CD — (D L^ V ^ / J
Or voici les conséquences de cette nouvelle décomposition en carrés :
Supposons les racines co imaginaires, c'est-à-dire aS A' — 9 D <; o, on pourra évidemment poser, en désignant par T, U, V, W des fonctions linéaires réelles de /, «/, v^ ii',
»"- -?£(, 3,0'.). =(T +v^:rTv)',
(O — tu
DiO)'- BD ta' — tu ,D,to— BD
(t — 3tu f)» =(T — v'^^V)*,
to
tu -
► — «»> \ tu /
D,tu'— BD/ D \» .. y s,
tu ; lu w) =(L— /— l\N),
to— tu\ tu/^
de sorte que F deviendra
ou bien
Nous parvenons ainsi à deux carrés affectés de coefficients négatifs, et, par conséquent, quatre des racines de l'équation proposée sont imaginaires.
éQUÀTION DU CINQUIÈMK DEGRK. 877
Soit, en second lieu, aSA'^ — 9D>o; deux cas seront à distinguer, suivant que A sera positif ou négatif.
Dans le premier, les deux racines w sont positives, on est donc
comme tout à Fiieure conduit à deux carrés dont les coefficients
sont négatifs. Et dans le second cas il en sera de même encore si
, . . 0,0) — BD D,cd'— BD , , . . • rfc
les quantités — ^ r-» — ^— ; sont de siernes contraires. Ur on
^ to — o) 10 — tu *='
trouve
(D,co — BD)(Dia)'-BD)= -Î-ND,
d'où la condition
Enfin, en supposant N -< o, F se réduira à une somme de carrés, dont les coefficients auront tous le même signe, et par conséquent seront positifs, le cas où ils seraient négatifs devant être rejeté comme on Ta déjà vu. Les conclusions qui précèdent sont ainsi résumées :
7.5A* — 9D < o, une racine réelle, quatre imaginaires; aSA* — 9D>o, A>o, une racine réelle, quatre imaginaires; •i5A*— 9D > o, A < o, N > o, une racine réelle, quatre imaginaires; •ij A* — 9D > o, A < o, N < o, cinq racines réelles.
Elles S'accordent avec les résultats auxquels est parvenu M. Sylvesler dans le Mémoire déjà cité, et j'observerai, pour en faciliter la comparaison, qu'on a, entre A, B, C et les quantités désignées par J, K, L, A dans ce Mémoire, les relations suivantes :
J = A, K= — B, yL= G-h AB, A = A»— 2>»L.
Mais la marche que j'ai suivie ne saurait conduire à ce fait, si important et si nouveau en Algèbre, des criteria renfermant un paramètre variable entre certaines limites, et qui me paraît une des plus belles découvertes du savant géomètre anglais. C'est dans une autre direction que je vais suivre encore ces questions intéressantes, en m'occupant du système des fonctions doni les signes servent à déterminer le nombre des racines réelles, comprises entre des limites données.
Après avoir remplacé par des invariants, dans les équations de degré supérieur au quatrième, les expressions données parle théorème de Sturm pour la détermination du nombre de leurs racines réelles et imaginaires, on est amené à se demander s'il nV a pas, à parlir du cinquième degré, une modiPication correspondante à découvrir dans le système des fonctions que ce théorème célèbre présente sous une seule et même forme analytique pour les équations de tous les degrés. On peut ainsi penser à retrouver leurs propriétés caractéristiques dans certains covariants, afin de les employer alors au même usage; mais ce sont des covariants doubles qui m'ont paru s'oflrir au moins de la manière la plus immédiate et la plus facile, comme je vais le montrer.
Mon point de départ est dans une généralisation du système des
fonctions
V =(x — a)(x — 6)...(ar — X),
v.=vy-J-,
que je vais d'abord indiquer.
Employant avec M. Sylvester (*), afin d'abréger, le symbole !î(rt, 6, . . ., k) pour désigner le produit des carrés des dlflercnccs des racines a, 6, . . ., /»", je poserai
,M ^j'^ix —a){x'—b){x'— c) ^. ,
(*) On a Theory of the syzygetic relations, dans les Transactions philosophiques de i853, p. 4^7-
de sorte que —^ sera Tinvariant de la forme quadratique
Jê^ X — a
De là on conclut déjà, d'après le principe de Jacobi (*), que le nombre des variations de la suite
est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises entre x et a/, plus le nombre des couples de racines imaginaires. Cette dernière quantité se déterminant en faisant x = x'^ on voit que les nouvelles fonctions qui sont à deux variables remplissent le même objet que celles de Sturm. J'ajoute qu'elles ont absolument les mêmes propriétés et, bien que je n'aie pas à les employer ultérieurement, j'indiquerai, à cet égard, les propositions suivantes.
Soit
•Çi = XiX"-^ -+- B/a:"-'-» 4- ... ;
les coefficients A/, B/, . . . étant des polynômes entiers en x' du degré i, on aura, entre trois fonctions consécutives \'^i, ^/, '^z+i, la relation suivante :
On voit ainsi qu'elles pourront de proche en proche s'obtenir toutes en partant des deux premières, X>o ou bien V qui est le premier membre de l'équation proposée, et 'vj^i dont voici l'expression. Supposant que V soit donné par la fonction homogène /{x, y) pour^ = I , on aura
* dx dy
en faisant de même y = i .
