F6-+-4IF

Ào =o;

on aura d'ailleurs

x[p(4F«-7-4-v/5)-haq(3-t-v/5)] x[p(4F«-+-7-h/5)-2q(3-/5)]

€t le terme indépendant de F^ suffit pour donner immédiatement

p' = /5(— 44p'-+-iiôp*q -4'^P<I*-^4<I').

Lesélémenls de la nouvelle formule de transformation de l'équation du cinquième degré, à laquelle conduit la méthode de résolution de M. Kronecker, sont donc maintenant complètement obtenus, et Ton a mis en évidence le mode d'expression de cette formule comme fonction rationnelle et entière de la racine 5o? ce qui est un des résultats auxquels je désirais surtout parvenir. On observera que les valeurs de a, G, . . . prennent une forme un peu plus simple par le changement de q en ii -h 2p; on trouve alors en effet :

a = — p*q, m =— v/5(3p»q-h2pq«),

c' =— i5p«q -+-i2pq*-H 4<l'i P =2/5p»,

y =4-t28p»— 8pq«, /?' =/5(5op»— 5p»q — i8pq*-*-4<|'),

d'où l'on conclut

[p(f -I- 2r)4- qf] [p((i -h -20')-^ nfl'] [^P(iï -f- '21)')^- ni)']

= p3(— 8(0H-28eloA-+-2.Ao2v^H- "io/^)— p*q(Xo-i-V>^)' - 2pn»(Xî /^ - 6Xrt A -+- 4 ol. A -+- 9/^Âï)-+- 4 q'(>^o A h- /ôÂ^),

et c'est en multipliant ce résultat par a'/^AFGH que s'obtient en résumé la valeur de :;. Or on va voir qu'on est ainsi ramené au type

KQUATION DU CINQUIÈMK DEGRÉ. 4l3

de substitution donné par la formule

__ toiixy i)-^ uOf(x, i)-{- V Oji(x, i)-h w o^(t, l)

que j'ai employée au commencement de mon travail.

Après avoir été précédemment conduit à exprimer en fonctioH des racines les invariants des formes du cinquième degré, nous allons d'une manière analogue définir quatre covariants cubiques d'ordre 3, 7, 11, i5 qui s'offrent d'eux-mêmes dans la nouvelle formule de transformation à laquelle nous venons de parvenir. N'ayant d'autre but en ce moment que de rattacher à un point de vue commun les deux méthodes de résolution que j'ai étudiées, je ne chercherai pas à étendre au delà de mon objet des considérations qu'il serait peut-être intéressant de généraliser, et je me bornerai aux résultats suivants.

J'observe que, l'expression a'FGHX'^ étant symétrique par rapport à $j, Ç2> $3? i»j on pourra écrire

a'FGIIXï = aN{J-+- AJJ -h 3 B{J 4- 3 B'îo -f- A',

les coefficients N, A, . . . étant des fonctions entières de ceux de la forme proposée /(j7,j) = (a, ^, y? yS ?'? ^OC-^j JK)*- C'est ce que Ton reconnaît par l'égalité

qui a lieu quel que soit ç, et d'où l'on tire pour le coefficient de ç* eelle valeur

ou, plus simplement.

4l6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

j p» p II

Or on a déjà remarqué, paragraphe XX, que la quantité ^ . ^ ^

est, par rapport aux racines, un invariant comme Xy. Ce coefficient N se distingue donc de tous les autres en ce qu'il est un invariant dont Tordre est 4^ + 2, de sorte qu'il s'évanouit en supposant n inférieur à 4* Cela étant, je dis que

A J7» -+- 3 Bar»^ -+- 3 ^' xyt -h A>»

est un covariant de la forme du cinquième degré, et je l'établirai en cherchant ce que devient l'égalité

a>FGHXj|=A55-h3B5J-h3B'5o-f-A'

appliquée à la transformée F(X, Y)=/(mX + m'Y, nX + /l' Y). Faisant à cet eflet 2 = m/i- — m'n^ et remarquant que les racines

de l'équation F(X, i)=:o sont les quantités — ^^ — =-> on trouve que le premier membre devient

a'FGHXj ^., .

