N = D] — 10 ABD,-+- 9B«D

on aura les criteria suivants :

Pour le second, deux des coefficients des carrés doivent être négatifs, ce qui est réalisé de deux manières différentes : d'abord par la condition unique N > o, car les formes (l) et (II) seront ainsi des différences de carrés, et ensuite en les supposant toutes deux définies, Vune étant positive et l'autre négative. Cela donne avec N <; o les conditions

Di>o, B>o,

ou bien celles-ci

c'est-à-dire simplement BD| > o.

On remarquera que parmi ces criteria ne figure point la combinaison

et le motif de cette exclusion est qu'on supposerait ainsi les formes (I) et (II) définies et négatives, c'est-à-dire F réductible à quatre carrés affectés de coefficients négatifs, ce que l'on reconnaît impossible d'après son origine même. Le Tableau suivant peut donc résumer nos conclusions :

N > o, une racine réelle, quatre imaginaires;

N < o, BDi>o, une racine réelle, quatre imaginaires;

N < o, BD, < o, cinq racines réelles.

Mais voici un autre système de criteria auquel va nous conduire la méthode suivante :

Supposant toujours le discriminant positif de manière à n'avoir à distinguer que deux cas, j'écris, comme au paragraphe VllI,

-DF = Di(/»— Dp»-+-2Dttw — loADw»)

-+-BD(ioAp» — 6/p — M»-h9Dtv»).

Cela posé, soit pour un instant

<f = <»— Dp*-+-2DMtv — loADw»,

d'où

^JP -+- a>:^= [f«— 6(ofp -+-(ioA(i) — D)i;«]

— [(ow* — lï^uw -h D(ioA — 9to)w*].

376 OEUVRES DE CIIAIILES IIERMITE.

On observera qu'on peut rendre un carré parfait chacune des deux formes quadratiques en t et i% // et (v, en posant

910* — loAo) -h D = o,

de sorte qu'en nommant wetco'les deux racines de cette équation, on aura

tf -hwl^ =(/— 3tof;«— to (u w\ ,

et, par conséquent,

-^ a>'-o, [«-3o,0'-a>(^«-->vj J.

Or voici les conséquences de cette nouvelle décomposition en carrés :

Supposons les racines w imaginaires, c'est-à-dire 25 A^ — 9D<o, on pourra évidemment poser, en désignant par T, U, V, W de.s fonctions linéaires réelles de /, «/, i', (v,

»""-niî(,3u.'..)'=(T+/^v)«,

tO M

,D,to-Hr)/ D \« ,. > -„.s

to — w \ ^^ /

de sorte que F dc\icndra

(T-^/:r7v)*-h(T-v/^^v)'-(L- -+-v/^^W)'— (u-v/^w)\ ou bien

Nous parvenons ainsi à deux carrés affectés de coefficients négatifs, et, par conséquent, quatre des racines de Téquation proposée sont imaginaires.

Soit, en second lieu, 25A^ — 9D>o; deux cas seront à disingucr, suivant que A sera positif ou négatif.

Dans le premier, les deux racines co sont positives, on est donc omme tout à l'heure conduit à deux carrés dont les coefficients ont négatifs. Et dans le second cas il en sera de même encore si

es quantités — î j—, —H sont de sienes contraires. Ur on

* tu — (I) (I) — 10 ^

rouve

(Di(o — BD)(D,(o'-BD)= -ND,

'où la condition

iN>o.

Enfin, en supposant IN < o, F se réduira à une somme de carrés, ont les coefficients auront tous le même signe, et par conséquent îront positifs, le cas ovi ils seraient négatifs devant être rejeté 3mme on Ta déjà vu. Les conclusions qui précèdent sont ainsi isumées :

25 A* — 9D < o, une racine réelle, quatre imaginaires;

25A' — 9D > o, A > o, une racine réelle, quatre imaginaires;

•.>,5A* — 9D>o, A < o, N > o, une racine réelle, quatre imaginaires;

25 A' — 9D > o, A < o, N < o, cinq racines réelles.

Elles s'accordent avec les résultats auxquels est parvenu M. Sylester dans le Mémoire déjà cité, et j'observerai, pour en faciliter 1 comparaison, qu'on a, entre A, B, C et les quantités désignées ar J, K, L, A dans ce Mémoire, les relations suivantes :