X, Y) --= (X, II, A /^, ^\ X') (X, Y
exprimés en g. A, Xr, et Ton va voir que ces quantités s'expriment elles-mêmes par les invariants de la forme proposée.
Je rappellerai d'abord cette proposition : que, (f(Xyy) et ©i {:i'^y} désignant deux covarlants d'une forme y, si Ton pose
d'où
Ç(— r» ^) = «v^^— av-ia:v-i^ -+-. . . 4-(— i)^->ai3r7v-* -r(— i^ao^"'» l'expression
sera encore un covariant de /, et je dirai suivant l'usage qu'il a été obtenu en opérant avec o(x,^) sur o» (x^y). Cela résulte de ce qu'en faisant
9(mX-+-m'Y, n\-hn'\)
= AoXvH- Al Xv-i Y -f-. . .4- Av-i XYv-i -^ AyYv = 4»(X, Y ;
et
9,(mX ■+■ m' Y, /iX h- n' Y)= *,(X, Y),
l'expression semblable obtenue en opérant avec 4>(X, Y) sur
<!>, (X, Y), savoir :
sera
^;(/HX-f-m'Y, n\-+-n'Y)(mn'— /n'/i)v.,
où l'exposant V| du déterminant de la substitution est le degré de çpi (j7, y). Je ferai usage de cette proposition en prenant pour <l>i(X, Y) et ^(X, Y) la transformée canonique de la forme du cinquième degré et son covariant quadratique, de sorte que l'on ait
*(X,Y) = v/ÂXY, *,(X,Y) = J(X,Y).
On obtiendra ainsi, sous sa forme canonique, un premier covariant du troisième degré ( • )
v/Â^JIy = î^ov/Â(k, y/k, yfk, ^'){\, Y)', et, en opérant avec le carré de ^(X, Y), ce covariant linéaire
Enfin on sait que le déterminant
^ '•^^"" dx dy dx dy est aussi un covariant, car on a
{mn — m /i)t}^(m\H-/n \, nX-f-« \)= ^ _____ .
Faisant donc
<J>(X,Y) = v/ÂXY,
€l prenant successivement pour <[>| les deux covarianls auxquels on vient de par\enir, savoir :
(I, s/\{)x,yrk,>fk,)^)^\,\)\
\\\) A(v/XXh-/ÏY),
(') Il faudi'ait mettre le signe — devant le second membre. E. I*.
jn obtiendra les suivants ( * )
III) A(3Ht,/îf, -/^, -3Ht')(X,Y)»,
IV) Av/Â(v/IX— v^Y),
[jui sont encore du troisième et du premier degré en X et Y. Maintenant on voit qu'en opérant avec (I) sur (III), on est conduit à un invariant du huitième degré (^), ^A^ (jjljjl' — k) : je le désignerai par B. En opérant avec (II) sur (IV), on trouve un invariant du douzième degré ('), y/A*/', que je représenterai par C. On a d'ailleurs
XX'— 3iifJi'-+-!iA- = /Â;
(le sorte qu'ayant posé
3n peut déterminer g^helk au moyen de l'invariant du quatrième iegré A, et de ceux du huitième et du douzième degré, que l'on , ient de définir, par ces relations
i'oii Ton tire
A»-+-3AB-+-C , AB-hC
Enfin j'observerai qu'en opérant sur (I) avec le cube du covariant linéaire (II), on obtient un invariant du dix-huitième degré, »yant pour forme canonique y/A'y/Â^((jL — [ji'). Je le désignerai par K, en posant {*)
et, d'après les valeurs précédemment données de jjl et [jl' en fonc-
(') Les expressions (III) et (IV) devraient être précédées du signe — .
(^) Un coefficient numérique 36 serait à rélublir devant J^expression qui suit.
(') Un coefficient numérique a serait à rctulilir devant l'expression ^X^k.
(^) Le coefficient numérique*i3 serait à remplacer par 6 devant l'expression de l'invariant K. E. P.
H. - II. a3
354 OEUVRRS DE CHARLES UERMITB.
tion de ^, A, Xr, on voit que
et, par conséquent,
K«= A7A = A7[(9A-»-+-i6Ait-^A)«— 24«AA-»].
