I . i . "» -i V w -^- /i > -«- I rfr "• </ V

On on tire, pour le ooeflîcient de ^'"ft* dans le développement de la fonction propt^soo, Toxpression du polynôme t)^„ qu'il s'agissait de démontrer, savoir :

Kn |virt^nt maintonant do ootto expression et considérant le dëvcloppomont d'une fonction quclcv^nquo sous la forme

y -- » = Va, ,v ..^.

on obtiendra oxidcmmont à Tcizanl do l'intéirralo

prise entre les limites

ainsi que sur les propriétés de la courbe t);n,« = o, les mêmes conséquences que précédemment; je ne m'y arrêterai pas, pour abréger, et je terminerai par une dernière remarque sur les polynômes U„,,„ et V;„,„.

Les dérivées des divers ordres de Texponentielle ^-^(r,/,^,...)^ dans laquelle o{x^y^ z, . . .) désigne une forme quadratique, conduisent, comme on l'a vu, à un mode de développement d'une fonction quelconque, où les variables peuvent recevoir toutes les valeurs de — oo à H- do. Or, un pareil mode de développement |>eut être obtenu comme conséquence de ces formules

^i de celles où l'on emploie \*>m,/i et Vm^nf et en supposant x ety limités parla condition

Considérons en effet la substitution

on en déduit

d'où résulte que les nouvelles variables pourront s'étendre de — oo à -4- », et l'on est amené par là à rechercher ce que deviennent en fonction de $ et t; les polynômes Um,/i et V;»^;,. Si l'on fait

on voit tout d'abord que les quantités R,«,/f, Sm,/i sont rationnelles,

344 OBVVRES DE CHARLES HERIIITB.

entières et du degré m -+- /i en Ç et r^ ; ainsi on aura

Ri.i = ^Ç^, R4.o= J(8Ç*-24?«-4-3), Ro,i = - ( '>-Tfi* — I ). ,

So.o=i, S,,o=4({»-VÎ-0,

S,,o=35«-îi«-i, So,,= 4(r,»-ÇV-T,),

Si,i= 8ÎT), 84,0= 5t^— iot»T)«-+-T)*— ioÇ«'-+-aV+i,

So,,= 3iri«-$«-i,

Mais, pour en reconnaître la nature, revenons aux équations de définition

(i — 2ax — 'xby -f- a«-+- 6«)-> = V a'^ô" V,„,„. En posant dans la première

rt = a/n-5«-f-Tj«, b = P/n-Ç*-4-Tj«, elle prendra cette forme

par conséquent, Rm,»? comme on le reconnaîl aisément, ne contient que le seul terme Ç^'r," du degré m-h/i; c'est la propriété caractéristique de V;,,^;, qui a été transportée ainsi par le changement de variables au polynôme Vm^n-

Faisons dans la seconde équation

^ lie deviendra

c??i l'on en conclut cette expression qui nous rapproche de la forme sinalytique de Um.nj savoir :

En posant on obtiendra semblablement

A. l'aide de cette forme, en raisonnant comme je l'ai fait précédemment, on établit que les équations

admettent toujours m racines réelles considérées par rapport à Ç

et n racines réelles par rapport à tj. Sous la condition Ç >• cot »

l'équation Sm,«= o a même toutes ses racines réelles par rapport à Tj (*). Mais je ne m'arrêterai pas à l'étude des polynômes Rm,//» Sw^/t, ayant voulu seulement indiquer encore un exemple du genre d'expression donné par Jacobi aux fonctions de Legendre. C'est en 1826, dans le second volume du Journal de C relie, que ce grand géomètre a établi la relation

' " "" 1.2. ../i.i" dx'*

(*) Cette affirmation ne parait pas exacte, comme le montre le cas particulier de m = a, /i =1. E. P.

Mais bien avant, et dès 1 8 1 5, un homme du mérite le plus distingué et dont la mémoire est restée chère à ses nombreux amis, M. Olinde Rodrigues, y était parvenu dans une thèse, Sur V attraction des sphéroïdes, prc*sentée à la Faculté des Sciences de Paris. Celte thèse contient encore la relation remarquable

\ .?.. . .m — jt dx"^- P ~ \ .'JL. . .m -^ p dx'^-^P

donnée également par Jacobi dans le même Mémoire, et qui joue un rôle important dans la théorie des fonctions Y^. A l'égard des polynômes llm.n la propriété analogue n'a pas une forme aussi simple. On l'obtiendrait en partant de l'équation suivante, facile à démontrer,

i .•>... ,n — p i .->.,. .ni — q dx"-P dy"^-^

{xy — \ y-^t d"^^'^-^P-^n{xy — \yn^n

\ .'i. . .m -\- p.\ . >.. . .n -\- q dx"*-^l dy"-^9

et remplaçant les quantités x et y par x -\-y\/ — i, x — /V^'î mais ce changement de variables donnerait un résultat un peu compliqué, et je ne m'y arrêterai pas.