JK — 768L — A

— 2/*^A(^ — A)(^«-h3^»/r-+-8^*A«-Mi^*A*-t-8^«A*-4-3^A»-»-A«)].

Or, ces expressions sont des fonctions homogènes de F^ et /, dont les coefficients sont des polynômes entiers en g et A, et il en sera de même par conséquent de leurs combinaisons entières qui représentent tout invariant de la forme du cinquième degré dont Tordre est multiple de quatre. J'ajoute qu'un invariant donné ne peut être obtenu de deux manières différentes, comme nous venons de le dire; car, en égalant deux expressions de cette nature, on arrive à une équation homogène entre F^ et /, qui pouvait donner

-y- en ^ et A, c'est-à-dire une fonction de la racine x^^ et par conséquent cette racine au moyen des quatre autres, puisque g et h ne contiennent pas Xq.

Je terminerai celte Note par ce qui concerne, au même point de vue, l'invariant gauche, et à cet effet, en posant comme plus

haut

/fr =/ç^*-+-/A,

j'emploierai les relations suivantes qu'il est aisé de vérifier,

savoir

2(x4-x,)F,G, = H^'H-GA',

2(x,-x,)H,H,= FA'H-H/',

2(x,-x,)H,Gv=G/'-t.F^',

2(0:, — x,)G,F^= H^'— GA\

2(j',-j:i)F,F, = FA'-H/\

2(^4-x,)GiH,= G/*-F^''.

On en déduit, en les mulliplianl membre à membre,

-64/rAK = a»»FGH(HV'*- G*^'«)(F«^'«- HV'«)(G«.p— F^*). Ecrivant ensuite

et observant qu'on a

on en conclut immédiatement

K = a»»FGH|F«(/j -.f)fh^lf'^]

et l'on reconnaît que la quantité par laquelle est multipliée FGII peut encore être mise sous la forme d'une fonction homogène de F* et /.

SUK L'INVARIANT GAUCHE

DBS

Salmon, Algèbre supérieure, trad. O. Chemin, deuxième édition, 1890, p. 568.

On doit au P. Jouberl ( ' ) la découverte intéressante de l'expression de cet invariant, qui est du quinzième ordre, au moyen des racines de la forme proposée. Représentons cette forme par

/=a(x — x^y){x- Xoy)(x — xiy){x — xtjr)(x — Xiy)(x ^ x^jr)^

et posons

Uo =lx^Xo(Xf-h x^— Xx — x,,)-k- XxX,,KX^-^ Xq— Xt — a-a)

-HX,jrj(J7| -4- j-4 — X,— J-o)], Vo = [Xm>Xç^(Xi-i- X,,— Xi — Xi)-\- XxXt{X^-¥- X^ JTj Xf,)

-\- XiXt^ixx -\- x^ — x^ — aro)], Wo = [ J-« :ro ( .Ti -H j-^ — j- , — j-j ) -h JT, JT, ( jf. H- a:o — x^ — x^)

-h XtXt,(Xx -\- Xi — X. 070 )].

En convenant de désigner par L,, V/, W, ce que deviennent ces expressions, en ajoutant le nombre k aux indices des racines pris suivant le module 5, on aura la valeur suivante de Tinvariant gauche du quinzième ordre, savoir :

K = a»»UoU,U,U,L\ VoV,V,V3\\WoW,W,W,W4.

(') Voir Comptes rendus, l. L\IV, 1867 (I), p. 1026.

SUR