C'est donc uniquement dans l'introduction de cette quantité
(») Ueber einen algebraischen FundamentaUatz und seine Anwendungen (Journal de Crelle, t. 53); voyez aussi une Note de M. Borchardt faisant suite i rtrticle de Jacobi.
CE L' VU ES f>E CIlAftLES rrEBMlTE.
à la place de la dérivée V( ^ ~ que consiste la modification af
portée aux fonctioQS du tbéorènie de Sturm, el, pour bien en luoiitrer reflet, je va! à employer succineleinenl le mode de démon* ' stration de ce lliéori'inc fondé sur des considéra lions de continuité, en laissant fixe la cjuanLité x' et faisant croître x de jTq à X. Partantl pour cela de Téquation
je rcuiarque que, si x' est en dehors de ces limites et supérieur à X,J par exemple, X^^ se comporte exacLemenl comme la dérivée %*•] D'ailleurs^ quand une fonction inleruiédiaire quelconque 'Çi\ s^annule, V^/i et X^/^i sont de situes contraires; donc IVscès du nombre des variations de la suite (2) pour x ^^ Xq^ sur le nombre des variations pour *r ^ X, est égal au nombre des racines réelle» H de réquation V = o, qui sont comprises entre x^ et X, En supposant .r'<CXii, on pourrait eurore raisonner de méuie^ mais en faisant décroître x de X a ^0. Enfin, quand Jt' est compris entre .r^ et X, on trouvera que rexcès du nomlïre des variations pour^| X ^ Xti sur le nombre des variations pour x ^ X représente le nombre des racines réelles comprises entre Xq et x\ moins le nombre des racines comprises entre x' et X, el ces résultats s'accordent évidemment avec l'énoncé donné plus haut. J^indiquerai, en second lieu, la relation
W,- et Vi étant des polynômes ration ne fs et entiers en j: el Le premier \\ 1 est Tinvariant de la forme quadratique
de sorte que la suite des polynômes à deux variables 1, W,, W., ..„ W«
donne par les variations, absolument comme la suite des fonctions <'/, le nombre des racines réelles comprises entre x el x\ augmenté du nombre des couples de racines imaginaires* Pour avoir
ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. ' 38l
Te^pression de U/, soit
e(/>) = (a-/>)(a-a;')-f.(ô-/>)(6-ar')-...
-H(A:-/>)(A:~a:') = 2(«-/>)(«-^'), cl de même
el ainsi de suite. On trouvera ainsi
Vk=^(^—a)(x—b)(x — c),{x'—a)(x'—b)(x''-c)l!i(a,b,c)^*(a,b,c),
La loi de ces expressions est évidente, et, bien que dans Téqualion (2) l'indice / ne doive pas surpasser n — i , on peut néanmoins les continuer jusqu'au terme U,/ que Ton trouve aisément avoir pour valeur V^i'C>„. On obtiendrait de même d'ailleurs
\V« = V\'^^, d'où \v„^, = o,
comme on pouvait effectivement s'y attendre. Mais c'est la relation
qu'on doit surtout remarquer; si, pour abréger, on représente par -!->—• •••» — les valeurs de la fonction V, pour j: = a, 0, ...,/*, de sorte que
-\- =(a — b,(a'—c)..Ja — / J,
— z=zt b — a*' b — c f. .,( b — A).
382 CBUVRES DE CHARLES HERMITB>
on aura les expressions suivantes :
jb^ \x — <i)\x — a)
On voit assez, sans aller plus loin dans cette étude, rélroile liaison de ces nouvelles fonctions avec celles du théorème de Sturm dont elles reproduisent les propriétés analytiques. Elles servent ensuite de transition naturelle et facile pour arriver à celles dont je vais établir l'existence à partir du cinquième degré et qui sont des covariants doubles de la forme /(^, ^), Féquation proposée étant /(^, i)= o. Pour cela, il suffira de remplacer la forme quadratique
qui donne naissance aux fonctions \*>, par celle-ci :
ll*(a),
011 Ton a, comme au paragraphe X,
En eflet, les expressions ' '~^ " étant des covariants doubles, et
les quantités n(a) des invariants, tous les coefficients de cette forme seront des covariants doubles en x et y d'une part, x^ et r' de l'autre, et auxquels on pourra donner f{x, y) pour dénominateur commun. Mais je ne veux pas m'étendre davantage sur ces questions générales, qui m'éloigneraient de mon sujet; je m'abstiendrai même d'appliquer ce qui précède à l'équation du cinquième degré, pour entrer immédiatement dans l'étude de la méthode de résolution par les fonctions elliptiques dont M. Kronecker est fauteur. Les recherches que je vais exposer m'offriront d'ailleurs l'occasion de donner un système spécial au cinquième degré de ces covariants en x et i*, x^ et y qui peuvent remplacer les fonctions de Sturm.