Or il vient, en remplaçant g^ A, k par les valeurs ci-dessus, K«=:(A«-+-3B)»AB»4-a(A«-+-3B)(A« — i2B)BC-+-(A«— 72B)AC»-48C»;
de sorte que K^ est une fonction entière des invariants A, B, C. Lne dernière et importante proposition nous reste à établir pour terminer ce sujet, c'est que tout invariant, quel qu'il soit, peut être exprimé en fonction entière de A, B, C et K.
En désignant un invariant quelconque, fonction entière des coefficients de la forme du cinquième degré : /= (a, ^, y, y, ^', a') {x^ yY^ par
je remarque d'abord que, la transformée canonique
§ = I A, ;ji, v^, /Â-, a', X') (X, Y)»
ayant été déduite de y par une substitution au déterminant ttn^ on a également
et ion en conclut, d'après les expressions des coefficients )., a
données précédemment,
en désignant par P et Q des fonctions entières en ^, A, k. Mais distinguons entre les invariants directs et les invariants gauches, et pour cela considérons la transformée déduite de la forme canonique par la substitution impropre
savoir :
.f, = (X',H^',A/ï,lx,X)(X,,Y0».
On remarque qu'elle ne dlfiere de ^ que par le signe de y/A, de sorte que l'expression du même invariant I relative à J, sera
Nous aurons donc, selon qu'il s'agira d'un invariant direct ou d'un invariant gauche,
P-+-Qv/Â P — Qy/Â A:'* "" A-« '
ou bien
P-hQy/Â __ p — Qy/Â /:« ~ A-'»
Ainsi, dans le premier cas, Q = o et, dans le second, P = o. J'ajoute que le dénominateur Xr" disparait dans l'une et l'autre de ces expressions, qui prendront dès lors les formes plus simples V -et Qv^A. On va voir, en effet, que, d'après la nature même de la fonction B, aucune de ces quantités ne peut devenir infinie pour /- = o; car, quel que soit (o, on peut poser
e(X,[Ji, v^, /Â, ^', X')= e(Xto5, [Jiw», v^to, /îw-», jx'a)-s,X'tD-4);
et, en prenant co^y/Â", nous allons reconnaître que dans ce cas le second membre est nécessairement fini. C'est ce qui résulte immédiatement de* expressions
'24v/^Ht= 9À«-+- 16/iA — ^A — /Â, qui donnent^ en supposant k = o,
72/ÂiX = 2^A, 'j4\/k^ix = — igh.
Ces deux quantités étant limitées, on voit qu'il en est de même de
X' (0-5 =irr-: et a' w-» = — :
on serait d'ailleurs parvenu à la même conclusion, si Ton eût pris un autre signe pour le radical y/A dans les expressions générales
de A et [Ji, car on aurait opéré de même en supposant to = — » ^t
considérant )/ et [ji' au lieu de X et (jl.
Ce qui vient d'être établi fournit une première donnée stMr l'expression d'un invariant quelconque des formes du cinquièn:» ^ degré, au moyen de ceux qui ont été définis précédemment ^t nommés A, B, C, K. Ayant en effet
. Aî-f-3AB -4- C . AB-f-G , C ^ K
/Â* /Â* /A» /ÂJ
on voit l'invariant du dix-huitième ordre figurer comme facteur dans l'expression générale Q y^A des invariants gauches, tandis que A, B, C se présentent seuls dans les invariants directs. Mais, pour parvenir à notre conclusion, exprimons en A, B, C, K les coefficients de la forme canonique. En posant, pour abréger,
L =Cî-+--ABC«-+--i-An(3B-+-A«)»(C-+-AB)
— 3o AC(C -h AB) — 9 AC«— 90 B»C]»
M=C»-+-iABG — -î- Aî(3B»-»-AC-+-A»B),
on trouvera
fJLv/C3:
HiVc» =
on a d'ailleurs
D'après
cela, je
fais la si
ibstitution
X = Tv/Â
Y = Tv'
dont le déterminant est numérique; elle donnera le résultat suivant
-^,o[X-+- V-+- (ji -f- /— 4v^it] t/ÂT»U»4- io[X-- X'— (fx - jji')] V'^Â^T'U» -^ 5[Xh-X'— 3(fji-+-HiO-^4v^]v^5FîTU*-+.[X-X'— ^(ix-IJiOJv^Â^US
ou bien, d'après les valeurs de \ (jl, a', |jl',
a/G=»(L-+-5MC-+-ioC»)T»— iov/C^(L'4-3M'C)AT*U
-Mo/(F»(L — 3MC-+-2C»)A-ïTU*-2/G^(L'-5M'C)A-»U».
