U] U{ (Ui 4- Uj -h U| -h U| ) -+-U|u}(ui-hUj-Htt}-H Uj

Elle est la même pour les deux groupes de quantités u et 0, et a

pour valeur 4.5® ( — D| — ADj. C'est donc un des invariants du

douzième ordre qui s'évanouissent comme D|, lorsque la forme proposée admet deux couples de racines doubles; je l'introduirai

EQUATION DU GINQUIÉMB DEGRÉ. 4oi

en le désignant par (D, de sorte que l'on aura^

-L(jE) = 1 yî^îAî(Gî-h H«)(H«-h F»)(F*-h G«)

-h ^/*(F' - H*)« [^»(Fi -^ G«)-4- A«(G«-h H«)] H- ^ ^*(G«— F»)« [/ii(G«-*- H«)-h/»(H«-+- F»)] -+-~/«HH*-G»)«[/*(H«-hF«)-+.^«(F«-t-G«)].

Mais ces divers«;s expressions ne sont pas sous leur forme définitive ; obser> ant en effet que F, G, H n'y entrent que par leurs carrés, on pourra, au moyen des relations

auxquelles je joindrai

les faire uniquement dépendre des quatre quantités F^, g^ h et /. On trouvera ainsi

— -iffhig — h)(g^-{' 3g^h -4- 8^^/|î-+- 1 1 ^VP-^- 8 ^î /**-+- 3^A»-h /i«)/^

et la valeur de CO montre bien effeclivcîment qu'il s'évanouit pour /=o et gz=Oy c'esL-à-dirc lorsque deux couples de racines deviennent égales entre elles.

Les équations (i) peuvent aussi servir à démontrer immédiate- H. - II. 26

ment ces identités remarquables données par M. Brioschi, savoir:

Uo-+-U|4-Uj-+-U3-+-U4= U«-+-20«, U«o— Ui -h Uj -f- U3 — Uv = Uo -»- 25o> U« — Uo — tt j -+- Uj -H U4 = Ui-+- 25i, «•-+- tto— Ui — Uj -+- Uv = U, H- 25J, «•-+-Uo-hUi— Uj— U4»= U8H-atÏ3, «• — Uo -f- U| -4- Uj — U3 = U4 4- t2»4.

Mais nous les employons principalement à l'étude des nouvelles fonctions cycliques du sixième ordre formées en élevant u et 0 au cube, et que nous allons joindre à U et V.

Je montrerai en premier lieu que ces deux groupes de quantités U et u', de natures si différentes au premier abord, peuvent être compris dans la même forme algébrique. Pour cela, je remplace les carrés F^ et H^, dans l'équation

8ui= a6/i3(F3-h 3FîH -+- 3FH«-f- HM, par H^ — 4 '^ et F^ H- 4 ^gt après avoir divisé par 4, il viendra ainsi :

J'opère de même dans la relation

U«= a6[A»FHî4-(A»H-/^A)F»H -h(A«-h/^)»/F],

ce qui donne

U«=a6[AsF5H-(A«— /A—/«)yiH»

-+-(/*-+-2/»yi-/*A»-r)//<»-3/tM^F — 4(/'A-4-2/2A»— //*)/H|.

On voit donc que les deux fonctions cycliques du sixième ordre sont comprises dans cette forme

?(/, A)F»-+- 4;(/, /i)H»^ o,(/, /0/F -I- ^,{f, h)lH,

o et ^ étant deux polynômes homogènes du troisième degré, Çi et ^, du quatrième, et il y aurait lieu sans doute d'en faire l'étude

ÉQUATION OU CINQUIÈME DEGRE. 4o3

t^n recherchant l'expression la plus générale de ces polynômes qui permette d'obtenir ainsi des fonctions cycliques. Mais, pour ne pas Irop m'étendre, je me borne aux quantités U etu', et, observant que l'expression

