A3-H3AB^-C , AB ^- G / C --. K

on voit l'invariant du dix-huitième ordre figurer comme facteur dans l'expression générale Qy/^ des invariants gauches, tandis quo A, B, C se présentent seuls dans les invariants directs. Mais, pour parvenir à notre conclusion, exprimons en A, B, C, K les coefficients de la forme canonique. En posant, pour abréger,

L =C»-f--ABG«-h -i-An(3B-f-As)«(C-4-AB)

— 3oAG(G -f- AB) — qAG*— 9oB*C], M = C«-h-ABG— -, A2(3B2-hAG4-AîB).

L'=-+--i-[A(Aî-h3B)-i5C]K, 7-2

on trouvera

t'As ^ V A»

,ji/C» = -^ — M'v'A, -l'/nï = ^ -+- M'v A ;

ou a d'ailleurs

D'après cela, je fais la sui)Stitation

EQUATION DU CINQUIEME DEGllÉ. 357

dont le déterminant est numérique; elle donnera le résultat suivant

[X-f-X'-h5([Ji-h[ji')-+-2ov/Â-]v^V^T«-+-5[X — X'-h3(fi. — [Ji')]v/Â3T*U ^,o[X-+- )/-^ îx -i- ix'— 4v/'^] V^ÂT3 U2+ io[X — >/ — ( HL ~ fx')] v/Â^T^U' ^ 5[X-+-X'--3(Hi-+-lx')-+-4vI]v/Â^TU»-+-[X-X'— 5(ix-|xO]vÂ^^^

ou bien, d'après les valeurs de X, [x, )/, jx',

2/C^(L-h5MG-i-ioC»)T«— iov/G^(L'-4-3M'C)AT*U

-+-9.ov/(T^(L-hMG — 2G«)A-«T3U5--2ov/G=^(L — M'C)TUÎ3 -4-iov/G^(L--3MG-f-2C»)A-5TU*-9VC^(L'--5M'G)A-«U«.

Cette transformée pourra servir, absolument comme la forme canonique, à donner l'expression générale des invariants de la forme du cinquième degré, qui seront des.fonctions entières de ses coefficients. Or, on observe que A, dans les termes en T'U^, TU*, IJ^, disparaît comme dénominateur; d'après les valeurs de L, M, L', ]\r, on obtient etFectivement

a-+-MG — 2G')A-i

= -2BG2-4-;^A[(3B-f-A*)î(GH- AB)

— 3oAG(G-4- AB)— oAC»— ooB^G]

!- AG(3 B«-h AG 4- AMJ),

(L — 3MG-h2G8)A-*

= Z- [(3B -+- Aï)«(G -f- AB)- 3oAG(G -H AB)- 9 AG«— 9oB»G]

-f-gC(3B^-^-AG-^A«B),

Tous ces coefficients sont ainsi des expressions entières en A, B, C, K, ayant pour diviseur y/G'*, et par conséquent un invariant quelconque sera une fonction entière des mêmes quantités divisée par une puissance de C. Mais les considérations précédentes ayant déjà conduit aux expressions P et Qy^A, entières en ^, //, A', on voit que ce dénominateur, représenté par une puissance de C, dis-

paraîtra nécessairement comme facteur commun. C'est le résultat que je m'étais proposé d'établir et qui autorise à regarder A, B, C, K comme invariants fondamentaux, puisque tous les autres, quels qu'ils soient, en sont des fonctions rationnelles et entières. M'arrétant à ce point dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré, je reviens à mon objet principal en établissant la proposition suivante, qui sert de fondement à ma méthode, cl qui montrera comment les invariants s'introduisent à titre d'éléments analytiques et jouent le principal rôle dans la résolution de l'équation du cinquième degré.

Soient /(x^y) une forme de degré quelconque n et o{x^r) un de ses covariants de degré n — 'ienxety\ je dis que les coejfficients de la transformée enzde V équation f i^x ^ i) = o^ obtenue en posant

sont tous des invariants de f{x^ y).

Avant d'exposer la démonstration, je rappellerai que l'on nomme

covariant de

/i^,y) = (ayb,c, ...)(ir,7)«

tout polynôme o(x,y; a, b, c, . . .) dont les coefficients sont fonctions entières de a, b^ c^ ... et tel qu'en posant

/(/iiX-h/n'Y, /iX-h/i'Y) = (A,B, C, ...)(X, Y)«

on ait

9(X,Y; A,B,C,...) = (/im'— /ii'ny«p(/nX-hm'Y,;iX-+-w'Y; a,b,c,...).