La transformation des fonctions elliptiques conduit à deux sortes d'équations alj;;ébriques de la plus grande importance pour TAIj;èbre et la théorie des nombres ; les unes sont entre les modules X
el /*, les autres entre le multiplicateur -^ et le module. Ce sont ces
dernières qui ont été, au point de vue de la résolution de l'équation du cinquième degré, le sujet des beaux travaux de M. Kronecker et de M. Brioschi, et, comme les résultats obtenus par ces éminents géomètres me serviront de point de départ, je vais les rappeler succinctement.
D'après un théorème de Jacobi, démontré dans le n** 3 des Annali di Mathemalica, t. I, année 1858, p. i^5, par M. Brioschi (*), on
sait que les racines de Féquation du sixième degré entre '=-=^ x
et /', savoir
/— sin am4oj sin arnSd)
yx =^ . >
sm coam 4 1» sin coam 8 o)
. K vK-+- iK' •> , ^
(o étant successivement — el t pour v = o, i , 2, .5, 4, s expriment de la manière suivante :
Désignons par y/Xy celle qui correspond a w = : , ce qui
conduit naturellement à adopter la notation \/x^ pour la première qui est donnée en faisant (o = —; on aura
(i) • /J^= Ao-hA,-4-A2. ' v^= Ao~ ?»A,-f-p*Aj.
' v/^= Ao-HpA,-hp*A„ ( /r^= Ao-f-p*A,H-pA,;
p étant une racine cinquième de l'unité. Ces expressions remar-
(') Le P. Joubcrt avait trouvé, de sun côté, la munie démonstration, en s*occupant de la formation des équations entre M et A' pour la transformation relative au cinquième, septième el onzième ordre {Comptes rendus, séance du la avril i858).
384 ueijvitK:s ue ciiarlëb heaiiite.
quables u'apparlieiinenl pti;* uniquement d'ailleurs h l'ëqualion entre x et k : elles se retrouvent a l\^gard des racines des étj nations analogues (^) que donne k théorie des fonclionià elliptiques
entre Fin verse du multiplicateur x et les quantités ^^i Xj* • Lidêe hardie, et qui devait ^tre si féconde»
d'étudier en général loules les équations du sixième dc^-ré dont les racines s'expriment de cette manière^ quels que soient A(j, A|, A3, revient en entier à M, Kronecker. L n premier résultai, obtenu mais non publié par le savant géomètre, a été donné par M. Brioschi à la page a5f> des Annali di Matematica^ \. I, année i858, et consiste dans la rormation même de cette équation du sixième degré» Si Ton pose
AjAi,
B ^ 8AJA, At-îiAÎ Aî Aî-h Aî Aî- Ao(AÎ-+- Aî), G = 3ioAîAîAÎ — irioAiAÎAÎ^2oA;AtAt-*-(iAîAS
«4Ay(3.ïAÎ — !îoAÎA,A,-h:iAîA3)(AÎ-hAf)-h A[»-
elle aura cette forme remarquable ( ^ ) ;
(:r^ A)'(3*- 5A)"[-ioB(a7 — A)> — G(3r — A)-
»Bï— AC = 0.
Un second résultai exlréuiement iraporlanl esi dans rabaissement de cette éc|uation au cinquième degré {*). Les expressions
données par la formule
Findicê V étant toujours un nombre entier pris suivant le module 5, sont en elFet les racines de Féquation suivante, où j^fl représente
i') M* ÛnHJscnit Stit méthode di Kmneckcr per la riiôtu^ione dHle cquttsiotii di quinio gr^do, Atti delV Ifuiittiio Lombardù» l» l^ r858, p. a^S, | ïl, et le I*. JoLîBEnT, Comptes rendus, t. Xt.VII, iH5Ht p. 3:Ji»
(') M, Kiior^ECKERi Ueàer die Gleichuftgen fûnften Grades {Journal de € relie, t, 59, année t&h).
(') Le ca* particulier de Téquation M et A" a¥ait été pour la première foi^ obtenu par (e P. Joubert ( CQmpies rend m ^ séance du la avril i858, t, XLVI, p. :i8).
le discriminanl. ( ' ) de la proposée, savoir :
v»-+- 2oB^*H- 10(98»— XC)y^-h iooB(9B«— AC)^»
-H •25(9B«— AC)«^ — /Û = o.
Enfin cette réduite peut être simplifiée, et, en posant y/y=:4ar, M. Brioschi parvient ultérieurement à ce beau résultat (2) :
, 5B , 5(qB«— AG) 1 4/77
Il sert en efiet d'origine à ces équations remarquables du cinquième degré dont les racines s'obtiennent sous forme explicite à l'aide des transcendantes elliptiques, et qui, à cet égard, offrent deux cas principaux. Le premier s'obtient en posant
alors l'équation du sixième degré en x n'est autre que la relation entre le multiplicateur et le module considérée plus haut, çt, comme
on l'a dit, on a
/- __ sin am(j> sin am8(o
sin coam4(<i> sin couin8(i>
Quant à la réduite, elle a la forme trinôme
ar5-t- Sk^k'ix — aXU'Hi — ïA») = o,
à laquelle j'ai eu pour but, dans la première partie de ces recherches, de ramener toute équation du cinquième degré. Le second cas s'obtient en posant
il conduit à la réduite
(•) On trouve aisément, pour A = o,
n =(C'-.ia3H^)'; «l, pour B = o,
(2) .%*• 5 des Annali di Matematica, année i858, t. I, p. 326. H. - II.