Cette transformée pourra servir, absolument comme la forme canonique, à donner l'expression générale des invariants de la forme du cinquième degré, qui seront des fonctions entières de ses coefficients. Or, on observe que A, dans les termes en T'U-, TU*, U^, disparaît comme dénominateur; d'après les valeurs de L, M, L', M', on obtient effectivement
(L-hlV1G — 2C5)A-»
= 2BCî-4-;^A[(3B-+-A*)î(C-»- AB)
— 3oAC(C-»- AB)— 9AC»— 9oB«C]
— -l-AC(3B»4-AC-f-A«B),
(L — 3MC-+-2G3)A-î
= JL [(3B + A«)«(C -+- AB)- 3o AC(C -4- AB)— 9 AC«— 9oB»C]
■4-iC(3B»-4-AG-+- A«B),
Tous ces coefficients sont ainsi des expressions entières en A, B, C, K, ayant pour diviseur y/C*, et par conséquent un invariant quelconque sera une fonction entière des mêmes quantités divisée par une puissance de C. Mais les considérations précédentes ayant déjà conduit aux expressions P et Qy/A, entières en g^ /i, /:, on voit que ce dénominateur, représenté par une puissance de C, dis-
358 OeUVAES DE CHARLES IIERMITK.
paraîtra nëcessairement comme facteur commun. C'est le résultat -^x
que je m'étais proposé d'établir et qui autorise à regarder A, B. .,,
C, K comme invariants fondamentaux, puisque tous les autres, ,^
quels qu'ils soient, en sont des fonctions rationnelles et entières. ^^
M'arrètant à ce point dans la théorie algébrique des formes du ^jj
cinquième degré, je reviens à mon objet principal en établissant a j
la proposition suivante, qui sert de fondement à ma méthode, et j j
qui montrera comment les invariants s'introduisent à titre d'élé- —
menls analytiques et jouent le principal rôle dans la résolution de ^^^ l'équation du cinquième degré.
Soient fix^y) une forme de degré quelconque n et o(^,^v) un de ses coio riants de degré n — 2 en x et y, je dis que les coefficients de la transformée en z de V équation f{x^ i) = o, obtenue en posant
sont tous des invariants de f{x^ y).
Avant d'exposer la démonstration, je rappellerai que l'on nomme covariant de
f{^.y) = {ci,b,c, ...){x,yY
tout polynôme cp(a7, j-; a, b, c, . , .) dont les coefficients sont fonctions entières de r/, 6, c, ... et tel qu'en posant
/(/?iXH-m'Y, «X-4-/i'Y) = (A,B,G, ...)(X,Y)«
on ait
cp(X, Y: A, B,C,...) = (7?m'— m'ny cp(mX-f-m'Y, /iX-+-n'Y; a, 6, c, ...).
On voit qu'en faisant, pour abréger,
F(X, Y) = /(/iiX-4-/?î'Y, /iX-+-n'Y)
et
le polynôme <I> est déduit de F absolument comme çp def
ÉQUATION DU CINQUIKME DEGRÉ. SSq
Cela posé, je considère les deux équations homogènes
qui donnent celles de Ténoncé pour ^ = i , et d'où Ton déduit aisément celles-ci
l -5^-^a7ç>(ar,^)=o,
( «^|-r?(^i7)=Oi
sur lesquelles je vais raisonner. Si l'on y remplace les coefficients a, 6, c, . . . par ceux de la transformée A, B, C, . . ., elles deviendront
et il s'agit de comparer le résultat de l'élimination de ^ et y entre les équations (i) avec celui de l'élimination de X et Y entre les équations (2). J'observe à cet eflTet que l'on peut introduire x eX, y au lieu de X et Y en posant
a? = mX -4- m'Y, ^ = nX -4- n' Y, d'où
dX dx dy dX dx dy
de celte manière les équations (2), en y remplaçant ^(X, Y) par {mn! — m'ny^{x^ y)j deviennent
-» f/w' ^ -+- n' ^ j -+- X(mn'— m'n)t ^(x, y) = o,
-» ( 'w ^ -+- n ^ j — Y(mn'— m' nY 9(ar, y) = o.
