OEUVRES OK C
conditions de réalité des racines Je me bornerai à observer, ii ^t (a, 6, 6', «')(*^? .X)' admcttanl
on en tire un nouveau m variant ordre ^t (x^y)^ dont je désigner de sorte que Ton aura
Le second covariant ©^(jr, ^) lieu à une observation i tu pot admet un facteur linéaire? au i
mière puissance, absoliutieni '
démonstration de cette propr
Désignant par o- et t deui
qu'en prenant pour les f^opfliir
^=iX, fA,^^
les valeurs suivantes
xM
qui donnent identiquement
^pt^diiwttie de trimsfùnuiH IpenMftflûlÊiiiml défim«(*>| ^•HM? laftârianl du huitième «■■L lîf €^ lie é q u n 1 1 o îK 1%(f r cd'iUL facteur double
A. lî, C,
nt i (»Q egrafianl du pirmlfr tlwr Niicuirc dftté un Ciirré»
,,iri / = ï<i»*t - - » I i'*t a' K A', r >• P le dborimioâtit : M, C»y\ff
miiL I rdrei
I »hiU ff4«i«/ii> carré. Or m oprnint.
„r dr^ré 91 d*onlrT 3n~4t a>iïïi*€l g fh ^^ t r Ui^irur linéaire, Diiis le
• N DU CINQUIÈME DEGHÉ. 36y
/•vanouil bien dans le cas où la proposée • 'j;alcs. I/invariant du douzième ordre
se présentera bienlôt, pourrait être appelé r'S deux condilions D = o, D| = o exprimant it deux facteurs linéaires doubles.
Mil.
s à un point bien important et qui servira
^ considérations précédentes, c'est le calcul
ue à quatre indéterminées désignée par J3l.
les coefficients de cette forme sont des inva-
r de plus qu'ils contiennent tous le discrimi-
leur, le coefficient du seul terme t^ étant
à cet ert'et Texpression
l)-+- WOjCa", l)-r- PÇj^X, l)-h W O'JX. l)
>ant -«9,(3:, i)-f-rcp3(j-, t)-i-wt^i(x, I);
liant OTo) ^ii ^'2'> -^3? -^4 les racines de l'équation tité B(j?o) sera divisible par
- .— a:, ) ( J-o^ •'■2 » ' ^0 — .'"3 )f ^0 — 'fi ».
I eflel -> -• — * — » - dans H(x) par leurs valeurs a a se a oc \ / i
racines, H(.ro ) prench'a évidemment la forme sui-
r fonction entière. Cela étant, plaçons-uous daiiî» le
«rines égales, en supposant par exemple XQ=zu*i,
'\iiriants qui entrent dans H(j7), et |)ar conséquent
I rllc-méme, s'évanouira pf)ur .r == 7-„. Il en résuit*»
■ .^2^ ^3i ^a) S'annule quand on y fait .r„ = .ri, rt il
iiiMiie pour
OU encore
<Ï>4(X,Y)= /Â'[(7^-h75A-i8X)îx-64Xfx'/t]X»
~3v/Âi[(3^-M5iA-9oA-)Â — 64X>»]X»Y
- V^[(7^-^ 75A-i8A)Hi'-64X>/î]Y».
Tous les covariants dont se compose la formule de transformation pour Téquation du cinquième degré sont maintenant définis (* ), et il ne me reste plus qu'à montrer que l'invariant du huitième ordre D = A^-j- 128B est le discriminant de cette équation. Effectivement les équations (i) relatives au cas d'un facteur double
donnent
g ={— 3oa*H-Ci':(X — 3ot«)(x5t»,
a5/t =(6(t«-hi3tj-+-6':«)(x»t5,
A- = j6t«, d'où
fr -^ ii'ih — lafiX- = o,
et en remplaçant g^ A, k par leurs valeurs en A, B, C,
(*) Celui du neuvième ordre mérite d'tHrc remarqué; si l'on opère en effet avec le covariant quadratique sur ^^{x, y)y on est conduit à un covariant du premier degré qui, dans le cas où la proposée contient un facteur linéaire élevé au carré, •coïncide avec ce facteur. Sa forme canonique est
A'[(3^-m5iA-9oA)v/^ — 6'4X'jx2]\a'[(3^-m5iA — 9oA-)0t — 64V']y.
