D[— Bm«-^ 2D1UW -+-(9BD — ioAD,)(v«] = o

D|, comme on l'a dit plus haut, est

a5AB-H 16C, et, en posant

D|^« — ôBD^t» — D(Di — ioAB)i^»=o, Btt»— îDittw — (9BD — ioAD,)w»=o,

on trouvera, si l'on écrit, pour abréger,

N = D} — ioABDi4-9B«D,

ces valeurs bien simples :

Aussi avais-jc pensé qu'elles étaient la conclusion définitive de ma méthode, lorsqu'un nouvel examen de l'équation (i) me fit apercevoir cet autre mode de solution où des invariants du huitième ordre seulement figurent sous les radicaux carrés. En l'écrivant ainsi :

D,(/»— Dp»-HiDtt(v — ioADtv»)-i-BD(ioAi^*— 6^p— «*«H-9Dw«) = o, 4)n la vérifie si l'on pose

ti — Dt^'-h iDuw — ioADtv*= o, 10 A p* — 6tv — u^-h gDw^= o.

Or, en faisant

ces équations deviennent

T«— V«-H4UW = o, — 5AV«-H 3v/DTV -h U»-H 10 AUVV -+-(25 A«— 9D)\V«= o. II. - II. a4

370 GEUVRES DE CHAnLES HERMITE.

La première est satisfaite par ces valeurs

où p reste arbitraire, et, en les substituant dans la seccfnde, il suffirai pour la vérifier également de prendre

pî=5A-H3v/D.

Deux voies s'ouvrent donc comme conséquence de ces deux modes de solution, pour achever la réduction à la forme trinomr en calculant et résolvant l'équation du troisième degré ÎB = o. Et. comme on ne peut voir d'avance aucun motif de préférer l'une à l'autre, toutes deux doivent être suivies afin d'en comparer les résultats, et reconnaître les irrationnalités qu'elles introduisent dans la formule de substitution. Mais, me sentant plutôt attiré vers la méthode de résolution de l'équation du cinquième degré à laquelle M. Kronecker a attaché son nom, j'ai préféré consacrer à l'approfondir le temps que ces calculs paraissent exiger. J'indiquerai cependant quelques cas particuliers où ils s'abrégeraient beaucoup, en supposant par exemple D|=:o ou B = o; car il suffirait de prendre, dans le premier,

et, dans le second.

Enfin, si Ton avait

t; = o, Il = 3v/D w,

t =±^Dvy w = o.

jA-f-3v/D = o,

ce qui rendrait illusoires les expressions de T et V, on de\rait

poser

U = o, T=-V, d'où

En in'arrétant donc à ce point, en ce qui concerne la premit rc méthode de résolution, je vais encore, avant de m'occuper de la méthode de M. Kronecker, déduire de ce qui précède la détermi-

ition, au moyen des invariants, du nombre des racines réelles ou aaginaires de l'équation du cinquième degré.

Les résultats obtenus dans l'étude des formes à deux indéterinées, indépendamment de leur intérêt propre, paraissent avoir >ur conséquence de donnera la théorie des équations algébriques ae base nouvelle, et je ne pense pas m'éloigner trop de l'objet "incipal de ces recherches en montrant de quelle manière les )uveaux éléments de l'Algèbre, invariants et covariants, s'introiisent dans les questions résolues pour la première fois par le léorème de Sturm. Maison verra leur rôle commencer seulement partir du cinquième degré, comme pour rendre manifeste, sous a nouveau point de vue, la profonde diflercnce qui sépare les juations des quatre premiers degrés, seules solubles par radicaux^ 3 celles des degrés supérieurs. Ainsi on a déjà remarqué que la ►rmule générale de transformation

, ___ /| z^iJT, i)-^/gyt(.r, i)h-... -+-/;,-! o„-|(a:, 1)

'a pas d'existence effective à l'égard des équations du troisième t du quatrième degré; mais, ces cas exceptés, je vais donner la éfinition des n — i covariants qui servent à la composer.

Je dis, en premier lieu, que toute forme du degré n admet un Dvariant quadratique du second ordre en supposant n impair, du •oisième pour /i = 4«-h2, et enfin du cinquième pour n = /ii-h8y e qui exclut le cas de /i = 4-

On a effectivement, pour les formes du deuxième et du troisième egré (a, 6, a'){x,y)'y {a, b, 6', a-)(ar, 7)», ces covariants

raa'-6»y(a,6,a')(a7,^)«,

x(6«-a6', bb'--aa\ b'^- a'b){x, y)\

'ordre 2/4-1 et 4'^-f- 2; on en conclut par la loi de réciprocité existence, pour les formes de degré 2/-}-i et 4^-1-2, de covaants quadratiques du deuxième et du troisième ordre. Pour le ernier cas, il est nécessaire de partir des formes du cinquième

372 QEUVRKS DE CHARLES HERIIITE.

degré, et je vais établir qu'elles ont un covariant quadratique d'ordre 4*4-8. J'opère à cet effet sur le covariant cubique et du troisième ordre, ayant pour expression canonique