OU plus simplement, en mettant -rp au Heu de ar,
a?* — lox^-^ ^^x -h 4-
kk'
et c'est à cette équation particulière que la méthode de M. Kronecker permet, comme on le verra bientôt, de ramener le cas général. Quant à Féquation en x du sixième degré, ses racines s'expriment de celte manière
— cosamao) cosain4a)
cosam4(» cosani'io)
v/ar =
(o étant toujours -r et z ; nous avons amsi les quantités par
lesquelles M. Kronecker est parvenu le premier à représenter certaines fonctions cycliques des racines de l'équation générale du cinquième degré, et par conséquent les racines mêmes de cette équation. Mais je renonce à dire, en énumérantees divers résultats, ce que je crois plus particulièrement appartenir au géomètre allemand et à M. Brioschi, plusieurs choses fondamentales me paraissant avoir été simultanément découvertes par les deux auteurs. Je citerai surtout ce qui concerne les résolvantes de l'équation générale du cinquième degré, dont les racines ont la forme donnée par les équations (i). J'ai étudié avec admiration l'analyse donner par M. Brioschi sur ce point si important, et elle me servira Ai' base pour les considérations que je vais exposer.
Désignons par Çv, Tindice étant un nombre entier pris suivant le module 5, les racines de Téquation (a, (3, y, ■/, p', a')(Ç, i)5= o, de manière à représenter par ces formules de M. Betti, savoir
Çav-t-6« Ç(av-+-6)*-+-<ï
OÙ a^ b. c sont également des nombres entiers pris suivant le module 5, les 120 permutations de ces racines. Elles se décomposent en ces deux groupes de 60 permutations conjuguées.
savoir
Ça»v-f-6 I
de sorte que toute fonction rationnelle des racines, invariable par les substitutions d'un de ces groupes, n'aura que deux valeurs distinctes, et s'exprimera rationnellement par les coefficients de la proposée et la racine carrée du discriminant. Considérant désormais comme quantité adjointe cette racine carrée, on pourra se borner aux substitutions (1), et les fonctions des racines dont nous allons surtout nous occuper, qui ont seulement six valeurs, seront caractérisées comme ne changeant pas par les substitutions ^a^+b- Soient donc m = F(Çoi Si» $2, Ss? \\) une telle fonction et Un ce qu'elle devient en remplaçant Çv par $3v«+/i5 les six valeurs qu'elle pourra prendre pour les 60 permutations (I) seront w, Moj Wi? Wsj «3, W4, et le système de ces quantités donne lieu à la remarque suivante. Convenant de représenter la première par a., et les autres par Unt l'indice étant pris suivant le module 5, on vérifiera très facilement qu'aux substitutions
(A) correspondent ( * )
Un
i Un
Mais les substitutions (A) répétées donnent toutes celles des formules (I), et il est visible qu'en composant entre elles les substi-
Un \
tutions (B), on trouvera pour résultat
en -h il :
des entiers pris suivant le module 5 et tels que ad — ijc est résidu quadratique. On voit donc que le groupe de l'équation en //, dans
(») Par m se iroufc désigné a,,', n' étant un entier tel que nn'^-.i (modj). n
CEtïVUKS DE CHARLES IlERMtTB.
le sens de Galois, est le même que celui de Féqualion modulaire du sixième degré; mais cette remarque, que j*avais indiquée ( '), ïi^est qu^un premier pas vers un résultai Ijeaucotip plus important donné aussi par M. Briosehî.
Supposons qu'au Heu d'être invariable par les substitutions Ç<i»v4,&î 1*1 fonction des racines que Ton vient de désigner par u soit cjcliqye, et cbange de signe quaxid on y remplace Çy par ^^^: on trouvera qu'aux deux premières substitutions (A) correspondenl
celles-ci : î " U\ '^ L et que le résultat de la troisième est
représenté ainsi :
Ui Ui Ui u^ I
Ut U, Uf —u^\
Cela poséj faisons dans les relations ( i ) dn paragraphe précédent Ap /s = A:^ /s -K A'o -h X'i -h A'î h- kt -k k^^
^At/Ï^l^^ pA, +pUt-+-p«Â^*-+-p*AH,
p étant une racine cinquième de l'unité, satisfaisant à la condition
—\/5 = p -hp^— p«— p*, et elles deviendront
|/^^ = k^ V^5 -i-ka-hki-^ Aï -H A j -4- A'4 ,
/a?<, — X'a, 4- A^tt /s — A t -+- Arj -h Aj — A * , i/57 = k^ — A'^H- A"! /5 — Ati h- A'â H- At* |/^ = A^H- A'o — Al -h Aï v/5 — Aj -h Ati, ^/5Ï — Ar^ H- ^0 H- A I — A, -V* A*, /5 — *%, |/ï^ = A". ^ Ao H- A| -+- A j ~ A'a -H Ai /5,
Or, en représentant le système des quantités x et A' par jr« et An, Tindice rievant recevoir les valeurs qo, o, i^ a, 3, 4» ^^
(*) 5(iJ' ^d théorie des fondions homogène» à deux indetet'mintts { Cambridge and Dublin Malhémaiical Journal ^ a a née iSS4)* Hermitè^ €Eu^T€s, t, l» p. 346.
