II, -F3, G4, -G„ -F
( ' ) ^oyez mon Mémoire Sur /'équation du cinquième degré. Paris, Gauihicr- Villars et Hermite, Œuvres, t. II, p. 347.
Ft comme toute substitution entre cinq quantités résulte de la composition des substitutions élémentaires
on pourra, par ce qui précède, connaître Teflet d'une permutation donnée des racines sur l'un quelconque des quinze facteurs. En même temps que F, G, H, je considérerai les quantités
et je désignerai par/v? ^v? ^v ce qu'elles deviennent en ajoutant v aux indices des racines. Cela étant, on trouve que la substitution
J I opère les changements que voici :
Su
-Av.
-hu
ff,
fft.
— ffl,
— ffi,
— gu
h, ht, ht, /i3, /*4 I
C>uant à la substitution | ' '» elle donne pour résultats
gi 1
jA,
Av 1
D'où l'on voit que les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, sauf certains changements de signes, quand on eftectue les mêmes permutations sur les racines de la proposée. Mais le lien (|ue nous établissons entre elles se justifie plus complètement, d'abord par ces relalions où, pour abréger, on
fait
/=(oi)(o2)(o3)(o4), savoir
et ensuite par cette remarque que les divers produits
a«Fv/v, a'Fv^v, a«FvAv, a«Gv/v, «'Gv<Ç'v, a«GvAv, a«Hv/v, a«Hv^v, a'HvAv,
a étant le coefficient du premier terme de la forme du cinquième degré, sont des invariants. Ces produits donnent lieu à ce fait algébrique que neuf d'entre eui, correspondant à la même valeur de l'indice v, suffisent pour en déduire linéairement tous les autres. On a, en effet, les relations qui suivent :
2Fi/i= F/-GA-hH^, ^G,^i= F^H-G/-i-HA, !2HiAj= FA — G^-H/;
aF,/,=-FA-4-G^-H/, 2G,^, = — F/-hGA-HH^, 2H,/i, = — F^ — G/-+-HA;
aF,/i = -FA-G^-H/, aG,^, = -4-F/-hG/i — H^, aH,A,=— F^-HG/-hHA;
2F4/4=-hF/-+-GA-+-H^, 2G,^, = — F^-hG/-H/i, aH4A4=:-i- F/i H- G^— H/.
Tous les autres sont d'une forme presque aussi simple, et en voici
le type :
aF, A, = FA H- G^-+- H(A — ^),
2H,^, = F(/ — A)-G/-^IIA,
;iG,/, =-F/--G(^-/)^H^,
De là résulte la possibilité d'exprimer au moyen de F, G, H, d'une part, y, g^ A, de l'autre, des fonctions des racines de la forme proposée qui sont des invariants. Considérons, par exemple, l'expression
F/-+- Ff/i H- Ft/t-+- Fa/a -4- F4/4,
qui est évidemment cyclique. En vertu des relations précédentes, elle prendra cette forme très simple
Les fonctions FF,F2F3F4, HH1H2H, H4, qui sont également cycliques, s'expriment d'une manière analogue. En faisant, pour abréger,
j'ai montré dans mon Mémoire Sur Inéquation du cinquième degré qu'on a
FF,F,F,F4 =F( H«A8-h-FH/iA'4-A'«/), HH,H,H,H4=H(-FV-+-FH>y'^/'»/).
On obtiendrait pareillement
GG,G,G,G4=G[-G»(/-/»)^*-hFH(/t-h/A-4-A*)^ -+-(/^ - 2/» A - 5/* A*- V^»-4- A^)/].
Mais, dans ces formes si simples de fonctions compliquées de racines, le caractère cyclique de ces fonctions n'apparaît plus d'une manière évidente, et pour le retrouver il faudrait toute une théorie, qui me mènerait bien au delà de mon objet actuel. Je me propose en effet, en considérant des expressions non seulement cycliques, mais symétriques, d'établir que tout invariant dont V ordre est multiple de 4 ^st une fonction homogène de F^ et l ayant pour coejficients des polynômes entiers en g et h.
