J = A, K= — B, 9L = G-+- AB, A = A»— 2»»L

Mais la marche que j'ai suivie ne saurait conduire à ce fait, si nportant et si nouveau en Algèbre, des criteria renfermant un iramètre variable entre certaines limites, et qui me paraît une îs plus belles découvertes du savant géomètre anglais. C'est dans le autre direction que je vais suivre encore ces questions intéssantes, en m'occupant du système des fonctions donl les signes rvenl à déterminer le nombre des racines réelles, comprises entre ;s limites données.

Après avoir remplacé par des invariants, dans les équations de degré supérieur au quatrième, les expressions données parie théorème de Sturm pour la détermination du nombre de leurs racines réelles et imaginaires, on est amené à se demander s'il n'y a pas, à partir du cinquième degré, une modification correspondante à découvrir dans le système des fonctions que ce théorème célèbre présente sous une seule et même forme analytique pour les équations de tous les degrés. On peut ainsi penser à retrouver leurs propriétés caractéristiques dans certains covariants, afin de les employer alors au même usage: mais ce sont des covariants doubles qui m'ont paru s'oilrir au moins de la manière la plus immédiate et la plus facile, comme je >ais le montrer.

Mon point de départ est dans une généralisation du système des fonctions

*|ue je vais d'abonl indiquer.

Kmplovanl a\ec M. Svl\ ester « * . afin dahréser. le svmbole

r <i. /* A' pour dé>ii:nor le produit de> carrê> des diiTérences

dos racines «i. /> X, je poserai

vV:!U^',

4e sorte que — ^ sera l'invariant de la forme quadratique

jb^x — a

De là on conclut déjà, d'après le principe de Jacobi (*), que le nombre des variations de la suite

est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises entre x et x', plus le nombre des couples de racines imaginaires. Cette dernière quantité se déterminant en faisant a: = j:', on voit que les nouvelles fonctions qui sont à deux variables remplissent le même objet que celles de Sturm. J'ajoute qu'elles ont absolument les mêmes propriétés et, bien que je n'aie pas à les employer ultérieurement, j'indiquerai, à cet égard, les propositions suivantes.

Soit

les coefficients A/, B/, . . . étant des polynômes entiers en x' du degré i, on aura, entre trois fonctions consécutives \*>/i, ^/, '^/+i, la relation suivante :

On voit ainsi qu'elles pourront de proche en proche s'obtenir toutes en partant des deux premières, \)q ou bien V qui est le premier membre de l'équation proposée, et V^i dont voici l'expression. Supposant que V soit donné par la fonction homogène f{x^y) pour ^ = I , on aura

* ~~ dx dy

en faisant de même^ = i .

C'est donc uniquement dans l'introduction de cette quantité

(*) Ueber einen algebraischen Fundamentalsatz und seine Anwendungen (Journal de Crelle, t. 53); voyez aussi une Note de M. Borchardt faisant suite à Tarticle de Jacobi.

38o OEUVRES DK CHARLES HERMITB.

à la place de la dérivée V| = ^^ que consiste la modification a|)-

portée aux fonctions du théorème de Sturm, et, pour bien en montrer Teffet, je vais employer succinctement le mode de démonstration de ce théorème fondé sur des considérations de continuité, en laissant fixe la quantité x^ et faisant croître ^ de ^o à X. Partant pour cela de l'équation

je remarque que, si x^ est en dehors de ces limites et supérieur a X par exemple, tj;, se comporte exactement comme la dérivée V|. D'ailleurs, quand une fonction intermédiaire quelconque t?, s'annule, ^'^/.i et \*>/^.i sont de signes contraires; donc l'excès du nombre des variations de la suile (2) pour x^=^x^y sur le nombre des variations pour j: = X, est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o, qui sont comprises entre x^ et X. En supposant x'<CXo^ on pourrait encore raisonner de même, mais en faisant décroître :r de X à Xq. Enfin, quand x' est compris entre Xo et X, on trouvera que l'excès du nombre des variations pour X = Xo sur le nombre des variations pour x = X représente le nombre des racines réelles comprises entre Xq et x\ moins le nombre des racines comprises entre x' et X, et ces résultats s'accordent évidemment avec l'énoncé donné plus haut. J'indiquerai, en second lieu, la relation