Or, en multipliant la première par /i, la seconde par n' et retranchant, il viendra
z{mn'-^ m'n)-j- —(n\ ■+- n'\)(mn'— m ny^{x^y)= o,
36o ŒUVRES DB CHARLES IIKRIIITK.
OU évidemment
z -~ — y(nin' — m'ny- * o(ar, y)= o.
De même, en multipliant la première par m, la seconde par wy ', et retranchant, on obtient
z-^ -\-x{mn' — m'ny-^ o(ar,^)= o.
Ce sont donc précisément les équations (i) qui se trouvent reproduites, en y multipliant o{x^y) par [nin! — /?i'/i)'~* ou remplaçant z par r—^-— ; — ^> et il va être ainsi prouvé que les coefficients de la transformée sont bien des invariants de/(j:, ^). En effet, cette équation en z sera, d'après un théorème connu, privée de son second terme, et, si Ton désigne par D le discriminant, elle aura cette forme
51, B, . . ., & étant des fonctions entières de «, 6, c, Maintenant, si Ton remplace z par ; ; -, — -r-:* elle deviendra
9 il
d'où Ton voit que, par le changement de a, b^Cj . .. en A, B, C, . . .,
les coefficients tt» r» • • •» tt' et, par conséquent, 5t, U, . . ., M^ se
reproduisent multipliés par une puissance du déterminant de la substitution, et sont bien des invariants.
Ce qui précède ne peut être appliqué aux formes cubiques et biquadratiques, qui n'ont pas de co variants linéaires ni de cova-
ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 36l
irîants quadratiques, mais plus tard on établira, pour toutes les formes de degré n égal ou supérieur à cinq, Texistence de divers systèmes de /i — i covariants du degré n — 2. Désignant par
l^un de ces systèmes, et posant
?(^,.K)=/iÇi(ar,^)-h^,ç,(ir, J^)-f-...-^-^,l9„-,(a7,7),
j'introduirai l'expression z = J, ' — » qui contient /i — 1 quantités
arbitraires /,, ^3, ..., /,i i, comme formule générale de transformation à l'égard de l'équation y(^, i)=o de degré quelconque supérieur au quatrième. On va voir ainsi disparaître en quelque sorte les coefficients de cette équation, pour faire place aux invariants qui prendront le caractère d'éléments analytiques dans les plus importantes questions de la théorie des équations algébriques. En effet, les quantités 5t, Î5, ..., ^ deviendront des fonctions homogènes de /|, ^2? • ••? ^«-i? du deuxième, du troisième et enfin du 71'*"'* degré, dont les coefficients seront des invariants de la forme/(^, j^) ; et, pour montrer immédiatement comment intervient leur propriété caractéristique, en prenant, par exemple, 51, je vais déterminer le degré de ces coefficients dans les divers termes /J,
Nommons indice d'un invariant ou d'un covariant o(j7, y) l'exposant /, qui figure dans l'équation de définition
= (mn' — m'/i)'<p(/nX -h m' Y, /iX 4- /l'Y; a, b, c, , . .),
et soient /<, /jj •••? in-i les indices des covariants 'fi{x^y)j ^2{^^y)y •••7 ^n-i{^,y) qui entrent dans la formule générale de transformation. D'après la démonstration donnée (§ V), le changement de a, t, c, . . . en A, B, C, . . ., dans l'équation en z^ revient àremplacer/,, /a, ..., par /«(m/i' — m' ny~^^ t^inin' — m' /i )'«"*,..., et il en résulte immédiatement que l'indice du coefficient d'un terme quelconque /«/p dans5t sera ig^-i- i^ — 2. Mais ce coefficient a pour diviseur le discriminant dont l'indice est n{n — 1); par conséquent Tindice du numérateur sera la somme i^-^i^—2-^n{n — i) et son degré en a^ b,c, ... le double de cette quantité divisé par /i.