Si Ton désigne par 5t, ÎB, ... les valeurs de A, B, . . ., lorsque l'on y remplace a, ^, ... par les coefficients de la transformée F(X, Y)^ on aura

«'FGHXg ^..„,^.

et, par conséquent,

ACg + 3B^;+3B';o-i-A' (»i — «Jo)'

Cette égalité, ayant lieu en substituant à Ç© l'une quelconque des racines, est identique par rapport à cette quantité, et l'on voit facilement qu'en faisant

a; = mX -h m'Y, j' = /iX-Hn'Y,

on en conclut

(\ar»-+-3Bj:V'^-'iB'jyî-f-A>»)§iO'»+«=aX3-^3BX«Y-h3B'XYî-+-a'Y3^

de sorte qu^aux valeurs n = o, i , 2,3 correspondent bien, comme on Fa annoncé, quatre covariants cubiques d'ordre 3, 7, 11, i5. Cela posé, et en les désignant pour un instant par fo(^9 y)îp,(a?,^), ?2(^,y), cp8(x, ^), je reviens à la formule

(1) 3 = a«/^AFGH(Lo-4-XoL|H-XJL,-+-X3L,), où l'on a, d'après les valeurs de a, P, . . .,

L, = -v/5Â(3p«q-h-2pqV»,

L, = — A(i5p«q — iapq«— 4q»),

Lo= e,l>A(-;i8p»— 8pq«)— 8(0p'

-+-/5Â[î»*Vp»-h A(5op3— 5p*q — i8pq*-H4q»)].

Or, en multipliant et divisant par a/ = yç(Ço, i), elle prend cette forme

et c'est le type de substitution que je voulais mettre en évidence, les indéterminées /, w, v^ w étant remplacées par L©, L|, L2, L3. De plus, on reconnaît que les covariants rfQ(^x, y), Oi(x,y) sont précisément ceux du troisième et du septième ordre dont j'ai fait usage, et la relation

(p,(5o, i)=a'FGHXo

donne même une démonstration nouvelle de ce fait, établi au paragraphe VII, qu'on a ©,(So, 1)=^ lorsque Çq est une racine double (*). Mais je remarque surtout cette conséquence que l'équation transformée en z étant (§ XII)

, 5B , 5(982— AC) I 5/rr

(2) «iH-— 3'-h ^, ^--/n = o,

les valeurs en p et q de /, u, t^, w, savoir : / = Lo, u= L,, ...,

(*) A l'égard des formes du troisième et du quatrième degré /(a?,>'), le covariant quadratique ou Hessien, quand on y fait x = 1^^^, y — i, a pour valeur le carré /iil^f i) et le covariant du troisième ordre le cube de la même quantité.

4l8 OEUVRES DK CHARLES HERMITR.

font disparaître le coefficient de z^, propriété bien remarquable de la forme cubique en /, w, ^, w qui représente ce coefficient.

Vn autre point de vue sous lequel on peut encore envisager la formule (i) résulte de Féquation

n'(Xo) =

a*FGH

établie au paragraphe XIX, car elle conduit à cette expression où n'entre plus que la quantité Xq, savoir

z = i6Kv/Â

Lo-t-XoLi-4-X;Lt-^X»Ls ll'(X„)

L'équation proposée /(x, i)= o disparaît donc pour faire place à celle-ci : n(A)=o, qui est directement ramenée à l'équation (2'). Ce résultat obtenu, il ne reste plus, pour arriver à la résolution par les fonctions elliptiques, qu'à calculer l'expression de la quantité A, afin de déterminer par l'équation A = o le rapport -•

J'ai indiqué au paragraphe XII par quelle voie M. Brioschi avait été conduit à l'équation en z, et je rappelle succinctement qu'en désignant par w, une fonction cyclique des racines de l'équation générale du cinquième degré /($, i)= o, qui change de signe par

la substitution ] ^ U et nommant /// ce que devient w. par la sub-

stitution ; / >> l'expression suivante, où e est numérique, savoir

s = £ [ l/,-4- Mo -H W ( M, -h Ma )]

x[ai-f- 1/4-+- co(M,— //o)]

X[l/3— Ut-h w(M,— 1/4)],

satisfait à léquation

3 B ,, 3(9Bt vc>