(■2) \^^-i = WA'^-U/V,

W| et U| étant des polynômes rationnels et entiers en j; et x'. Le premier W/ est l'invariant de la forme quadratique

de sorte que la suite des polynômes à deux variables I, W,, W,, ..., W„

donne par les variations, absolument comme la suite des fonctions V^i, le nombre des racines réelles comprises entre x et x', augmenté du nombre des couples de racines imaginaires. Pour avoir

ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 38l

Pexpression de L/, soit

et de même

et ainsi de suite. On trouvera ainsi

La loi de ces expressions est évidente, et, bien que dans l'équation (2) l'indice / ne doive pas surpasser n — i , on peut néanmoins les continuer jusqu'au terme U,, que l'on trouve aisément avoir pour valeur \'^| 'Ç,,. On obtiendrait de même d'ailleurs

W«=VW, doù \^,-Ki = o,

comme on pouvait effectivement s'y attendre. Mais c'est la relation

qu'on doit surtout remarquer; si, pour abréger, on représente par -T-' TT' • * ''^ les valeurs de la fonction V| pour j; = a, 6, ..., A*, de sorte que

±=(b-a)(b-c)...(b-fc), VU

on aura les expressions suivantes :

— ^^-2(73^ïï^

On voit assez, sans aller plus loin dans cette étude, rélroite liaison de ces nouvelles fonctions avec celles du théorème de Sturm dont elles reproduisent les propriétés analytiques. Elles servent ensuite de transition naturelle et facile pour arriver à celles dont je vais établir l'existence à partir du cinquième degré et qui sont des covariants doubles de la forme /(x, y)^ Téquation proposée étant /{Xj i)= o. Pour cela, il suffira de remplacer la forme quadratique

^ ^ ~" ^ ( /q -h q/t -4- g» f t -4- . . . -i- g* </)*, qui donne naissance aux fonctions \*>, par celle-ci :

j^ X — a y où Ton a, comme au paragraphe X,

Eu ellVt, les expressions -— rtant des covariants doubles, et

' X — ai-

les quantités ll(^) des invariants, tous les coefficients de cette forme seront des covarianls doubles en x et;»' d'une part, x^ et r' de Taulre, el auxcpiels on pourra donner /*(x,;»') pour dénoniinaleur coninuin. Mais je ne veux pas lu'étendre davantage sur ces questions i^êuérales, qui m'éloigneraieal de mon sujet; je m'abstiendrai même d'appliquer ce (|ui préi ède à l'équation du cinquième deg:ré. pour entrer immédiatement dans l'étude de la méthode de résolution par les fonction^ elli|>tiques dont M. Kronecker est l'auteur. Les recherches que je \ais exposer m'offriront d'ailleurs Toceasion de donner un svstème spécial au cinquième degré de ces covariants en x et r, x' et y' qui peuvent remplacer les fonctions de Sturm.

La transformation des fonctions elliptiques conduit à deux surles d'équations algébriques de la plus grande importance pour l'Algèbre et la théorie des nombres ; les unes sont entre les modules X

et /r, les autres entre le multiplicateur vr et le module. Ce sont ces

dernières qui ont été, au point de vue de la résolution de Téquation du cinquième degré, le sujet des beaux travaux de M. Kronecker et de M. Brioschi, et, comme les résultats obtenus par ces éminentsgéomètres me serviront de point de départ, je vais les rappeler succinctement.

D'après un théorème de Jacobi, démontré dans le n® 3 des Annali di Mathematica, t. I, année i858, p. 170, par M. Brioschi ('), on

sait que les racines de l'équation du sixième degré entre Tr-, = ^

et /r, savoir

/— sin am4t>> sin am8(o

va? = -r-

sin coam4(<> sin coamBo)

±. . ' . K ^ vK-hïK' .j ,

to étant successivement — et z pour v = o, i, 2, o, 4, s expriment de la manière suivante :

Désignons par ^x^ celle qui correspond à w = 1^ , ce qut

conduit naturellement à adopter la notation \/x^ pour la première qui est donnée en faisant w = ~; on aura

i /ï;;=Ao/5, i /x;= Ao-i-?»Ai-+-p'A,,

(1) « v^x^= Ao-h Aj-+- Aj, * v^= Ao-h p'Ai-+-p*Aj.

