TT

les quantités A, B, C et II s'exprimant rationnellement par les

KQUATION nu CINQUIÈME DRGRÉ. 4l9

coefficients et la racine carrée du déterminant de la proposée. C'est dans le cas particulier de A = o que cette équation est immédiatement résolue par les fonctions elliptiques, et Ton a trouvé qu'en faisant

Ao /5 = a« v/3 -h Mo -H Ml -H Mj -H U3 -+- Mv,

- Ai /5 = Mo-f- p^Mi-4- p'Mt-+- p*Ui-i- pM4, - Ajv/S = Mo-f- pMi -h p*Mj-f- p'^Ms-l- p^Mv,

OÙ p est une racine cinquième de Tunilé, donnant

v/5 = p*-h p' — p — pS

on avait

A = AJ-+- A, Aj.

Cela posé, voici comment s'obtient cette quantité si importante lorsque Ton prend pour // l'expression dont j'ai fait usage

u = pV -+-p''^ -H 'ioL'*/;^hl{q\i -f- g'v).

On a vu que les quatre indéterminées /?,/>', q, cf se réduisaient, dans la valeur de z^ aux deux suivantes

de sorte que Ton peut supposer /> = o, y'= o, ce qui donne plus simplement

ou encore, en changeant q en q 4- 2p, comme au paragraphe XXI, a =3 pi? -4- 2a*/^/i/(q -f- 2p)u.

Or, on a pour les six valeurs de 9 et U ces expressions

V^.= a«[-/^//F5-+-(/-2/t)^V^l^' — /iWlIJ, 2U. = -+-a«/i(F -i- H ),

^î>o= %^[-U'hV^^{f—ik)gi/l? 4-/tWII], 2Uo=-hat/i(F - H),

V^,= aH-f-/A''AH3— (A-'jtA')/^A/H-^'*/GJ, lU, =- a«^( II - G),

\?^=a«[-+-/é'/eH-»-(/i-2^)/2/e/II-HA'^/G], -lu^ =- a^/riH -^- G;,

\^,= a«[-/^/,G'»-H(^''— •2/;/t«^/G4-/WF), 2U,=-aV(F -G),

%:>,=xa«[-f-/^/*G'-(^--2/)/t«^/G-h/*/FJ, 2U,=— a*/(F-HG).

Elles montrent qu'en supposant G = o on a

t?,= %?4, tti=tt4,

et, par conséquent, Ui=zu^^ U2= u^^ de sorte que Téqualion A = o devient alors une somme de deux carrés, savoir

("* a"^"° -Hi«i-i-a,j -h[wo-i-(p-i-p*)wi-+-(p'-+-p')wj]'=û» ou encore, en faisant toujours (o =

/ 14,-1- Mo Y , / W«— Wo \*

( -= --^U)Ufj -h (Ml H ^tûj = O.

Mais l'hypothèse G = o revient à supposer nul l'invariant du diïhuitième ordre, ou bien à établir entre les invariants fondamentaux de la forme du cinquième degré une relation du trente-sixième ordre, et, comme la quantité qu'il s'agit d'obtenir est seulement du douzième, celte relation ne pourra la modifier en rien, et c'est en me plaçant dans ce cas particulier que je vais en faire le calcul. J'observe d'abord que les égalités

donnant pour G = o : H=* = — 4(/^) F=*=4'Aî il suffit, pour obtenir les invariants, d'employer cette valeur de F^ dans les expressions du paragraphe X\ II. Mais on peut éviter ce calcul, car les invariants, fonctions symétriques des racines, ne changent pas

de valeur en effectuant la substitution suivante : | J [ qui

change F, G, H,/, g, h en G, — H, — F, g, h, f\ ainsi Ton a, par exemple,

= ^ i{h^^ hf ^ p)0^ -(h — f){ih^ ^ hf-^ip)l.

Or cette dernière expression donne immédiatement

el Ton aurait de même

Cela posé, en faisant (i)'= — -9 on trouve pour G = o,

après quelques réductions faciles,

-wii,= a«[a)/«(/— ^cu)«p-h/rA(A— /(o)q]/F,

el il vient, pour la somme des carrés, après avoir remplacé F^ et H* par /^Ih el — 4 '/>

— 8«»«(/— ^o>)«[(i-a>')/i-(i — w)/]/t^îA«/».pq =0. -H4a»«[A(A— /a>)«— /(^ — Aw)«]/V'^*^'.<ï* J

Soit donc, en me bornant au coefficient de p', 4aU(/— ^a))*(/îa>«— A»a>'«)/A/»

On trouvera d'abord a = o, en supposant /=: o, et, après avoir supprimé le facteur /A, il suffira de faire/= A, /= — A, /= o, et enfin de comparer dans les deux membres les termes en/^A, pour obtenir bien facilement

Le calcul des deux autres coefficients est plus facile encore, et Ton obtient en définitive l'équation

— 4( JU -+-v/5^)Apq — a(<.l, — 3/5Â)Aq»= o.

