Â3( v/>t^-f-{itx'v/>t — 2ttxA)X»Y
— 3/v( v/^-t-{i{Ji'v/5t — 2{i'A:)XY»
— /Â^('jiv^— 3fx'/:-Hfx{ji'«)Y3.
Le second covariant ^^{x^ y)^ qui est du cinquième ordre, donne lieu à une observation importante. Lorsque la proposée /(jt* v) admet un facteur linéaire au carré, il contient ce facteur à la première puissance, absolument comme les dérivées ^ et -^; voici la démonstration de cette propriété.
Désignant par c et t deux constantes arbitraires, j'observerai qu'en prenant pour les coefficients X, [jl, . . ., de la forme canonique
les valeurs suivantes
\^= 5(33r-h'2T)TClS
{Jl'= -(3'w-4-2(T)(JTS
X' = (6': — 5(T)T% qui donnent identiquement
XfJt'— 4 |jl/Â-+- 3A: = o, X' fJL — 4 fx' v^^ -H 3 X: = o,
elle devient
J = (<jXh-':Y)«
On a donc ainsi, dans le cas d'une racine double, l'expression générale de la forme canonique et, par suite, de tous ses covariants. En particulier, on obtient
4>,(X, Y)=T<xiA((rX-HTY)
X [(3(1 -+. 2T)(X«, ^(T — (x)tt, — (2ar -+- 3t)t»1 (X, Y)»,
ce qui établit la propriété énoncée. Mais on reconnaîtra qu'elle n'appartient plus aux covariants ç.i(^îy) et Ojk{^f J')j et c'est ce qui conduit à les remplacer respectivement par les suivants
qui sont encore du septième et du neuvième ordre, et où elle se retrouve. On obtient en effet, dans le cas d'un facteur double, les expressions
4*3(X,Y)-hA*,(X,Y}
= -+-/XâT(j((jX-hTY)r(3ar-+-9.T)<j«, 1 (t -t- a) tt, (3t-h 2(j)t» 1(X, Y)«,
= — ^/Âî<j«x«(<ï — ')(3ar»-^2T7-h3':«)((jX-HTY)»,
et, si on les désigne de même par 0:i(x,y) et 04(2:, r) afin de ne pas multiplier les notations, leurs formes canoniques seront
*3(X,Y)= v/Âï(5fxX3-/^X«Y-v/^XY«-^5fx'Y3), *,(X,Y)= v^[7/Âtx-hc)6(-2v/^ï~3txA--^tx'îi»)]X»
— 3^[3/Â/Â- — 9r)(v/^-4- iiii'v'k - X ]xk)]yj\ -t- 3 /Â7[3 v/Âv/>f — 96( v^-H fx.uV^- — '^ {^'^")]XYi
— /Â3[7v/Âîi'-H96(2v^— 3tx'A--+-|Jiii'0]Y',
OU encore
*,(X,Y)= /Âi[(;^^-75A-i8A-)tx-64Xtx'ï/^]X»
-h 3v/X»[(3^ -h 1 5i A - 9oA-)v/^ — 64X fx'«]XY» - /Âi[(;^-H 75/i-i8Â)fx'-64X>v^]Y».
Tous les covarîanls dont se compose la formule de transformation pour l'équation du cinquième degré sont maintenant définis ('), et il ne me reste plus qu'à montrer que rinvariant du huitième ordre D = A^-f- 128B est le discriminant de cette équation. Effectivement les équations (1) relatives au cas d'un facteur double
donnent
g ={— 3off«-r-()i':ar — 3oT»)<x5t»,
ii5/i =(6(ï«-i- i3tj-4-6':*)(j«tî,
k = <t6t0, d'où
^-f- i'2:>A — 12GA- = o,
et en remplaçant g^ A, k par leurs valeurs en A, B, C,
(') Celui du neuvième ordre mérite d'être remarqué; si l'on opère en effet avec le covariant quadratique sur 94 (x, y)^ on est conduit à un covariant du premier degré qui, dans le cas où la propus(^e contient un facteur linéaire élevé au carré, coïncide avec ce facteur. Sa forme canonique est
A'[(3^-hi5iA — goÂ^v/'^ — 6rA>=]X — A-[(3^-4-i5iA — 9oA-)v^ — 6'4V']^'-
Un résultat analogue a lieu pour toutes les formes / = (a, 6, .. ., 6', a')(j:, y)' •de degré impair et supérieur à trois. Soit, en effet, D le discriminant: M. Cavley a démontré que, pour D =« o, le covariant
devient la puissance «•*"''du facteur contenu alors dans/au carré. Or en opérant
sur '^{x^ y) avec la puissance (\\\ covariant quadratique du second ordre
<le la forme proposée, le covariant du premier degré et d'ordre Zn — 4> auquel nn sera ainsi amené, sera évidemment, pour D = o, ce facteur linéaire. Dans le <as de n = 3, mais dans ce cas seul, il s'évanouit identiquement.
