kronecker per la risohizione délia equazione di quinlo grado {Atti delV Jnstituto Lombardo, l. I, i858, p. 27')).
la forme proposée et
X =z mX -h m' Y,
une substitution S au déterminant un, propre à réduire le covarianl quadratique
au monôme ^/Â.XY, où je pose, pour abréger,
Cette substitution n'est pas ainsi entièrement déterminée; mais on sait qu'on en aura l'expression générale en la faisant suivre de toutes celles qui reproduisent ^A.XY. Celles-ci comprennent d'abord la substitution propre
et la substitution impropre
X = wY',
mais cette dernière doit être rejelée, si l'on veut conserver le déterminant de la substitution S égal à + i. Cela posé, soit pour un instant
/(mX-h/n'Y, /iX4-/i'Y)=F(X, Y) = (a, />,c, c\ b\ a')(\, \ )\ de sorte que l'on ait
F(a)X,-Yj=(aw«, 00)8, cw, c'u)-»,^'w-3, a'to-3)(X, Y)->.
J'achèverai de définir entièrement la substitution en drterminant co par la condition C(i) = c'a>~*; cela fait, je prendrai
F(ci)X, -Y) pour transformée ca/jo/JiV/we de la forme générale du
cinquième degré, et en posant, pour abréger,
actfSsX, 6co5=|x, C(o=v/A*, c'(ja-» = v/ÎF, ^'w-»=ji', a' o)" ••=//,
350 aeVTRES Ûfî CtlAHLES ÏIERMITE*
je la désignerai par«^(X, Y), de sorte que l'on aura
11 est aisé de voir qu'on obtiendra la même forme canonique pour toutes les transformées déduites de la proposée /(^, y) par une substitution quelconque ^ au déterminant uni ^^^ i' suffira d'effectuer dans cette forme la substitution inverse £"* qui ramènera à la proposée, et puis de la faire suivre de S, pour retrouver U J(Xj Y), le déterminant de la substitution composée S~^S étant ™ d^ailleurs égal àTunité. 11 suit de là que tes coefficients de la forme canonique sont des invariants de la forme proposée^ et il importe d'étudier avec soin ces coefficients.
Je dis, en premier lieu, qu*îls peuvent s'ejtprimer en fonction des trois quantités XV^= g^ jajji'^A et k. Effectivement le covariant quadratique de ^(X, Y) étant devenu \/A, XY, on a les deux relations
A jji' — 4 î*^ r ^ "h 3 A^ =î o,
d'où Ton tire ces deux équations du second degré
36/ï«X« — t/i(^ — iGX-)'— 9A:*(5^-l-l6X:)]X-h36^\/ifï=o, li/P|A* — (9A^*-hi6AA — ^A)tx-i-iaAv^ = o.
En les résolvant et posant, pour abréger,
A ^ ( 9 Al -h 1 6 hk — A' /o" — a4' A A''i
on aura un premier système de solutions, savoir
7îiv/F»X = A(^ — nU)t-cjAr*(^H-i6Ar) + (^ — i6X:)/ï, a4 v/ï*|Ji= 9Ar*H- i6M — a^/i — |/^,
et le second s'en déduira en changeant à la fois le signe de ^à dans ces deux formules* Mais, diaprés le produit des racines des équa-
ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 35l
lions en X et [jl, ce second système pourra aussi se représenter par T-» — » c'est-à-dire par X' et jx', de sorte que Ton aura
24 /ï* jx' = 9 A:» -+- 16 M — ^/i -h /Â.
Voici donc, comme on l'a annoncé, les coefficients de la forme canonique
/(X, Y) = (X, 11, A v/Â-, ix', X')(X, Y)»
exprimés en g, A, /:, et Ton va voir que ces quantités s'expriment elles-mêmes par les invariants de la forme proposée.
Je rappellerai d'abord cette proposition : que, ?(^,J^) et (p, (jr^y) désignant deux covariants d'une forme/, si Ton pose
d'où
Texpression
sera encore un covariant de /, et je dirai suivant l'usage qu'il a été obtenu en opérant avec <p(^,^) sur çi (j:, j/*). Cela résulte de ce qu'en faisant
9(mXH-m'Y, nX-h/i'Y)
= AoXv-^ A, Xv-i Y -H. . . 4- Av-i XYv-i -h Av Yv = *(X, Y )
et
<p,(mX -h m'Y, nX -f- /i'Y)= *,(X, Y),
l'expression semblable obtenue en opérant avec <1>(X, Y) sur
4>i (X, Y), savoir :
sera
'b(ni\-h ni'\\ n\ -H /l' Y ) ( m/i' — m'/i)Vi,
où Texposant V| du déterminant de la substitution est le degré de çpi(j7, j^). Je ferai usage de celte |)roposition en prenant pour C>i(X, Y) et ^(X, Y) la transformée canonique de la forme du cinquième degré et son covariant quadratique, de sorte que Ton ait
*(X,Y) = v/ÂXY, *,(X,Y) = .f(X,Y).
On obtiendra ainsi, sous sa forme canonique, un |)remier covariant du troisième degré ( • )
et, en opérant avec le carré de 4>(X, Y), ce covariant linéaire
dX^ d\
-=i2oA(v/Â-X-+-v/^Y).