36'Jt OEUVRES DE CHARLES HER&IITE.
c'est-à-dire — — h 2{n — i). En introduisant le degré o,
du covariant Oa{Xj y) en a, 6, c, . . ., au lieu de l'indice l'a? d'après la relation 2/a= /i8a — /i -f- 2, cette formule se simplifie et devinai Oot -t- 3p -f- 2 n — 4- Oii trouvera pour la forme cubique B, absolument de même, que le degré du coefficient de /a^p^y ^^^ ^a H- 3p -H Oy -H 3 /i — 6. Ce sont ces fonctions 5t et Î5 qui jouent l^ principal rôle dans la réduction à la forme trinôme de Téquatiot^du cinquième degré, car cette réduction dépend de la résolulior^ des équations 5L = o, Î5 = o. Et ici le point qui m'a semblé le plu! essentiel et m'a le plus préoccupé consiste à vérifier la première eni exprimant ^1, /j, /s, l^ en fonction linéaire de deux indéterminées. La méthode à laquelle j'ai été amené repose en entier sur le choix des quatre covariants du troisième degré qui entrent dans la formule de transformation, et voici comment on les obtient.
Une remarque facile à établir, et dont j'ai fait usage ailleurs ('), me servira de point de départ. Elle consiste en ce que les coefficients des termes en Ç et tj, dans le développement de l'expression
où «p(j7, y) et 0| (:r, y) sont deux covarianis d'une forme quelconque/(^, X), sont encore des covariants de la même forme. En supposant cp(x, y) du second degré et cp, (j?, j^) du troisième, on voit ainsi un premier covariant cubique donner naissance à trois autres, et les éléments de la formule de transformation
tv^x(x, ijH-mptÇj-, i)-^P9;,(j?, i)-+-iV94(j-, i)
semblent s'offrir d'eux-mêmes, en partant du covariant quadratique
( • ) Voir Hermite, Œuvres, t. III, p. 3o8.
par
fiQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 363
et du covariant du troisième degré obtenu au paragraphe III, en opérant avec o(^, y) sur la forme proposée /(jc, y). Désignons, pour les introduire dans l'expression (i), par<ï>(X, Y) et<I>i(X, Y), los transformées canoniques de o(^, r) et »i(^,y); on aura
*(X, Y) = v/ÂXY,
*,(X, Y) = /Â(|jiX3-H3v/IXn'-+-3/IXY»-t-ji'Y»),
^t Ton pourra remplacer
*i[(Ç-l/Â)X, (t4-ryÂ)Y].
Posant donc
*i[(Ç--ri/Â)X, (Ç + ryÂ)Y]
= Ç'4>i(X,Y)-3t*Ti*,(X,Y)-h3tTiM'3lX,Y)-Ti'4>,(X,Y),
voici, sous forme canonique, les expressions des covariants que nous sommes tout d'abord amenés à prendre pour cpi (ar, y), ?2(^7r), •.., à savoir :
*,(X,Y) = v/ (txX3-h3v^X«YH-3v/^XY«H-tx'Y»), *,(X,Y)= A ({iX3-4- v/^X»Y— /^XY«-|ji'Yî), *s(X,Y) = /«(txX5— /^Xn'- v^XY«H-[x'Yî), 4»k(X, Y)= A»({^X»-3/^Xn'-+.3/)îXY«-tx'Y3).
Le premier est du troisième degré par rapport aux coefficients de la forme proposée, ou, si Ton veut, du troisième ordre ( * ), et a reçu de M. Sylvester la dénomination de canonisant. Sous celte forme de déterminant, savoir
ï Y fi «
il sert de base au mémorable travail de Tillustre analyste sur les
(*) Pour abréger, je désignerai désormais, sous le nom d'ore/re, le degré des covariants ou invariants de f{x^ y) par rapport aux coefficients de cette forme.
conditions de réalité des racines de l'équation du cinquième degré. Je me bornerai à observer, à son égard, que toute forme cubique (a, b, 6', a')(.r, yy admettant pour covariant l'expression
(a6»— 3rt66'-Ha'a«, b^b'-h aba' —7.ab'^,
on en tire un nouveau covariant du troisième degré et du neuvième ordre ^t {x^y)^ dont je désignerai la forme canonique par ^'|(X, Y), de sorle que l'on aura
>r,(X,Y)= v^(2/F— 3txA:-H{x>0X»