éQUATION DU CINQUIBIIB DEGRÉ. 889
vérifie immédiatement qu'aux substitutions | " [, ] " > cor-
respondent celles-ci | " ', " , et enfin que la suivante
1 t / f. [ donne absolument de même pour
résultat
On voit donc qu'en posant Ar„=w,/ les substitutions élémentaires (A) effectuées sur les racines Çy ne feront que reproduire, sauf l'ordre ou le signe, les quantités \fôcii\ par conséquent il en est de même de toutes les substitutions (I), et les coefficients de l'équation du sixième degré en x sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée du cinquième degré, et de la racine carrée du discriminant.
La belle découverte de M. Kronecker est une conséquence immédiate de ce que l'on vient d'établir. Revenant en effet aux expressions désignées dans le paragraphe précédent par A, B, C, on voit qu'en disposant de la fonction cyclique u et du module, de manière à avoir
^ = ^' ^=-îû^' ^ = "' k^k'^ '
les six quantités y^ seront explicitement données par la fcrmule
cosamso) cosam4(i> cosani4(<i> cosamao)
A cet effet, soit pour un instant
la fonction cyclique choisie par le savant géomètre est celle-ci, où figurent deux indéterminées p et q^ savoir
M= (oia)-t-(i23)-h(a34)-+-(34o)-4-(4oi) -(2io)-(32i)-(432)-(o43)-(io4).
Cela étant, la condition A = o détermine — par une équation du
Sqo OBUVRBS de CHARLES UERMITE.
second degré ; la relation
dont le premier membre dépend seulement de — > donne Ar*Ar'*;
enfin la condition B = — Trpi ^ichève de déterminer/? et q. Voici maintenant une remarque importante qui résulte de cette méthode.
On a vu tout à Theure que l'équation du sixième degré
(i) (ar — A)»(a7 — 5A)-+-ioB(j: — A)»— C(2r — A)-+-5B«— AG = o
était réductible au cinquième, la transformée obtenue par M. Brioschi ayant pour racines les expressions
où l'indice v prend les valeurs o, i, 2, 3, 4* H s'ensuit qu'en partant de l'équation générale
et faisant kfi = u,ij nous allons pouvoir revenir au cinquième degré en obtenant comme conséquence du passage par l'équation (i) ces résultats bien remarquables. En premier lieu la transformée en z, savoir
ne contient pas, comme on le voit, de puissances paires de l'inconnue. En second lieu, comme on l'a dit plus haut, dans le cas deA=i, B = o, C = — 2*A'^Â-'^, et dans celui-ci : A = o,
B = — TTFi' G = 2* — TTpi — ' c'est-à-dire, au fond, en supposant B = o ou A2=.o, cette transformée peut être résolue par les fonctions elliptiques. On voit donc combien il importe de recon-
ÉQUATION DU CINQUIEME DEGRÉ. Sgi
naître de quelle manière dépendent les inconnues z et ;; voici comme on y parvient.
Soit pour un instant
R = A. -h A-o-4- ^^^'(At -h A-,), S = ^, 4- A-V-+. î-ïlLl(A-,— A-o),
T = ^,-A-,-f-^^5^(A-,-A-0, on trouvera immédiatement
y/xl—^xl= — (/5-+-i)T, v^-+-V^=2Ri
et Ton en conclura Zq= eRST, e désignant un facteur numérique. De cette expression rationnelle par rapport aux diverses quantités /'„, on déduira ensuite une autre racine quelconque z^^ en
ofTectuant la substitution ] '* [• Ce résultat montre qu'en faisant
k„= Unf le produit RST, qui devient alors une fonction rationnelle des racines Ço? 5ij $2? $3? $4) est symétrique par rapport à quatre d'entre elles, et peut s'exprimer rationnellement en Ç©» au moyen des coefficients de l'équation et de la racine carrée du discriminant.
Effectivement, la substitution | " (, par laquelle Zy, se déduit
de wo, s'obtient comme on l'a vu dans le paragraphe précédent, en faisant sur les racines Ç la permutation circulaire qui consiste à ajouter le nombre v aux indices. Cette propriété singulière et si remarquable du système des valeurs de la fonction cyclique désignée par M, se retrouverait encore dans le ])roduit de ces trois facteurs où (Il est arbitraire, savoir
R = W«-4- Mo-^ (0(aj -+- Mj),
S = Wi -+- a v4- w ( M^ — Wo ),
T = Mj — MjH- (J>( Ml — Mi).