4>ù fghl est proportionnel à la racine carrée du déterminant, est aussi du sixième ordre, j'envisagerai seulement les expressions de <'elte forme

mU -f- /iu'-+-/çA/( (AU -+- vo),

où m, 71, jjL, V sont des constantes. Cela étant, je me suis arrêté à la combinaison suivante :

U — 211»— /îr/i/(6uH-4o)= xy, d'où l'on tire

X9o= a«[~/^/iH3-(/i - 2/)^*A/H -H/WF],

t),= a«[— /^AF»-(/— 2^-)/*î//F+A'*/G],

En opérant ensuite dans X9 la substitution | [, j'en déduis ce second système, savoir :

'C).= a«[-/A'//F»-+-(/-2/i)^«//F— A^/H], \*;o= «n—Z/rA F» -+-(/— 2/1 )^«/^F -+- ^*^H],

\ \'>t=»n-H/A'/iH3-(A-2^')/«/i/H — ^WG], I 'v:^,= a«[-/^/iG'-f-(^-2/)AV^G-i-/WF],

Maintenant je prendrai pour la fonction // cette expression où figurent quatre constantes qui tout à riieurc se réduiront à deux seulement, savoir :

4o4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

C'est dans cette détermination que se trouve le point le plus difficile et le plus important de mon travail, et elle ne pourra être justifiée que par les résultats qui en sont les conséquences, et que je vais exposer.

Je reviens maintenant, pour en effectuer la détermination, aux quantités précédemment désignées par R, S, T, et qui figurent dans la formule de transformation propre à la méthode de M. Kro« necker, savoir :

S = l/i-h M4-f-U)(M«— Mo), T = Mj — Ui->-0)(Ui U^),

On se rappelle qu'on a posé to = ^ ; faisant d'après cela, pour

abréger,

f = — 2^AF»-(/«-^2>ç'/o(^-A)/-+-/5/»/,

on trouvera immédiatement

t)3— t),-h a)( Oi — Ui ) = — o)a«^0G, (0

V^3 — V^ 4- u) ( V^i — \•^ ) = — a Va G. Soit en second lieu

lï' = (^-/-V^3/t)/^/,

ÉQUATION DU CINQUIÈMB DEGRÉ. 4o5

et Ton aura de même

I2/$rA/[tt,-HttoH-w(u,-+-U3)] = -H a«/*'F, , 9./^A/[u8— u,-ha)(u, — U4)] = — a«/ra'G, i2/^A/[p.-H »o -h cd(o, H- »3)] = -H a)a«/rF, 2/^/i/[5t-+-»v-Ha)(u«— Oo)] = — wa«Alï'n, ^/r^^[«»t — «t -H «"(»! — »O] = —wa'^0'G.

Or il résulte des équations (i) que/? et/>' n'entreront dans R, S, T que par la combinaison wp +/>', et des relations (2) que q et q' se réuniront dans l'expression analogue q + wy'; posant, en conséquence,

a)/>-h/>'=p, ^-Hw^'=q,

on trouvera simplement

R = ae/F(pfH-qr), -T = a6^G(p0-Hq0'), — S = a«AH(p||4-q^').

La formule de transformation z = RSÏ peut donc être présentée comme le produit de ces deux facteurs, qui, l'un et l'autre, sont des invariants, savoir

oL^/ffhFGU et a'*(P^-H <î^')(P0 -^ «')(Plï -H <îl^')-

Le premier, qu'on peut écrire ainsi

«/• 1./FOH ^, /a«FGH ^^fghl—j-- = SV^D — ^ — ,

met immédiatement en évidence une fonction rationnelle de la racine Ç©; niais il reste encore à donner explicitement au second cette même forme, et c'est ce que je vais faire, après avoir ajouté

celte remarque, facile à vérifier, que la substitution \ ^ \ n'a

( Çîv )

d'autre effet que d'y changer le signe du radical y/5.