On voit qu'en faisant, pour abréger,

F(X, Y)=/(mX-hm'Y, nX-h/i'Y) et

le polynôme <[> est déduit de F absolument comme çp de/.

Cela posé, je considère les deux équations homogènes

qui donnent celles de Ténoncé pour y = i , et d'où Ton déduit aisément celles-ci

df

sur lesquelles je vais raisonner. Si l'on y remplace les coefficients a, b, c, ... par ceux de la transformée A, B, C, . . . , elles deviendront

et il s'agit de comparer le résultat de l'élimination de a: et y entre les équations (i) avec celui de l'élimination de X et Y entre les équations (2). J'observe à cet effet que l'on peut introduire x et y au lieu de X et Y en posant

d'où

d¥ df df dF ,df ,df

d\ dx dy d\ dx dy

de cette manière les équations (2), en y remplaçant <ï*(X, Y) par (/wn' — m'nyff{x,y)^ deviennent

zlm'-J- -^/^'^Wx(m/l'— m! n^ ^{x, y) = o,

zlm-j'-^-n •-/-) — Y(/?m' — m' nY o(x, y)= o.

Or, en multipliant la première par /«, la seconde par n' et retranchant, il viendra

s(mn'^ m'a)-—- —(n\ -+- n'\ )(mn' — m ny ^(x,y)= o,

36o OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

OU évidemment

z ^ —y{mn'— m'n)'- » ^(x,y)=z o.

De même, en multipliant la première par m, la seconde par m\ et retranchant, on obtient

^~- -4-a7(m/i'— m'ny-^ <p(a?,^)= o.

Ce sont donc précisément les équations (i) qui se trouvent reproduites, en y multipliant o{x^y) par [mn! — m! ny^^ ou remplaçant z par ; — ^^ — 77—, et il va être ainsi prouvé que les coeffi-

cients de la transformée sont bien des invariants de /(x, y). En effet, cette équation en z sera, d'après un théorème connu, privée de son second terme, et, si l'on désigne par D le discriminant, elle aura cette forme

51, ÎB, ,,., M étant des fonctions entières de a, 6, c, Maintenant, si Ton remplace z par ; ; — ^ , ^, ,, elle deviendra

3i z» -h ( mn' —m'n )»'- * jr ««-«

jH jA

-h(mn'— /n' /i )"-» — -»«-»-+-... -f-(/n/i' — /n'n )«'-»-=r = o,

d'où Ton voit que, par le changement de a^ b^c^ ... en A, B, C, . . ., les coefficients tt» n' • * •» tt' 6^» P^n* conséquent, 51, JB, . . ., ^, se

reproduisent multipliés par une puissance du déterminant de la substitution, et sont bien des invariants.

Ce qui précède ne peut être appliqué aux formes cubiques et biquadratiques, qui n'ont pas de covariants linéaires ni de cova-

ÉQUATION DU CINQUIÉMB DEGRÉ. 36l

riants quadratiques, mais plus tard on établira, pour toutes les formes de degré n égal ou supérieur à cinq, Texistence de divers systèmes de /i — i covariants du degré n — 2. Désignant par

l'un de ces systèmes, et posant

j'introduirai l'expression :; = J/ ' — » qui contient n — 1 quantités

JxK^t I)

arbitraires /|, t^^ ..., ^/i i, comme formule générale de transformation à l'égard de l'équation f{x^ i)=o de degré quelconque supérieur au quatrième. On va voir ainsi disparaître en quelque sorte les coefficients de cette équation, pour faire place aux invariants qui prendront le caractère d'éléments analytiques dans les plus importantes questions de la théorie des équations algébriques. En effet, les quantités 51, îî, ..., .0 deviendront des fonctions homogènes de /<, ^2, . .., ^„i, du deuxième, du troisième et enfin du n'*"'* degré, dont les coefficients seront des invariants de la {oTjnef{x^y) ; et, pour montrer immédiatement comment intervient leur propriété caractéristique, en prenant, par exemple, 5t, je vais déterminer le degré de ces coefficients dans les divers termes /;, 'j» 'lî ^21 • • ••

Nommons indice d'un invariant ou d'un covariant ç(j?, y) l'exposant £*, qui figure dans l'équation de définition