Dans ce but, je considérerai les diverses déterminations de la fonction suivante
M=(Ol)(l2)(23)(34)(4o),
43o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
qui, multipliée par ^/^, donne évidemment un invariant. Ces déterminations, au nombre de vingt-quatre, sont deux à deux égales et de signes contraires, et peuvent ainsi se réduire à douze, que je [)artagerai en deux groupes et désignerai comme il suit :
Ia«=(oi)(i'A)(-23)(34)(4o), Wo-(o3)(3,1)(4i)(i2)(9.o), wi = (i4;( io)(o9.)(7.3)(3i), aî = (9.o)(oi )( i3)(S4)(42),
M3 = (3l)(lA)(24)(40M03),
a, = (4^.)(*^3)(3o)(oi)(i4);
p.= (o2)(7.4)(4i)(i3)(3o), t'o = (o4)(4*^)(?.3)(3i)(io),
p,=(io)(o3)(34)(4^)(2i), i', = (ai)(i4)(4o)(o3)(32),
i^3 = (32)(-20)(Ol)(l4)(43), t'4 = (43)(3l)(l2)(20)(04).
i'. a été tiré de m, par la substitution } ^ [; u^ et Çq ont été
( ^ÎV )
respectivement déduits de w. et i^^ par la substitution | ^ [;
enfin w/ et r, de Uq et i^o ^^ ajoutant le nombre / aux indices des racines pris suivant le module 5. On sait qu'à Torigine de la théorie des invariants on a considéré comme fonctions symétriques des carrés de ces douze quantités les invariants fondamentaux du quatrième, du huitième et du douzième ordre des formes du cinquième degré. Ainsi Ton a, en désignant avec M. Sylvester Tinvariant du quatrième ordre par J et le déterminant par D,
a^{vl -¥- vl -}- i^] -h vl -^ vl -^ ul) =— jU -f-3.5*/3T), et la somme des produits trois à trois des carrés conduit à
= 4.5»(i8JK~7GSL-A), en adoptant les dénominations du même auteur. Or on a, comme
FORMES DU CINQUIÈME DEGRÉ. 43l
on le vérifie sans peine, ces deux systèmes de relation, savoir
2w.= -H/r(n-h F), •xi\,= -^-/(U— F),
2Mo = — /mH— F), 2ro = — /( H-f- F),
iui=z-h ^(G — II), ii'i = -^ hiG -\- H),
|'2in = — /îr(G-i-H), ,1.^ = -. A<G — II),
2Mj = -h/(F— G), 'AVi = — g{F -h G)j
21/3 = — /(F -h G), 9.Vs = -+-^(F— G).
On en déduit, en faisant la somme des carrés, l'expression de l'invariant du quatrième ordre J, sous la forme
a*[(2F»-HG*-+- H«)/*-»-(^G«-r- H»-hFM^*
-h(2Hi-HF2-HG«)/j«]=— 4.5U,
et, si l'on écrit la somme des produits trois à trois, «/^//ijajf-l-. . ., de cette manier • :
■+- ulu^i u]-^ ul-h u]-h ul) -+- a} aj ( M* -h aj -f- a| H- al ) -h m| a| ( M* -h aj -f- a{ -H aj ),
on parviendra à l'invariant du douzième ordre, exprimé comme il suit :
•27j»(48JK — 768L — A)
= 4a"(F«-f- GV)f G*-^ IP)(II«-4- F*)/*^*A«
^a»«(F2 — H»)U(F'*-*-G«)^»-4-(G«-f-H')A2]/* Ha»î(G«— F*)*[{G^-hU*)h^-^{H^-hF^)p]^^ -f- a»« ( IP - G» ;M^ H« -T- F* )/« -h( F» 4- G« )^J ] A*.
Adoptant donc le discriminant b^ D = a^ /'^ g^ h- 1'^ pour invariant du huitième ordre, la proposition précédemment annoncée se trouvera démontrée à l'égard de ces invariants fondamentaux, en observant que F, G, Il n'y entrent que par leurs carrés, de sorte qu'au moyen des relations
G«-in = 4//, H»-F« = 4/^, F« — G*=4//',
et de celle-ci qui en déci>ule
on pourra effectivement les exprimer par F*, g^ A, /. Nous obtiendrons ainsi