<?e qui fait voir que D s'évanouit bien dans le cas où la proposée admet deux racines égales. L'invariant du douzième ordre D| = 25 VB -|- i<)C, qui se présentera bientôt, pourrait être appelé Jiecond discriminant , les deux conditions D = o, D| = o exprimant que la proposée contient deux facteurs linéaires doubles.
Nous voici parvenus à un point bien important et qui servira d'épreuve à toutes les considérations précédentes, c'est le calcul de la forme quadratique à quatre indéterminées désignée par J3l. Déjà nous savons que les coefficients de cette forme sont des invariants, je vais prouver de plus qu'ils contiennent tous le discriminant D comme facteur, le coefficient du seul terme t^ étant excepté. Reprenons à cet ett'et l'expression
et soit pour un instant
je dis qu'en nommant x^^ x^^ x^j x%^ x^ les racines de l'équation proposée, la quantité B(^o) sera divisible par
(a?o— Xx ) {Xq— ./;, ) {x^^ — Xz){,Xf^ — x,,).
Remplaçons à cet efl'et -> -» — * — > — dans B(^) par leurs valeurs
en fonction des racines, B(xo) prendra évidemment la forme suivante :
II(a?o, Xi^ Xi, a".-i, x^)^
n désignant une fonction entière. Cela étant, plaçons-nous dans le cas de deux racines égales, en supposant par exemple j:q=X|, chacun des covariants qui entrent dans B(x), et par conséquent celte fonction elle-même, s'évanouira pour x =• Xq. Il en résulte que n(xo, Xij X2, ^3, Xji) s'annule quand on y fait Xq = Xij et il en serait de même pour
XQ=Xf, jrQ=, Xjy a?o=^vî
368 oeuvni^s db charles heriiite.
d'où Ton voit que celle expression esl divisible par
On peul donc, en désignant par ^(x) une fonction entière, écrin
Cela posé, et observant que l'équation en z n'a pas de second terme, j'exprime ^ par la somme des carrés de ses racines, ce qui donnera
le signe \] dans le second membre se rapportant aux diverses racines x = Xo^ Xij Or, on sait, par un théorème élémentaire,
que
se réduit à une fonction entière, et l'on voit par là que, à l'exception
du coefficient ^-, tous les termes de jr sont entiers, ce qui démontre
la proposition annoncée.
Déterminons maintenant l'ordre de ces termes à l'aide de la formule du paragraphe VI,
ôa-4- op -f- in — 4»
et qui s'appliquera, en prenant pour 5|, 82, 83, 84, les valeurs 3, 5, 7, 9. Pour les coefficients de ^-, tv, ç^; c/^, uw, (v-, on obtiendra les nombres 12, i(3, 20; 16, 20, 24, multiples de 4; quant aux coefficients de tu, /(v, ww, viv, ce seront des invariants d'ordres iinpairemcnt pairs : i4, 18, 18, 22, et par conséquent tous sont nuls, car, en les divisant par le discriminant qu'ils contiennent en facteur, l'ordre des quotients est inférieur à 18, qui est le plus petit degré possible d'un invariant gauche. On reconnaît ainsi, et avant tout calcul, que 51 est la somme de deux formes quadratiques à deux indéterminées, l'une en t et p, l'autre en u et w, de sorte que le mode de solution de l'équation 5t =: o, dont dépend essentiellement la réduction à la forme trinôme de l'équation en 5, se
présente de lui-même en égalant séparément à zéro ces deux formes.
Voici cette équation qu'on obtient par une méthode facile :
( [D,^«— eBD^t» — D(D| — ioAB)i^«]