5q% fKHVnSi DIS GHARI.I?$ IIERHtTË.
Ainsi on reconnaît que tes substiiuttoos
donnent pour résultats
Mais, nous proposant d'approfondir cette nouvelle formule de trançformalîon qui raint'ne à Téquation (2) Téqualioii géncnite du cinquième degré, nous supposerons toujours dans ce qui va suivre
Les recherches qui me restent à exposer dépendent principalement du choix de la fonction cyclique des racines £û, ï,, ;2i ïa? st-^ de r équation générale
que Ton a préeédemmcnt désignée par a. C'est de la en ellet que se déduira la formule de transfonnalion ^ ^ RST, où la nouvelle inconnue est une fonction rationnelle et entière de la racine ^<i, et en prenant pour a un invariant par rapport au% racines, cette formule, comme celle dont j'aî d'abord fait usage, savoir
conduira à une transformée dont les coefficients seront des invariants de la forme y :^ {a, p, y, v', p\ a')(:r, ^)'- Les deux substitutions se ramènent en cfTet au même type, et chaque expression ti donne naissance à des covariants cubiques tels que ç»(jr, ^')» Ça(^î y)^ ' * «^ mais dont Tordre est toujours un multiple de 4 augmenté de 3, J'ajouterai encore à ce rapprochement entre les deux méthodes de résolution de Téquation du cinquième degré, en déduisant de la seconde les conditions de réalité des racines. Sous ce nouveau point de vue, on verra qu'il ne sera plus nécessaire de
EQUATION DU CIIfQUIBMB DEGRÉ. SqB
recourir au principe de Jacobi, le caractère propre de la seconde méthode consistant en ce que Ton opère toujours directement sur les racines. C'est pourquoi nous aurons lieu d'employer, dans tout ce qui va suivre, une transformée canonique de la forme proposée, diffrrenle de celle qui a été considérée au début de ces recherches. Nous la définirons par une substitution linéaire qui donne pour
résultat
f = (o,a.b,b',tt',o)(r,9)S
et de manière qu'aux racines lo, $,, Ço, $3, ^^ correspondent respectivement les quantités i, e, o, ao, r^, en posant
Soit donc I = a''6(Çoî $n ^2» S37 Ç4) l'expression en Ço» $1? ••• d'un invariant dont l'ordre soit un nombre pair quelconque /i; en désignant le coefficient de Çj dans B par 0(Ço? Su $2» is? $4)» on iuira pour forme canonique
I=(5a)«e(i,£,o,Yi).
Je vais appliquer ce résultat à l'invariant du dix-huitième ordre K, dont je rappellerai d'abord l'expression en fonction des racines.
Soient à cet effet
F=(Ço-?l)($0-$4)(?3-$l)-+-($o-?î)(5o-?»)(?t-î*), H=(5o-$l)(îo-b)(?4-$t)-4-($0-$t)^$0-$4)(?»-$l),
ri convenons de représenter par Fv, Gv, Hy ce que deviennent respectivement ces quantités, en ajoutant aux indices des racines, toujours pris suivant le module 5, le nombre v; on sait qu'en faisant
A V ^— r y ijly 11 y
on aura, abstraction faite d'un facteur numérique, K = a»*XXiX,X,X4.
Cela étant, désignons par j'y, Cj*^, OCy les formes canoniques des quinze facteurs Fy, Gy, Hy; elles s'exprimeront en e etrj comme
394 OEUVRES DE CHAItLES IIERMITE.
il suit :
ef = 1 — 2 E -H er,, (^ = er^ — 1 , 3C = i — 9.r, -+- er, ,
Ji = 26 — 6* — T^, C)*i = aeT, — e* — tj, 3Ci = — e*-+-ïi,
J'l= £4-7) — erj, Çf,= £ — 7) -+- ÊTj, 3Cj = e — Ti — ÊTJ,
.f3=64-r. — I, g3 = — 1-£4-7), aC,= e — TJ — I,
.f 4 = — £ -H 2 ETi — r.ï, ffv = £ — •> siQ -4- r,*, OC^ = — E 4- V,
et, si Ton pose
la transformée canonique de l'invariant du dix-huitième ordre sera
K =( Ja)i8-\:-\M.\:,A;,.\n.
Ces quantités F, G, H ont pour notre objet une grande importance, et tout à l'heure il sera nécessaire de connaître comment elle se permutent les unes dans les autres, lorsqu'on effectue la
substitution | / [• Or on trouve aisément ces résultats, savoir :
-lU
-Fi
Gv
Relativement à la substitution ] / U on obtiendrait
H Hi H, F F, F,
et par conséquent les expressions suivantes,
aeFFjFjFaF*. aSHHiHjHaH,,
EQUATION DU CINQUIËIIK DEGRÉ. JqS
que l'on reconnaît immédiatement être des invariants, et qui sont aussi des fonctions cycliques des racines, se reproduiront Tune et
l'autre, changées de signe, lorsque l'on fera la substitution j ^ >•
Elles réunissent donc les conditions qui permettent de les employer à composer une fonction u contenant deux indéterminées; mais leur étude exige que l'on considère en même temps que F, G, H les quantités
/=($.-$i)(Ç.-S4), ff=(ii-M{U-U). A=($i-St)($3-50.
