t(X,Y) = v/Â(ii,v^,v/^,tx')(X,Y)S

avec le covariant linéaire et du cinquième ordre obtenu paragraphe III, savoir :

On parvient ainsi au covariant quadratique et du huitième ordre, savoir (') :

et il suffit de le multiplier par A' pour obtenir Tordre 4' -h 8, de sorte que l'on conclut, par la loi de réciprocité, comme précédemment, l'existence d'un covariant quadratique du cinquième ordre pour le degré 4^-1-8.

Ce résultat peut servir de base pour généraliser la notion des formes canoniques (^) telle qu'elle a été donnée au début de ces recherches; mais actuellement je me bornerai aux conséquences que voici :

Désignant par f (^,jk) le covariant quadratique auquel on vient de parvenir, j'observe quVn opérant sur la proposée avec o{x,y) on obtient un coNariant du degré n — 2 que je représenterai par ?« (vT, j'). Cela post'*, et eu recourant de nouveau au théorème dont il a été fait usage au paragraphe \ H, le système des n — i covariants du degré n — 2 |)ourra être défini par les coefficients des termes en $ et r, dans l'expression

^') Vn coefluienl numérique — 3 serait à rétablir devant l'expression qui suit.

^•^ On no pcuirrait plus, en considérant par exemple le septième degré, déter- »ninor les ooeflîcienls de la transformée ^ =:(X. a, v, v '% V '" "^ " I^» '^ )(^^ Y)" en fonoiion de XX' = c. u;x - A. vv := A cl /. Il serait nécessaire de joindre à ces quunlilo'i. V V , }i — ji . cl mémo X X qui s'expriment facilement par des invariants ^îrtuche*: par cela seul on peut juger quelle différence sépare le cinquième degré des dejsiv> supérieurs.

:V la vérité, et dès le cas de n=z j, ces covariants ne sont pas ceux qui ont été employés; mais ils présentent cet avantage d'avoir des transformées extrêmement simples, qu'on peut obtenir explicitement si l'on y fait la substitution propre à ramener o(^, y) à la forme monôme ^XXY. Et c'est ainsi qu'on peut démontrer qu'ils sont linéairement indépendants; mais j'arrive immédiatement, sans m'arréter à ce point, à mon principal objet, qui est d'obtenir, au moyen des invariants de la forme proposée /(ar, y)j le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation /(^, i) = o.

A cet effet je rappellerai le principe dû à Jacobi, qu'en réduisant à une somme de carrés, par une substitution réelle, la forme quadratique

où a, 6, . . ., A* sont les racines de l'équation proposée, le nombre des carrés affectés de coefficients négatifs est précisément égal au nombre des couples de racines imaginaires. Et, si l'on fait

7:0(0:), 1^1 (:r), ..., Tz,t i(x) étant des fonctions rationnelles quelconques de Xj le même fait a lieu à l'égard de la forme plus générale

n«(a)-+- IP(6)-^. . .-+- n«(/:).

Or, en prenant

U(a:)^to^ 71(370 '

tous les coefficients seront des invariants de f{x, y), et par conséquent, si on la réduit à une somme de carrés, ce seront bien des invariants dont les signes détermineront le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation /(x, i) = o. On peut encore

374 œUVRRS DE CHARLES HERMITE.

observer qu'en posant

on aura

nî(a)-H 11»(6)H-. . .-4- n*(A-)= n^J -H 4»»(a)-+- *»(6)-H. . .-+- 4>«(it},

•de sorte qu'il suffit d'opérer sur la forme quadratique à /i — 1

indéterminées

C'est ce que je vais faire dans le cas de l'équation du cinquième Mme degré, en supposant comme précédemment, pour obtenir la réduc^rc:^ ction à la forme trinôme,

, . t^ijx, i)-m?,(a:, i)-t-pya(ar, i)-t- wyUa-, 1) ce qui donnera

-DF=[D,<»— 6BD^i^— D(D, — ioAB)t'«|

•4- D[— Ba«-+- 2D,ttiv -f-(9BD — 10 AD, )«'«].

J'observerai d'abord que le discriminant désigné par D est le -^^^ produit des carrés des différences des racines, multiplié par le -s^^ facteur positif 5*, et l'on en conclut aisément que la seule condition -^ D<[o est nécessaire et suffisante pour que l'équation possède deux -^ racines imaginaires et trois réelles. Mais l'hypothèse D >► o convient aux deux autres cas de cinq racines réelles ou de quatre imaginaires, qu'il s'agit donc d'examiner.

Pour le premier, F doit se réduire à une somme de carrés tous affectés de coefficients positifs; ainsi il faut et il suffit que le* formes quadratiques

<I) D|/2— 6BD/P — D(D| — ioAB)i'«,

< II ) — B a« -h 2 D, aw -+- ( 9 BD — 1 o AD, ) cv«

soient définies et positives. Faisant donc, comme au para—

graphe VIII,