L'n résultat analogue a lieu pour toutes les formes / = (a, 6, . . ., 6', a')( x. y)'* -de degré impair et supérieur à trois. Soit, en effet, D le discriminant; M. Caylcy a démontré que, pour D 3 o, le covariant
devient la puissance /i'*"* du facteur contenu alors dans/au carré. Or en opérant
sur 9(j:, y) avec la puissance du covariant quadratique du second ordre
de la forme proposée, le covariant du premier degré et d'ordre 3/1 — 4, auquel «•n sera ainsi amené, sera évidemment, pour D = o, ce facteur linéaire. Dans le -cas de n = 3, mais dans ce cas seul, il s'évanouit identiquement.
ce qui fait voir que D s'évanouit bien dans le cas où la proposée admet deux racines égales. I/invariant du douzième ordre D,= 25 AB-h if)C, qui se présentera bientôt, pourrait être appelé second discriminant, les deux conditions D = o, D| = o exprimant que la proposée contient deux facteurs linéaires doubles.
Nous voici parvenus à un point bien important et qui servira d'épreuve à toutes les considérations précédentes, c'est le calcul de la forme quadratique à quatre indéterminées désignée par J3l. Déjà nous savons que les coefficients de cette forme sont des invariants, je vais prouver de plus qu'ils contiennent tous le discriminant D comme facteur, le coefficient du seul terme t^ étant excepté. Reprenons à cet efl'et l'expression
/çp,(ar, i)-f-MO,('j', \)-^v^^(x, i)-i-iV94(jr, i)
et soit pour un instant
e(a") = «ç,(a:, \)-^vr^^(x, i)-H wçvCx, i);
je dis qu'en nommant x^^ Xx^ x^^ J?3, X\ les racines de l'équation proposée, la quantité 6(^0) sera divisible par
Remplaçons à cet effet ->-.—*—» — dans ^(x) par leurs valeurs
en fonction des racines, 6(xo) prendra évidemment la forme suivante :
\\{XQ,Xx,Ji'i,X:i, :rv),
n désignant une fonction entière. Cela étant, plaçons-nous dans le cas de deux racines égales, en supposant par exemple Xo=jC|, chacun des covariants qui entrent dans B(j7), et par conséquent celle fonction elle-même, s'évanouira pour x=^Xq, 11 en résulte que n(j:o, ^1, ^21 ^z^ ^\) s'annule quand on y fait Xq=zXx^ et il en serait de môme pour
a:o = a?j, Xq = x^y Xo= Xi,;
d'où Ton voit que cette expression est divisible par
On peut donc, en désignant par ^(x) une fonction entière, écrire
Cela posé, et observant que l'équation en z n'a pas de second terme, j'exprime ^ par la somme des carrés de ses racines, ce qui donnera
le signe ^l ^'^ns le second membre se rapportant aux diverses racines x = Xo, X|, Or, on sait, par un théorème élémentaire,
que
se réduit à une fonction entière, et l'on voit par là que, à l'exception du coefficient /-, tous les termes de ^7 sont entiers, ce qui démontre la proposition annoncée.
Déterminons maintenant l'ordre de ces termes à l'aide de la formule du paragraphe VI,
ôa-f- op H- '^/l — 4»
et qui s'appliquera, en prenant pour 8|, 82, 83, 8*, les valeurs 3, 5, -, (j. Pour les coefficients de t^j /p, v^; «^, uw, iv-, on obtiendra les nombres 12, i(), 20; 16, 20, 24, multiples de 4î quant aux coefficients de lu^ Av, im\, vnr, ce seront des invariants d'ordres inî|)airement pairs : i4, 18, 18, 2a, et par conséquent tous sont nuls, car, en les divisant par le discriminant qu'ils contiennent en facteur, Tordre des quotients est inférieur à 18, qui est le plus petit degrc possible d'un invariant gauche. On reconnaît ainsi, et avant tout calcul, (|ue ^ est la somme de deux formes quadratiques à deux indéterminées, l'une en t et ç, l'autre en 11 et iv, de sorte que le mode de solution de l'équation ^ = o, dont dépend essentiellement la réduction à la forme trinôme de l'équation en 5, se
ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRK. SGg
présente de lui-même en égalant séparément à zéro ces deux formes.