En désignant par /v> ^v? fh ce qu'elles deviennent lorsque l'on ajoute V aux indices des racines, on trouve que la substitution
J ^ > opère les changements que voici :
fft
\ff
ffl
ffi
gî
gi>
\ff
ht
ht
gi>
gx
La substitution } ^ [ donne pour résultat
-ht
-ht
gx
gt
gi
gi
— gi
— gi,
— gi
— gt
ht
ht
ht
d'où l'on voit que, sauf certains changements de signe, les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, quand on effectue les mêmes permutations sur les racines de la proposée. Me bornant à remarquer en ce moment qu'en posant, pour abréger,
^ = (îo-$,)(îo-$2)($o-b)($o-^.K
3g6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
on a les relations suivantes :
F«-.G»=4M, j'arrive immédiatement à l'étude de nos fonctions cycliques.
Soient à cet effet
U = afiFF,F,F3F4, V = a«HH,H,H3H4,
de sorte que l'on ait pour l'expression de u avec deux indéterminées
le système des six valeurs : u^^Uq^ ii^^ ii^^Uz^ u^ s'obtiendra, d'après ce qui a été dit au paragraphe XIV, en effectuant sur la première,
qui représente w«, la substitution \ ^ [> ce qui donnera w/ en
prenant « = o, 1,2, 3, 4- On aura, d'après cela,
U«= a6FFiF,F,F4, V.= afiHH,H,H,H4,
Uo = -a6FII,G,G3H4, Vo = a«HG,F,F,G4,
U, =- a«nF,H,G3G4, V, = a«GHiG,F,F4,
U, = -a6GHiF,H3G4, V, = afiFG,H,G3F4,
U3=— a^GGiHjFjHi, V3 = a«FF,G,H,G4,
U4= — a«HGiG,H3F4. V4 = a«GF,F,G3H4;
or ces expressions donnent lieu aux transformations remarquables que voici :
U« = -+-a«F[A»H»4-(/i»-+-/rA)FH-f-(A»-h/ç')»/],
Uo=-Ha«F[/i»H«-(A»-h/^/»)FH-H(A«-+-/^)«/],
U, =-a»H[^»G«-(^»-t-/r/i)GH+(^«+/A)«/], U4=-a«H[^»G«-+-(^»-t-/rA)GH-^(^«-+-//i)«/],
U,=-t-a«G[/»F«-(/»-t-/rA)FG-.(/«-f-^/0*/], U,=-a«G[/3F«-+-(/»-t-/rA)FG-4-(/«-+-^A)«/],
el
( V« = -a»H[/»F«-(/«-4-/^/t)FH-(/«-4-^/t)«/], ( Vo=-4-a«H[/»F«-t-(/»-+-/^A)FH-(/«H.^/i)«/],
\ V, =-a«G[/i»H«-+-(/i'-H/^/i)GH-(/iî-4./r)«/],
V, =-ha6F[^>G«-+-(^»-h/^/i)FG-(^»4-//i)»/], V,=4-a«F[^»G«-(^»-h/^A)FG-(^«-+-//i)«/].
La démonstration est facile, comme on va voir; il suffit, en eftet, d'établir la seule relation
U.= a«F[/i»Hî-h(A»-h/^A)Fn -h(A«-H/r)«/],
pour en déduire toutes les autres. Or elle revient à cette égalité F|F,F,F4= A»H»-+.(/i3 4-/^A)FH -f-(Ai-h/^)î/,
que Ton vérifie immédiatement en employant les expressions suivantes :
F,F, = (5,-$,)/'"-+-ao-5i)(lo-50(^*-+-/?),
F3F, = ($,-?OAH-4-(Ço-?3)(|o-$4)(A«+/^), et observant que l'on a identiquement
(Î0-?l)(l0-Çî)($.-ÇO + (?0-{3)U^0-Ç4)(5|-{«) = (5o~5l)($0-Ç4)(Ç3~Î2)-H($o-$«)(5o-Ç3)(Çl-Ç4)=F.
i^uant aux produits F1F2, FaF*, je remarque qu'en multipliant le premier, par exemple, par a^/i/^» on obtient un invariant par rapport aux racines dont la forme canonique est
(5û)*7l(e-.7i)(2t — £«— r^Xen-Tî — ETî).
Voici d'ailleurs la forme canonique de la quantité
«Vi/«[(Çi-?OAH4.({o-$i)({o-{î)(/'»+/r)],
savoir
(5a)W/e-T,)[(e-i)V-+-(e3-3£*-+-£)r, — eî(e — 2)],
de sorte qu'ayant
(2» — »î— Ti)(e -4- 7i — eT,) = (e - Or^î-^U'— 3£«-H e)7) - c»(» — :*),
3gS OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
on établit par l'égalité des formes canoniques celle des expressions proposées elles-mêmes. Après avoir démontré la relation
U«= a«F[yi»H»-f-(yi»-f-/^A)FH ^(h^^/ff)Ul
nous en déduirons comme il suit toutes les autres. Soit pour un instant
nous obtiendrons d'abord Uo, en effectuant sur les racines la substitution ] J [ qui laisse / invariable et donnera
Uo=*(F, -H,A,/i«-4-/r,/).
