DES

Salmon, Algèbre supérieure, trad. O. Chemin, deuxième édition, 1890, p. 557.

C'est dans la théorie des formes du cinquième degré qu'on voit s'offrir pour la première fois un invariant gauche, c'est-à-dire un invariant qui se reproduit changé de signe dans toute transformée de la forme proposée par une substitution au déterminant — i,

telle que par exemple

!jr = — X ^= ^

ou bien

jr= Y

Si la forme du cinquième degré décomposée en ses facteurs linéaires est

^ =, a{x — xey){x ^ xxy)(,x — xty)(x — Xiy){x -- x^y),

son expression en fonction des racines s'obtient comme il suit. Posons, pour abréger,

(m/l)= Xfn— Xn,

on aura

K = a"[(oI)(o4)(32)-f-(o2)(o3)(l4)][(oI)(o•i)(43)-+-(o3)(o4)(I^)][(oI)(o3)(43)-^(oa)(o4)(3I)]

X[(I2)(IO)(43)-^-(l3)(I4)(20)][(I2)(,3)(o4)-h(I4)(IO){23)]f(I2)(I4)(o3)-^(l3)(IO)(42)] X[(23)(2l)(04)-+-(24)(2O)(3l)][(23)(24)(.0)-h(2O)(2l)(34)][(23)(20)o4)-+-(24)(2l)(03)]

x[(34)(32)(io)-h(3o)(3i)(42)][(34)(3o)(2i)H-(3i)(32)(4o)][(34)(3i)(2o)-4-(3o)(32)(i4)] X[(4o)(43)(ai)-+-(4')(42)(o3)]t(4o)(4i)(3?)-f.(42)(43)(oi)][(4o)(4a)(3i)-+-(4i)(43)(ao)].

Cela étanl, je vais résumer dans celle Noie plusieurs résullals relatifs aux facteurs de Tinvarianl gauche et qui donneront sous un nouveau point de vue la détermination des invariants dans les formes du cinquième degré.

Soient à cet effet ( * )

F=(oi)(o4)(3a)-+-(o2)(o3)(i4), G =(oi)(o-^j(43)-h(o3)(o4)(i2), n =(oi)(o3)(42)-4-(u'A)(o4)(3i),

et convenons de représenter par Fv, Gy, Hv ce que deviennent respectivemenl ces quantités, en ajoutant le nombre v aux indices des racines Xq, X|, ..., pris suivant le module 5. L'expression de l'invariant du dix-huitième ordre sera ainsi

K = a»».FGH.F,G,H,.F,G,H,.F3G,H3.F4G4Hi,

et en premier lieu je donnerai le moyen de connaître comment s'échangent entre eux les quinze facteurs, lorsqu'on effectue sur les racines une substitution quelconque. Or, à l'égard de la substi-

Sx ) >> on aura pour résultats rr,v )

F, F„ F„ Fa, F, )

— H, — Hj, — H^, — Hi, — Hs )

G, Gi, Gj, G3, G4

— G, — Gj, — Gi, — Gi, —G, * H, H„ H,, H3, lU l

La substitution ; ^ } donnera

^ G, Gi, Gj, G,, G4 I

H, Hh Hj, H3, Ih )