SIR

Comptes rendus de r Académie des Sciences, l. L\I. i865 (II K p. 877, 965 et 1073: i. LXII. 1866 • 1 1. p. 65, 157. a45. 70. 919. 959. io54, 1161 el i2i3.

La théorie des fonctions elliptiques conduit à deu3[ méthodes

pour la résolution de IVquation du cinquième degré. La première

a pour fondement la possibilité de ramener Féquation proposée à

la réduite

> I ^ fr-

de l'équation modulaire relative à la transformation du cinquième ordre. Dans la seconde, qui est due à M. Kroneck«r (*), on prend pour point de départ certaines fonctions cycliques des racines dont les carrés ont seulement six valeurs, et que Ton représente par les

quantités

cosamico cosamîo cosam4(» cosamaco

ù) étant successivement ^» -^-, > ^ De ces fonctions

on déduit ensuite rationnellement les racines elles-mêmes, qui s'obtiennent ainsi sous forme explicite à l'aide des mêmes quantités. Ces deux méthodes ont été pour moi le sujet d'une longue

(*) Comptes rendus de l* Académie des Sciences, t. XLM, année i858, el Journal de C relie, t. 51». année 1861.

35o OEUVRES DE CHARLES HBRIIITE.

je la désignerai par ^(X, Y), de sorte que Ton aura

cf(X, Y) = (X, {JL, sTk. sTk. {^', XO(X, Y)*.

Il est aisé de voir qu'on obtiendra la même forme canonique pour toutes les transformées déduites de la proposée /(x, ^) par une substitution quelconque £ au déterminant un\ car il suffira d'effectuer dans cette forme la substitution inverse S"* qui ramènera à la proposée, et puis de la faire suivre de S, pour retrouver J(X, Y), le déterminant de la substitution composée S~*S étant d'ailleurs égal à l'unité. Il suit de là que les coefficients de la forme canonique sont des invariants de la forme proposée, et il importe d'étudier avec soin ces coefficients.

Je dis, en premier lieu, qu'ils peuvent s'exprimer en fonction des trois quantités Xk'=z g^ ^^^=h et k, Eff*ectivement le covariant quadratique de ^(X, Y) étant devenu y/A. XY, on a les deux relations

X|ji' — 4 H^ ^k -h 3 X: = o,

X> — 4|jl'/X:-4-3/: = o, d'où Ton tire ces deux équations du second degré

En les résolvant et posant, pour abréger,

ou aura un premier système de solutions, savoir

et le second s'en déduira en changeant à la fois le signe de y/A dans ces deux formules. Mais, d'après le produit des racines des équa-

ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 35l

lions en X et [ii, ce second système pourra aussi se représenter par y » — > c'est-à-dire par X' et [jl', de sorte que Ton aura

Ti/iT^y: = h{g - i6ky--gk^(g -+- i6A-)-(^ - i6A-)v/a, ■24 v^hl' = 9 A:» -f- 16 AA — ^/i -h v/Â.

Voici donc, comme on Ta annoncé, les coefficients de la forme canonique