Maintenant, ajoutons aux indices les nombres i, 2, 3, 4j il
viendra, en désignant par /|, ^27 '3? '4 les valeurs correspondantes
de /,
U, = *(F„-H„ Ai,Aî-h/,^„/,),
U,= *(F3, - H„ h,, hl^/^g,, /,),
Effectuons ensuite dans chacune de ces égalités la substitution
[> on tirera les suivantes :
- U, = 4>( G3, F„ /„ fi-^ff,h,, /,),
Enfin, dans chacune d'elles ajoutons aux indices des racines le nombre nécessaire pour ramener dans la fonction 0 les quantités F, G, H, et Ton obtiendra de cette manière
-U, = «ï>(-G, Y,f,p-^gh,iy,
d'où l'on conclut, comme Ton voit, les résultats qui concernent les quantités U. A l'égard des quantités V, il suffira d'effectuer dans
les égalités qui précèdent la substitution | ^ [> car U., U«, U|,
U2, U3, U4 deviennent par là — \ ., Vq, Vq, V4, V,, V3, de sorte que l'on aura
-V.= «ï>(-H, F, -/, f^^gh, /), Vo = 4>(-H, -F, --/,/«-H.^A, /),
-Vi =4>(~G, -H, -h, A«+/^, /), V3 = 4>(-F, G. -g,gt-^.hf,i), V, = 4>(-F, -G, -.g^gi^h/,l\
-V4 = 4>( G, -H, -h,h^+fg,l),
et toutes les relations données plus haut se trouvent ainsi démontrées.
La considération des quantités U et V ne suffit pas seule à l'objet que nous avons en vue, et aux résultats précédents il est nécessaire de joindre ceux que nous allons tirer des fonctions cycliques du second ordre envisagées par M. Brioschi dans le beau et important travail déjà cité : Sul metodo di Kronecker per la risoluzione délie equazioni di quinto grado. Voici d'abord les valeurs de ces fonctions, ainsi que leurs formes canoniques en e et 't\ :
i Uo=«»(5o-$3)($3-5v)($v-$i)($.-5î)(Çî-$o) = '^5an(Tri-E),
} u, = a«({i-50(î*-$o)({o-Î2)r$i-$8)({j-îi) = '-*5a«(e-7i)(i-T,K
u, = a»({,-?,)(îî-E3)($3-$o)(ço-?i)($i-Çv}=-23a*r,(c-7î)(£-i); ; ii«=«'(5o-Ç,)(;.-Çv)(îv-;i)(Çi-$3)(b~;o) = '250*7,(7, -E),
l>i=«*(;i-$o)(îo-Ç3)($3— $*)a4-$i)(;2-5i)='23aUr,(e-i),
p, = a«({j-$i)(î,— $;)($v— 5o)(;o-$3)(Î3— 52)='25a«e(e — r,)(Tri— I),
Cela pose, et au moyen des formes canoniques, on vérifiera imnié-
diatement les relations suivantes, dont on verra bientôt Timportance, savoir :
I 2U«=-+-aU(H-^F), 2P«=-4-«V(H-F), i 2Uo = — a«A(H— F), 20o = — «*/("-+- F)^
'2U, = -+-aV(G — H), 25i = -t-aîA(G-4-H),
2U4 = — aV(G-HH), 204 = — a«A(G — H),
2U, = — a«/(F -H G), 2Pj = — aV(F — G).
J'en déduirai d'abord l'expression des invariants du quatrième, du huitième et du douzième ordre, de la forme du cinquième degré, en fonction de F, G, H et/, g^ A. On trouve aisément, en effet,
uî -+- «0 H- uî 4- u| -4- ttj H- ttj = — -25 (25 A H- 3 /5D), »i-M»î -+- tïj 4- o| 4- tï| -h i»î =— 25 (25 A — 3 v/5d),
et, par conséquent,
a*fyi»(F«-hH«)H-^«(H«4-G»)4-/»(G«-+-F«)] = — 5o(25A-t-3v/5D), a4[/i(F«-hH«)4-/i«(H«-hG«)-h^»(G»H-F«)]=— 5o(25A-3/5D),
d'où
a*fyi(aF«-hGî-hH«)-h^»(2G«4-H«-+-F«)4-A»(2H»-hF«-+-G«)]=— 25ooA, «*[/*("*— G»)-+-^»(Fî-H»)-hA»(G»—F«)] = 3oo/5D.
Considérons ensuite la somme des produits trois à trois, que l'on peut écrire de cette manière :
(ul-4-uî)(uÎ4-uî)(uî-hul)4-uiuJ(uî-hul4-tt|-t-u|)