G)mme élément essentiel de l'importante transformation qu'il

4oG OBUVRES DE CHARLES HERMITE.

s'agit d'opérer, j'introduirai Texpression suivante :

C'est un invariant, comme on le voit de suite, et de plus une fonction rationnelle de la racine Ço> car le facteur a'(/ — g){g — h){h — /) représente l'invariant cubique de la forme du quatrième degré obtenu en divisant la proposée par Ç — Çq- Désignant donc par X©, Al, Ào, X3, \s les cinq déterminations qui correspondent ainsi aux racines ^o? ^m ^3? ^s? \ki on aura ces relations remarquables, savoir :

Xo-X, = -2aV({o-îî)GiF,F,,

Xo-X4 = -+-2a*(îo-5oH,G,H3; Xt-X3 = -2a^(Ç,-|,)FG,F4, X,- X,= - 2a*(f,- ÇOFF.G,, X,-X, = -2a^(|i-$,)GF,F„ X5-X, = -h2aV($,5,)GH,n„

X3-Xv = -H2aH|,-Î0HG,H,, Xj- X, = -+- 2aHçi- Ç«)Hn3G,.

Pour les établir il suffit, par exemple, de démontrer celles-ci :

Xo-X, = 4-2aV({o-{i)H,G8H4.

Xo-X, = -2aHÇo-?i)GiF3F4,

les autres s'en déduisant par une simple permutation cyclique des racines ; or elles se vérifient au moyen des formes canoniques en £ et Yj des facteurs de l'invariant du dix-huitième ordre et des quantités X elles-mêmes, dont voici le Tableau complet :

Xo = (5a)^(i — e)(i — rJ(E-h7î)(e — 2T,)(2e — 7)),

Xl=(50V6U — £)(£ — T,)(l-+-Ti)(l— 2Ti)(7î — 2),

X, = (5û)^e7î(e-hr, — 2)(e — 2r^-Hi)(T, — 26-1-1),

X3 = (5û)*(e -+-r, — 2571) (e — 27Î -|-e7î)(Ti -- 26-1-671), Xv = (5û)*T,(l-7j)(71-6)(l-t-e)(l-26)(6-2).

Cela posé, et en se rappelant que Ton a désigné par K l'invariant du dix-huitième ordre, on lire des premières multipliées membre à membre

(Xo— X,)(Xo — X,)(Xo— Xj)(Xo— X4)= ^^TpQïî»

ou bien

lUXo)=^^rF^.

en faisant, pour abréger,

n(X)=(X-Xo)(X-Xi)(X-x,)(X-X3)(X-X4),

et, par suite,

. , i6/vK

pour les diverses valeurs de l'indice. C'est ce qui va permettre d'établir la proposition suivante :

Tout invariant donné sous forme de fonction entière des racines y symétrique par rapport à $i, $2? $3? $4 ^^ dont le degré en Ço ^st multiple de 4, s'exprime par

LoH- XoLi H- XJ L,-+- X J Lj-H X J U,

les coefficients L|, L2, ... étant des fonctions entières des invariants fondamentaux A, B, C.

Soient en effet, pour un instant, 0oj ^n • • • l^s cinq valeurs de cette fonction; j'observe que le polynôme du quatrième degré en X

-^vn'(Xv) X — Xv'

qui se réduit à Bo? ^u • • -i pour X = ).o> X=Xi7 • • •? peut, d'après la valeur de n'().v), s'écrire ainsi :

asPvGvHvOv n(X)

olL X — Xv

Or aZv étant la dérivée du premier membre de l'équation proposée pour Ç = Çv7 on sait par un théorème élémentaire que 16 KO s'exprimera en fonction entière des coefficients de cette équation.

D'ailleurs les quantités 8v et ^ / ^' sont des invariants, donc il

en est de même des coefficients des puissances de X, Or, d'après la supposition faite sur le degré de By, leur ordre sera ^o, mod^ ; ainsi ils seront tous le produit de K par une fonction entière de A, B, C, l'invariant du dix-iiuitièine ordre disparaissant ainsi comme facteur commun, et l'on en conclut relativement à 0 la proposition annoncée.

4i4 oeuvnEs de charles hermite.

en supposant toujours a = i , / = i ,