Voici cette équation qu'on obtient par une méthode facile :
l [D,/«— 6BD/P — D(D, — loAB)!'»] ^'^ 1 ^-D[— Bm«-4-2D,mw-4-(9BD — ioAD,)w«] = o.
D|, comme on Ta dit plus haut, est
a5AB-f- i6G, et, en posant
D,/î— 6BD^v — D(D, — ioAB)t'>=o, Bm«— 2D1MW — (9BD — ioAD,)w«=:o,
on trouvera, si Ton écrit, pour abréger,
N = DÎ — ioABD,-f-9B«D,
ces valeurs bien simples :
3BD4-v/ND D,-4-/N
/ = JT, ^' "=— g— ^-
Aussi avais-je pensé qu'elles étaient la conclusion définitive de ma méthode, lorsqu'un nouvel examen de l'équation (1) me fit apercevoir cet autre mode de solution où des invariants du huitième ordre seulement figurent sous les radicaux carrés. En récrivant ainsi :
on la vérifie si l'on pose
ti — Dv^-h iDuw — loAD w'= o, 10 A f* — 6tv — a' -h gDiv' = o.
Or, en faisant
ces équations deviennent
— 5AV«-*-3v/DTV-f-U«-hioAL\V^-(-25A«— 9D}\V«=o. H. - II. 24
ijO OEUVRES DB CHAliLES HEnUITB*
La première est satisfaite par ces valeurs
V = ûW +
où 9 reste arbitraire, et^ en les substituant dan^ la seconde, il siiffira pour la vérifier également de prendre
Deux voies s'ouvrent donc comme con*ie^quence de ces deux modes de solution, pour achever la réduction k la forme trinom*' "en ealculant et résolvant Téquation du troisième degré îl ^ o. Et, comme on ne peut voir d'avance aucun tnoLif de préférer Tune u Fautre^ toutes deux doivent être suivies afin d*cn comparer les résultats, et reconnaître les irrationnalités quelles inti'oduisenl dans la formule de substitution. Mais^ me s^entanl plutôt attiré vers la méthode de résoluhon de réqualion du cÎDf|uièiue de^^é à laquelle M, Kronecker a attaché son nom, j'ai préféré consacrer a l'approfondir le temps que ces calculs paraissent exiger. J'indiquerai cependant quelques cas particuliers où ils s'abrégeraient beaucoup, en supposant par exemple D^^o ou B:^u; car il suffirait de prendre, dans le premier,
et, dans le second^
Enfin, si Ton avait
t = ±i/bt% iv = o,
ce qui rendrait illusoires les expressions de T et V, un devrai! poser
d'où
En m'arrélant donc à ce point, en ce qui concerne la premieiv méthode dv résolu lion, je vais encore, avant de nr occuper de la méthode de M- Kroneckerj déduire de ce qui précède la délermi-
nation, au moyen des invariants, du nombre des racines réelles ou imaginaires de Téquatioii du cinquième degré*
Les résultats obtenus dans Tétude des formes à deux indéterminées, indépendamment de leur intérêt propre, paraissent avoir pour conséquence de donnera la théorie des équations algébriques une base nouvelle, et je ne pense pas m'éloigner trop de Tobjet principal de ces recherches en montrant de quelle manière les nouveaux éléments de TAlgèbre, invariants et covariants, s'introduisent dans les questions résolues pour la première fois par le théorème de Sturm. Mais ou verra leur rôle commencer seulement à partir du cinquième degré, comme pour rendre manifeste, sous un nouveau point de vue, la profonde diflérence qui sépare les équations des quatre premiers degrés, seules solubles par radicaux, de celles des degrés supérieurs. Ainsi on a déjà remarqué que la formule générale de transformation
na pas d'existence effective à l'égard des équations du troisième et du quatrième degré; mais, ces cas exceptés, je vais donner la définition des n — i covariants qui servent à la composer.