( v/ïï^= Ao-hpAi-+-p*A,, ( /j:^= Ao-f-p*Ai-+- pAj;

p étant une racine cinquième de l'unité. Ces expressions remar-

(*) Le P. Jouberl avait trouvé, de son côté, la même démonstration, en s*occupant de la formation des équations entre M et A' pour la transformation relative au cinquième, septième et onzième ordre {Comptes rendus, séance du 12 avril i858).

384 OEUVRES DE CHARLES IfBRMlTE.

quables n'appartiennent pas uniquement d'ailleurs à Téquation entre x qI k : elles se retrouvent à l'égard des racines des équations analogues (') que donne la théorie des fonctions elliptiques

entre l'inverse du multiplicateur x et les quantités «^^^ J^t»

xf ^ -h ^-^ ) > • • •• L'idée hardie, et qui devait être si féconde,

d'étudier en général toutes les équations du sixième degré dont les racines s'expriment de cette manière, quels que soient Aq, A|, Aa, revient en entier à M. Kronecker. Un premier résultat, obtenu mais non publié par le savant géomètre, a été donné par M. Brioschi à la page 25() des Annali di Matematica^ t. I, année ]858, et consiste dans la formation même de cette équation du sixième degré. Si l'on pose

A = AJ-hAjA,,

B = 8A5A,A,-2AîAÎA|-hA}Aî-Ao(Af-+.A}), C = 32oA5AÎA|— i6oAJA?A5-f-2oA5A}AJ-+-6AfA|

— 4Ao(3uAi — 2oAÎA,A,-+-3AJAÎ)(Aî-hAî)-+-A{0-^A}«,

elle aura cette forme remarquable (-) :

{x — K)^{x -5A)-+-ioB(ar — A)ï~-G(3r — A)-h iB^— AC = o.

In second résultat extrêmement important est dans rabaissement de cette équation au cinquième degré (^). Les expressions données par la formule

^y/S =(x,,— .rv)( Xv+i — Jrv-,)(a'v-+-î— ^v-î),

rintlicc V étant toujours un nombre entier pris suivant le module j, sont en effet les racines de l'équation suivante, où 5^11 représente

(') M. BuioscHi, Sul methodo di Kronecker per la risoluzione délie equazioni di quinto s^rado, Atti dcll' histituto Lombardo, l. I, i858, p. a-;.'), j; II, cl \i^ P. JornKHT, Comptes rendus, i. \LVII, i858, p. S'^i.

( • ) >[. KuoxKCKKu, i'eber die Gleichungen fiinften Grades {Journal de Creile. t. .V.J, année i8'>i).

{^) Lv ras particulier de IVquation M et k avait été pour la première (oi< obtenu par le P. Joubcrl {Comptes rendus, séance du la avril i858, l. XLVI,

le discriminani. (*) de la proposée, savoir :

r*-h 2oB^*-+- 10(98»— AC)^»-hiooB(9B»—AC)7*

-h-25(9B«— AG)»7 — /n = o.

Enfin cette réduite peut être simplifiée, et, en posant y/^ = 4x, M. Brioschi parvient ultérieurement à ce beau résultat (-) :

, 5B , 6(9B« — AG) i ,,r-

Il sert en effet d^orlginc à ces équations remarquables du cinquième degré dont les racines s'obtiennent sous forme explicite à l'aide des transcendantes elliptiques, et qui, à cet égard, oflrent deux cas principaux. Le premier s'obtient en posant

alors Téquation du sixième degré en x n'est autre que la relation entre le multiplicateur et le module considérée plus haut, et, comme

on l'a dit, on a

/- sin amo) sin am8(i>

yx = -: : •

sin coain4(i> sin cuamSbi

Quant à la réduite, elle a la forme trinôme