Enfin on sait que le déterminant
y(-r,r^- ^^ dfx dx dy
{mn!— m /i) ^(//i \ -f- m'Y, /1X-+-/1 \ )= ^ ^ — ^ ^.
Faisant donc
*(X, Y) = v/TXY,
et prenant successivement pour4>i les deux covariants auxquels on vient de parvenir, savoir :
(I) v/Â(f^, Av^,t^')(X,Y)S
ni) A(v/^X-hv^Y),
(*) Il faudrait mettre le signe — devant le !»econd membre. K. F*.
oD obtiendra les suivants ( * )
("1) A(3fx, y/k, -A - 3iJiO(X, Y)»,
iIV) ky/li{/k\—y/kY),
qui sont encore du troisième et du premier degré en X et Y. Maintenant on voit qu'en opérant avec (I) sur (III), on est conduit à un invariant du huitième degré (2), y/A* ([xjx' — k) : je le désignerai par B. En opérant avec (II) sur (IV), on trouve un invariant du douzième degré (*), ^A'A*, que je représenterai par C. On a d'ailleurs
XX'— 3|x[ji'-+- 2/: = /Â;
de sorte qu'ayant posé
XX' =^, fAJJL'=A,
on peut déterminer g^heik au moyen de l'invariant du quatrième degré A, et de ceux du huitième et du douzième degré, que l'on vient de définir, par ces relations
d'où Ton tire
A'-+-3AB-4-C , AB-hC
Knfin j'observerai qu'en opérant sur (I) avec le cybe du covariaul linéaire (II), on obtient un invariant du dix-huitième degré, ayant pour forme canonique y/A^y/A'^([x — ix'). Je le désignerai par K, en posant (^)
K = i2v/TJ"v^(|x— |jl'),
et, d'après les valeurs précédemment données de tx et tx' en fonc-
(') Les expressions (III) et (IV) devraiciil êirc prcccMlées du signe — .
(') Un coefficient numérique 36 sérail à rclublir devant rexprcssioii qui suit.
(') Un coefficient numérique 2 sérail à rc!tiil»lir devant l'expression ^ A^^.
K. W (*) Le coefficient numérique 12 serait à leiiiplacer par 6 devant Texpression de rioYariant K. K. F.
tîon de g^ A, A*, on voit que
K= — /F/Â, et, par conséquent,
K»= A7A = A7f(9A:«-4-i6M— ^/i)«— 24»/iA:»].
Or il vient, en remplaçant g^ A, k par les valeurs ci-dessus,
K« = (A»-4-3B)ïAB»-ha(A«-4-3B)(A« — iaB)BC-h(A«— 72B)AG«-48C»;
de sorte que K^ est une fonction entière des invariants A, B, C. Une dernière et importante proposition nous reste à établir pour terminer ce sujet, c'est que tout invariant, quel qu'il soit, peut être exprimé en fonction entière de A, B, C et K.
En désignant un invariant quelconque, fonction entière des coefficients de la forme du cinquième degré : /= (a, ^, y, y, ^\ «') (x, yY^ par
je remarque d'abord que, la transformée canonique
ayant été déduite de/* par une substitution au déterminant <//i, on a également
et l'on en conclut, d'après les expressions des coefficients X, jjl, ..., données précédemment,
en désignant par P et Q des fonctions entières en g^ A, k. Mais distinguons entre les invariants directs et les invariants gauches, et pour cela considérons la transformée déduite de la forme canonique par la substitution impropre
«avoir :
.f, = (V,ix',AAH^,^)(X„YO».
On remarque qu'elle ne diflere de i que par le signe de y/A, de sorte que l'expression du même invariant 1 relative à ^i sera
Nous aurons donc, selon qu'il s'agira d'un invariant direct ou d'un invariant gauche,
P-hQy/I P-Qy/Â
ou bien
P-4-Qv/Â p — Q/Â
Ainsi, dans le premier cas, Q^o et, dans le second, P = o. J'ajoute que le dénominateur k'* disparait dans l'une et l'autre de ces expressions, qui prendront dès lors les formes plus simples V <ît Qv/Â- On va voir, en effet, que, d'après la nature même de la /onction B, aucune de ces quantités ne peut devenir infinie pour X == o; car, quel que soit co, on peut poser
e(X, |x, v^, /X-, jji', X')= e(Xw5, |jiu)3, y/Â-to, v/Xw-», [a'w-», X'w-»);
<ît, en prenant a)=y/Â', nous allons reconnaître que dans ce cas Je second membre est nécessairement fini. C'est ce qui résulte immédiatement des expressions
•ji4/Fk= 9A:«-h i6/<A — ^A — /Â, -«lui donnent^ en supposant A* = o,
72 /A» X = 2^/1, 1 i v^A^ {X = — 2 gh .
Os deux quantités étant limitées, on voit qu'il en est de même de
e h V (0-* = r^ et jji' w-3 = '
4iïi serait d'ailleurs parvenu à la même conclusion, si l'on eût pris 4jn autre signe pour le radical y/A dans les expressions générales
356 OEUVRES DE CHARLES HERMiTE.
de A et [X, car on aurait opéré de même en supposant lo = — > et
considérant V et [x' au lieu de \ et [x.
Ce qui vient d'être établi fournit une première donnée sur l'expression d'un invariant quelconque des formes du cinquième degré, au moyen de ceux qui ont été définis précédemment et nommés A, B, C, K. Ayant en effet