= {mn' — /n'/i/<p(/nX -+- /n' Y, n\ -f- /l'Y ; a, 6, c, . . .)>

et soient t,, /2> •••? in-\ les indices des covariants '>fx{x^ y)^ Çj(x, j'), ..., ^n^\{x^y) qui entrent dans la formule générale de transformation. D'après la démonstration donnée (§ V), le changement de a, 6, c, . . . en A, B, C, . . ., dans l'équation en 5, revient à remplacer/,, ^2? .••, par/,(m/i' — //i'/i)'i~*, t^imn' — m' ny*~^j.,,j et il en résulte immédiatement que l'indice du coefficient d'un terme quelconque /«/p dans^ sera /«+ i^ — 2. Mais ce coefficient a pour diviseur le discriminant dont l'indice est n{n — i ) ; par conséquent rindice du numérateur sera la somme /«-f- ip— 2 -h n(n — i ) et son degré en a, 6, c, . . . le double de cette quantité divisé par /i,

ncLVEiES Dic ciiAni.ËS ni:itvrr^.

c'est-à-dîre - — - — ■- - - H- 2(n — i). En introduisant le Jeg^é o»

du CQvarianl ^^.{Xj y) en a^ 6, c, , . *, au lieu de riodic*; i^, 'raprès la relation a/a= 'ïSa — n -^ a, celte formule se i^implifie et devient OaH- 5pH- an ^ 4' ^^ trouvera pour Iei forme culïi<jue Î3, absolument de Hiénie, que le degré du coefficient de t^t^ty est 5a -h 2^-h5y-|-3/î — 6. Ce sont ces fonctions % et JB qui jouent le principal rôle dans la réduction a la forme trinôme de Téq nation du cinquième degré, car celle réducllon dépend de la r*''solutioa des équations 31= o, ÎB := o. Et ici le point qui m'a semblé le plus essentiel et m'a le plus préoccupé consiste a vérifier la première en exprimant ^,, z^? h^ ^\ t^n fonction linéaire île ilcu\ indéterminées. La méthode à laquelle j ai été amené repose en entier sur le choix des quatre co variants du troisième de«;ré qui entrent dans la formule de transformation^, et voici comment on les obtienL

Une remarque facile a établir, et dont j'ai fait usage ailleurs (*), me servira de point de départ. Elle consiste en ce que les coefficients des termes en ç et x^, dans le développement de Texpression

?i(s— -.^^LK^'^-g)^

où ç(^, y) et ^f{x^ y) sont deux covariants d'une forme quelconque/(.c^x), sont encore des covariants de la même forme. En supposant ©(jr,y) du secoud degré et Ox{Xjy) du troisième, on voit ainsi un premier covariant cubique donner naissance à trois autres, et les éléments de la formule de transformation

^ lyi(^, i}H- eiytl^r, nH-^>^pil^Jr^ i)-^ ^^4(3?, 1) M^. I)

semblent s^otVrir d 'eux-mêmes ^ en partant du covariiuil tfuadra tique ( * ) Voit lI^HMiTS, Œîivreif t. tll, p. 3o8.

EQUATION IIU CINQUIÈME DEGRÉ. 363

et du covariant du troisième degré obtenu au paragraphe 111, en opérant avec ©(a:, y) sur la forme proposée /{Xy y). Désignons, pour les introduire dans l'expression (i), par<ï>(X, Y)et<ï>i(X, \ ), les transformées canoniques de îp(j:, y) et 0| (x, y); on aura

♦.(X, Y) = v/Â(.aX'-h3v/^X*Y-h3v/ïXY»-h|Ji'Y»), et Ton pourra remplacer

par

Posant donc

dxj *i[(5-^/Â)X, (t4-ti/Â)Y].

♦i[($-'ri/Â)X,(î + r,v/\)Y]

voici, sous forme canonique, les expressions des covariants que nous sommes tout d'abord amenés à prendre pour ^i{x^ y)j 52(^1 y)j . . ., à savoir :

<ï»,(X, Y) = v/ (fxX3-h3v^X»Y-h3/^XY*-h[Ji'Y»), <|>,(X,Y)= A (|JiX3-f- v^X«Y- v^^XY»-[Ji'Y»), <ï»,(X,Y) = /»(fxX»— /^Xn- /^XY»-f-fi.'Y3), *i(X, Y)= A»([jiX5— 3/^Xn' -h 3/ÂXY»- {jl'Y').