Ce résultat complète l'étude que je me suis proposé de faire de la méthode de M. Kronecker, en prenant pour point de départ les quantités u, 0, t), ^ el je serais au terme de mes recherches si la marche que j'ai suivie ne conduisait encore à une autre fonc-

i%% OEITVRCS DE CHARtl^S HEItMITI?.

tîon cyclique dont je vais dire quelques moU. Aux expressions U. == a^FF, F^jFaFj, el ¥,=== ût*H H* HaH;,!!*, composécJs avec les facteurs F et H de riuvariant du dix-hiiilîèrae ordre, on peut

joindre celle-ci : W»=a*GG,GaG3|G4, que la âubstlttttion } J i

laisse invariable, de sorte qu^on en déduit^ en la multipliant par u. ou par u^, une fonction du huitième ordre, changeant de si^ne par celle même substituiioti, et que Ton peut par conséquent prendre pour u. Soit donc ainsi « i= ^/uW -h ^u, on auraj k Té^j^i^rd de Féqnation A ^^ o, celle conséquence remarquable que les coefficients de p'-^pr/j y^ étant du seizième, du dixième et du quatrième ordre, celte équation ne contient pas le terme en pq* Mais j'ajourne Tétude de cette nouvelle espèce de fonctions, et je vais terminer en reprenant sous un autre point de vue la queslion déjà traitée des conditions de réalité des racines de Téqualion du cinquième degré*

En désignant par A, B, G les invaiiânts fondamentaux et posant

D = \î-Hi28B,

Di = aJAB*M5C,

N =Dî— loABDjH-gBïD,

j^ai donné au paragraphe X, pour les conditions de réalité des cinq racines, ces trois criteria :

n > a, BD, <Oy N < o,

qui sont du huitième « du vingtième et du vingt-quatrième ordre, et Ton a vu que, les conditions B >^ o, D, <: o ne pouvant jamais avoir lieu simullanénient, le second critérium donne à la fois B<: o^ D( >» o. Or il est bien remarquable que le théorème de Sturm, appliqué à Téquation enX, reproduise exactement les mêmes résultats, et c est ce que je vais établir avant de donner le procédé qui conduira à des criteria d^un ordre moins élevé. Voici d'abord, en posant avec M. S jK ester

9\ = 9A»-^im:abh-C),

ÉQUATION 1)1 CINQL'IKMK DKtiRÉ. i'^'i

celte équation en a, qui a <ît(* calculée par le P. Joubert,

(F)"->*(è)'--(è)"-»'-»-'>'(Vl'

-f-5D(5D~4A»)(7^)— DfioSA — 9AD -iooA:M = o.

Cela posé, on trouve, par le calcul direct du premier terme des fonctions intermédiaires et en supprimant un facteur numérique,

V,= BX3-^-..., V3=-NXî-h....

Mais, pour la quatrième fonction, les expressions des différences des quantités A, données au paragraphe XX, montrent qu'elle contient en facteur le carré de l'invariant du dix-huitième ordre, et Ton trouve ainsi, pour le coefficient de son premier terme, l'expression

K*2 (/v/^vAvFvGvHv)«=25K«D,.

Quant à V5, on obtient lv*D, d'où il résulte qu'en supprimant les facteurs K* et K* on retombe bien sur les criteria déduits de la forme quadratique

Dit^~6HDtv - D(D, — ioAB)i^«

-+- D[— B//2-4-'2D, //«v-+-(9BD — ioAD,)iv»].

Je remarque ^encore que Féquation en X donne un système simple des covariants doubles en x et x' définis au paragraphe XL et servant à déterminer par leurs signes le nombre des racines réelles de Féquation proposée /(j:, i) = o qui sont comprises entre les limites données. En effet, on peut prendre, en désignant toujours ces racines par Xo-, ^1 , . . ., et posant V :=y(x, 1),

Quant à V^, on supprimera le facteur K-, amené par les symboles ^ qui contiennent quatre des racines a, et enfin on prendra X^i=.fix\ i)D. On voit qu'ainsi Vi sera du [iremier ordre, V^j du neuvième, V^j du vingt-cinquième, V>| du treizième, et \»i du neu-

i%i ci: IVRES UB CHAALfti REAMITE*

viènie- Mais j'arrive, sans m'arrêter plus longtemps sur ce sujet, a la méthode élérnenLaire, elqui donne pour les conditions de réalilé les crileria du quatrième, du huitième el du douzième ordre, et au nombre de troî$ seulement. Elle se fonde sur ce que les quantités u^, Uf,, .,. Satisfont à réqualîoû suivante

-h r j (^ -^i/lY-h âl iiu^-i-(x — 3Va}a»ii*-i- A» = o,

que Ton forme très facilement, et dont les coefficients seront tous réels si noua supposons le discriminant A positif^ ce qui est, dans la question présente, le seul cas à examiner. Or^ en retenant à Fe^pression d*une des racines, par exemple

on reconnaît immédiatement que, x^ étant réel, jt^ et x^ imaginaires conjugués, ainsi que X| et X4, on obtient pour u^ une quantité de la forme my^ — 1 , dont le carré est essentiellement négatif. Kn éublissant donc que réquatiou en u na que des racines positives, c'est-à-dire que son premier membre n'oITre que des varialiouïi^, on aura les conditions a la fois nécessaires el suffîsatiles pour que les racines de Téqualion du cinquième degré soient toutes réelles. Si Ton convient de prendre positivement y^A, on parvîenl ainsi à ces résullats fort simples

et il est visible que le cas des quatre racines imaginaires sera caractérisé par un changement de signe des deux derniers criterîa, en conservant la condition A]>o (*).

( ^ ) Noua o'avans pAs signmié toutet les erreurs 4c calcul qui se trouTaîcnt dini ce Mémoiret el qui ont été corrl^èc^ par M. Bouri^et. Celui -ci a refait tous les c^icuht «âuf en âeu% poirvis. Il a admis que lii réduite dn cinquièinc degTë de Téquatioa du st\ièui« ordre ëiatl exacte timis le iraviiil du P. Joubert sur Les équalions do siiiéme degré ( Comptes rêmiuAj l, L3L1V ). Il a admis cotume e^tacte

éfalemeni ]a foriïitUoQ de réqu«ti<ifi en (t^I (p^ 4^5) et le eaUul des premières

fonctions de Sturm.

SUR LES INVARIANTS