Je dis, en premier lieu, que toute forme du degré n admet un covariant quadratique du second ordre en supposant n impair, du troisième pour n = 4i--\-^i et enfin du cinquième pour /i = 4*4-8, ce qui exclut le cas de n = /\.
On a effectivement, pour les formes du deuxième et du troisième degré (a, 6, ûr')(:c,7)S {a, b, b\ a'){x,yY, ces covariants
(aa'—b^y{a, b, a'){x, y)^, (a^a'^-hiab'^-h/ia'b^—^b^b'^ — Cyaa'bb'y X{b^—ab\ bb' — aa\ b'^— a' b)(x, yy-,
d'ordre 2i-i- i et 4' -H î^-î ^^ en conclut par la loi de réciprocité Tcxistence, pour les formes de degré 2/+ i et 4/+ 2, de covariants quadratiques du deuxième et du troisième ordre. Pour le dernier cas, il est nécessaire de partir des formes du cinquième
degré, et je vais établir qu'elles ont un covariant quadratique d'ordre 4' 4" 8. J'opère à cet effet sur le covariant cubique et du troisième ordre, ayant pour expression canonique
cï>uX, Y) = v/Â(hi, V/I, V/^, K')(X, Y)S
avec le covariant linéaire et du cinquième ordre obtenu paragraphe III, savoir :
On parvient ainsi au covariant quadratique et du huitième ordre, savoir ( ' ) :
et il suffit de le multiplier par A' pour obtenir l'ordre 4' -h 8, de sorte que l'on conclut, par la loi de réciprocité, comme précédemment, l'existence d'un covariant quadratique du cinquième ordre pour le degré 4 « -+- 8.
Ce résultat peut servir de base pour généraliser la notion des formes canoniques (-) telle qu'elle a été donnée au début de ces recherches; mais actuellement je me bornerai aux conséquences que voici :
Désignant par <f{x^y) le covariant quadratique auquel on vient de parvenir, j'observe qu'en opérant sur la proposée avec ç(x, y) on obtient un covariant du degré n — 2 que je représenterai par ?i i^^y)' Cela posé, et en recourant de nouveau au théorème dont il a été fait usage au paragraphe VII, le système des n — i covarianls du degré n — 2 pourra être défini par les coefficients des termes en S et r, dans l'expression
(*) Un coefficienl numérique — 3 serait à rétablir devant l'expression qui suit.
(') On ne pourrait plus, en considérant par exemple le septième degré, déterminer les coefficienis de la transformée ^ =(\ p., v, ^7. v^i ''» Î^'>^')(X, Y)* en fonction de W = g^ «xj!' = /t, W = k et /. Il serait nécessaire de joindre à ces quantités, V — v', p. — jx', et niéme a — X' qui s'expriment facilement par des invariants gauches; par cela seul on peut juger quelle différence sépare le cinquième degré dès degrés supérieurs.
V la vérité, et dès le cas de n = 5, ces covariants ne sont pas ceux qui ont été employés; mais ils présentent cet avantage d'avoir des transformées extrêmement simples, qu'on peut obtenir explicitement si l'on y fait la substitution propre à ramener o(Xj y) à la forme monôme ^AXY. Et c'est ainsi qu'on peut démontrer qu'ils sont linéairement indépendants; mais j'arrive immédiatement, sans m'arréter à ce point, à mon principal objet, qui est d'obtenir, au moyen des invariants de la forme proposée /(a?, y)^ le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation /(:r, i)= o.
A cet effet je rappellerai le principe dû à Jacobi, qu'en réduisant à une somme de carrés, par une substitution réelle, la forme quadratique
H- ( /o -f- A:/i -i- /:Vj -h . . . -H A"-» /„-! )«,
où a, 6, ..., ^ sont les racines de l'équation proposée, le nombre des carrés affectés de coefficients négatifs est précisément égal au nombre des couples de racines imaginaires. Et, si l'on fait
n(x)= ^o^o(ir)-H/|TC|(a')-+-...-H/«-|7:„>-,f:r),
ro(x), T:i(.r), ..., TZn-\{^) étant des fonctions rationnelles quelconques de ;r, le même fait a lieu à l'égard de la forme plus générale
, n«(a)-i-lP(6)-+-...-Hn«(A:).