Le premier est du troisième degré par rapport aux coefficients de la forme proposée, ou, si l'on veut, du troisième ordre (* ), et a reçu de M. Sylvester la dénomination de canonisant. Sous cette forme de déterminant, savoir

il sert de base au mémorable travail de rilluslre analyste sur les

(') Pour abréger, je désignerai désormais, sous le nom d'o/v/rc, le degré des coTariants ou inTariants de f(x^ y) par rapport aux coefficients de cette forme.

36i OEUVRES DK CHARLES HERMITE.

conditions de réalité des racines de l'équation du cinquième degré. Je me bornerai à observer, à son égard, que toute forme cubique (a, b, b\ a')(.r, yY admettant pour covariant Texpression

(Oib^—Zabb'^a'a^, b^b' -+- aba' — 7.ab'^,

— b'^b — ab'a'-h ia' b^, — 26''-+- 3a' 66'— aa'»)(a?, ^ )',

on en tire un nouveau covariant du troisième degré et du neuvième ordre ^^ (:2?, j), dont je désignerai la forme canonique par ^'i{X, Y), de sorte que l'on aura

W,(\, Y)= /Â^(2/F-3[JiA:-f-ix'[ji»)X»

-+-3v/Â7( /^-+-[JiiJi'v/I — 5tfi^)X*Y -3v/»( v/>t3-h[Ji[ji'v/3t — 2fx'A-)XY»

— /Â3(2»/^— 3[ji'A--4-tx[Ji'»)Y».

Le second covariant 02{jC^ j'), qui est du cinquième ordre, donne lieu à une observation importante. Lorsque la proposée /(t^ y) admet un facteur linéaire au carré, il contient ce facteur à la première puissance, absolument comme les dérivées •^^^-J-'/f voici la démonstration de cette propriété.

Désignant par o- et t deux constantes arbitraires, j'observerai qu'en prenant pour les coefficients X, [x, . . ., de la forme canonique

é?=(X,Ht,V^,v/Â',îi',X')(X,Y)S

les valeurs suivantes

JX= j(3a-+-2T)T(jS

jji'= -(3x-h2(j)<rtS X' = (6'w — Sa}-:»,

qui donnent identiquement

Xfx'— 4[jiv/Z-h3A: = o, X'fx —4 Ht' v/^-+-3A: = o,

elle devient

.? = ((iX-+tY)«

x[(6a — 5-:)a3, (4t — 3<j)Tjî, (4<j— 3T)(r:î, (ôt — 5<j)':5](X, Y)».

On a donc ainsi, dans le cas d'une racine double, l'expression générale de la forme canonique et, par suite, de tous ses covariants. En particulier, on obtient

*j(X, Y)=T54A(a\-f-xY)

X [(3(i-h 2T)aV ~(T - a)Tcr, -(^t-h 3x)tî1 (X, Y)«,

ce (|ui établit la propriété énoncée. Mais on reconnaîtra qu'elle n'appartient plus aux covariants ^'i{jCiy) et ç»(x, ;), et c'est ce qui conduit à les remplacer respectivement par les suivants

qui sont encore du septième et du neuvième ordre, et où elle se retrouve. On obtient en effet, dans le cas d'un facteur double, les expressions

= -i-v/»xa(aX-+-xY)r(3a-f-9.T)(j*, -^T-h(T}T7, (3':-h2a)xî (X, Y)*,

|*4(X,Y)-h3A*,(X, Y)-+-9GV,(X,Y)

= ~ ^/^^^«^«((J — T)(3Tî-H2':7-h3':î)((TX-hTY)»,

cl, î»i on les désigne de même par 'f3(.*-, ^0 ^^ ?4(^».^') ^^^ ^^ "^ pas multiplier les notations, leurs formes canoniques seront

1>jfX,Y}= /Â^(5îJiX»-v/>fX2Y-v/Â^XY*-i-3;/Y3), '^^(X, Y )= /Â^Lj/Âîji h- yr>(-2v/^^- '\\xk -^ .u';x«)]X3

- 3v/Â^[3 v/Â/Â - 9<Kv/^-^- ;^:^'v''^ - ' :^/0]>^* v

- /Â3 [ 7 v/Â a' -f- 90 ( 2 /X^ - 3 ^' k -4- ji.u'* )] Y^