Or, en prenant
tous les coefficients seront des invariants de /(.r, y)^ et par conséquent, si on la réduit à une somme de carrés, ce seront bien des invariants dont les signes détermineront le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation f{x^ i)=o. On peut encore
observer qu'en posant
on aura
nî(a)-i- n«(6)H-. . .-h n«(A-)= n^î-f- <ï>«(a)-+- *«(6)-f-. . .4- *«(A:},
de sorte qu'il suffit d'opérer sur la forme quadratique à /i — i indéterminées
C'est ce que je vais faire dans le cas de l'équation du cinquième deg^é, en supposant comme précédemment, pour obtenir la réduction à la forme trinôme,
ce qui donnera
-DF =[D,/« — 6BD/V— D(D, — ioAB)p>|
-+-D[— Bu«-h2D,Miv-+-(9BD — loADOw*].
J'observerai d'abord que le discriminant désigné par D est le produit des carrés des différences des racines, multiplié par le facteur positif 5*, et l'on en conclut aisément que la seule condition D<;() est nécessaire et suffisante pour que l'équation possède deux racines imaginaires et trois réelles. Mais l'hypothèse D > o convient aux deux autres cas de cinq racines réelles ou de quatre imaginaires, qu'il s'agit donc d'examiner.
Pour le premier, F doit se réduire à une somme de carrés tous affectés de coefficients positifs; ainsi il faut et il suffit que les formes quadratiques
(I) D|/»— 6BD/P — D(D, — ioAB)p»,
(II) — Ba»-f-2D,Mw4-(9BD — ioAD,)w«
soient définies et positives. Faisant donc, comme au paragraphe V III,
N = DÎ — ioABD,-*-9BîD,
on aura les criteria suivants :
Pour le second, deux des coefficients des carrés doivent être négatifs, ce qui est réalisé de deux manières différentes : d'abord par la condition unique N > o, car les formes (I) et (II) seront ainsi des différences de carrés, et ensuite en les supposant toutes deux définies. Tune étant positive et l'autre négative. Cela donne avec N <; o les conditions
Di > o, B > o,
ou bien celles-ci
c'est-à-dire simplement BD| > o.
On remarquera que parmi ces criteria ne figure point la combinaison
N<o, Di<o, B>o;
et le motif de cette exclusion est qu'on supposerait ainsi les formes (I) et (11) définies et négatives, c'est-à-dire F réductible à quatre carrés affectés de coefficients négatifs, ce que l'on reconnaît impossible d'après son origine même. Le Tableau suivant peut donc résumer nos conclusions :
N > o, une racine réelle, quatre imaginaires;
N < o, BDi>o, une racine réelle, quatre imaginaires;
N < o, BD, < o, cinq racines réelles.
Mais voici un autre système de criteria auquel va nous conduire la méthode suivante :
Supposant toujours le discriminant positif de manière à n'avoir à distinguer que deux cas, j'écris, comme au paragraphe VIII,
-4-BD(ioAi^« — 6/p — a«-H9Diï'«).
Cela posé, soit pour un instant
^= /«— Dt^î-f-iDMw — loADiv», i^= ioAp* — fi/p — a» -h ^Dtv*,
d'où
— [ww* — 2Duw ■+- D(ioA — 9(o)tv»J.
On observera qu'on peut rendre un carré parfait chacune des deux formes quadratiques en ^ et i^, £/ et (v, en posant
90)* — loAo) -h D = o,
de sorte qu'en nommant coetw'les deux racines de cette équation, on aura
(£ -+- io':^=(/ — 3a)V)»— iu'fu — ^, wV, et, par conséquent,
'>.*-BD^= £i^iZ 52[(,3.V).-.-'(«5..)']
-1 ; \(t — 3wi»)* — îli { u iv ) .
