A:U-'«a: — 2 A:U'«(i — aA-î) = o
à laquelle j'ai eu pour but, dans la première partie de ces recherches, de ramener toute équation du cinquième degré. Le second cas s'obtient en posant
il conduit à la réduite
(') On trouve aisément, pour A = o,
n =(C3— i2»B^)'; et, pour B = o,
(') N<* 5 des Annali di Matematica, année i858, t. I, p. 836. H.— II.
386 oeuvaEs de charles iiermite.
ou plus simplement, en meltant jp au lieu de x,
x^—iox^-^i^x-hi- ^-jji = o,
et c'est à cette équation particulière que la méthode de M. Kronecker permet, comme on le verra bientôt, de ramener le cas général. Quant à l'équation en x du sixième degré, ses racines s'expriment de cette manière
— cosamaco cosain4(o
cosam4t>> cosani2(o
(ù étant toujours -r- et ^ ; nous avons ainsi les quantités pai^
lesquelles M. Kronecker est parvenu le premier à représenter cer
taines fonctions cycliques des racines de l'équation générale di^»> cinquième degré, et par conséquent les racines mêmes de cetl^^
équation. Mais je renonce à dire, en énumérantces divers résultats ^ 1
ce que je crois plus particulièrement appartenir au géomètre aile
mand et à M. Brioschi, plusieurs choses fondamentales me pa^
raissant avoir été simultanément découvertes par les deux auteurs
Je citerai surtout ce qui concerne les résolvantes de réquatioi=3 générale du cinquième degré, dont les racines ont la forme donnérrr"-"
par les équations (i). J'ai étudié avec admiration l'analyse donner
par M. Brioschi sur ce point si important, et elle me servira (h base pour les considérations que je vais exposer.
Désignons par ^v? l'indice étant un nombre entier pris suivant I<l " module 5, les racines de l'équation (a, (3, y, y', P', a')($, 1)'= o de manière à représenter par ces formules de M. Betti, savoir
OÙ rt, 6, c sont également des nombres entiers pris suivant U* module 5, les 120 permutations de ces racines. Elles se décomposent on ces deux groupes de 60 permutations conjuguées.
EQUATION DU CINQUIEUE DEGRE.
savoir
Ça«v-HA
Ç(ja«v-»-ft)>-+-r ( ?3a'v-H6 )
de sorte que toute fonction rationnelle des racines, invariable par les substitutions d'un de ces groupes, n'aura que deux valeurs distinctes, et s'exprimera rationnellement par les coefficients de la proposée et la racine carrée du discriminant. Considérant désormais comme quantité adjointe cette racine carrée, on pourra se borner aux substitutions (1), et les fonctions des racines dont nous allons surtout nous occuper, qui ont seulement six valeurs, seront caractérisées comme ne changeant pas par les substitutions Ças^*. Soient donc m = F(Ço) \\i $2> \zt 5i) une telle fonction et Un ce qu'elle devient en remplaçant $v par Ç3v»+/i7 les six valeurs qu'elle pourra prendre pour les 60 permutations (I) seront «/, Mq) W|, Wj, Mj, M4, et le système de ces quantités donne lieu à la remarque suivante. Convenant de représenter la première par m^, et les autres par //„, l'indice étant pris suivant le module 5, on vérifiera très facilement qu'aux substitutions
<A) correspondent ( ' )
iîv
Un Un-^l
Mais les substitutions (A) répétées donnent toutes celles des formules (I), et il est visible qu'en composant entre elles les subsli-
' Un
tutions (B), on trouvera pour résultat
t^nn^h r ^' *' ^' ^ ^^^^^
des entiers pris suivant le module 5 et tels que ad — bc est résidu quadratique. On voit donc que le groupe de l'équation en u, dans
(*) Par ui se trouve désigne m„> '*' étant un entier tel que nn'i^^i (inodô). n
le sens de Galois, est le même que celui de réquation modulaire du sixième degré; mais cette remarque, que j'avais indiquée ('), n'est qu'un premier pas vers un résultat beaucoup plus important donné aussi par M. Brioschi.
Supposons qu'au lieu d'être invariable par les substitutions 5a«v+ftj la fonction des racines que l'on vient de désigner par u soit cyclique, et change de signe quand on y remplace iv par Ç4V; on trouvera qu'aux deux premières substitutions (A.) correspondent
celles-ci : ] '* >> | '^ w et que le résultat de la troisième est
( Un-^l ) ( — "*n )
représenté ainsi :
j M. Mo Ui M, uz a^ /
j wo "oo — Mi «1 a, — u^ \
Cela posé, faisons dans les relations ( 1 ) du paragraphe précédeot
X0/5 = k^^ -+- ko-^ ki-h kf^ ki-h k^,
- Al v/5 = A:o-4- p*A:i-+- p»A:,-h p^k^-h pk^,
iA,/5 = /:o-4- pki -f.piX:,-+-p«A:,-hp*A:v,
p étant une racine cinquième de l'unité, satisfaisant à la condition
— /3"= p -hp*— p»— p', et elles deviendront
v/^« = X, \/5-^ko-^ kl -H /•, -+- A3 -h k^, /xo = /-« -r- Ao /5 — X j -f- A:, -h A-j — A-4, /ï7 = ^.o— Xo-+- ki yj'ù — A'i -H A-3 -h A:^. /r, = A-« -f- Ato — A'i H- A:t /j — Aj -h A:^, V'^ = A« -H A'o -h A'i — Aj 4- A-3 v/5 — A-4, V^ = A^ -- Ao -H A| -f- A, — A, -h A-4 /5.
Or, en représentant le système des quantités x et A: par x^ et A'^, rindice (lr\anl recevoir les valeurs oo, o, i, 2, 3, 4« on
(•) >'«/• /rt théorie des fonctions homo frênes à deux indéterminées {Cambridge and Dublin Mathcmatical Journal, aonéc i854). Hermite, Œuvres, 1. 1,
ÉQUATION DU CINQUlàMB DEGRÉ. 889
vérifie immédiatement qu'aux substitutions | " [, | respondent celles-ci | " U | " >, et enfin que la suivante
résultat
On voit donc qu'en posant kn=Un les substitutions élémentaires (A) effectuées sur les racines Çv ne feront que reproduire, sauf Tordre ou le signe, les quantités y/^î par conséquent il en est de même de toutes les substitutions (I), et les coefficients de l'équation du sixième degré en x sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée du cinquième degré, et de la racine carrée du discriminant.
La belle découverte de M. Kronecker est une conséquence immédiate de ce que l'on vient d'établir. Revenant en effet aux expressions désignées dans le paragraphe précédent par A, B, C, on voit qu'en disposant de la fonction cyclique u et du module, de manière à avoir
'^ = ^' ^="KFi' ^ = ^— FTT-' les si-K quantités y/x seront explicitement données par la ftrmule
cosamatD cosain4(i> cosain4o» cosamaco
A cet effet, soit pour un instant
la fonction cyclique choisie par le savant géomètre est celle-ci, où figurent deux indéterminées p et y, savoir
u= (oi2)-h(i23)-+-(234)-h(34o)4-(4oi) -(2io)-(32i)-(432)-(o43)-(io4).
Cela étant, la condition A = o détermine — par une équation du
second degré ; la relation
dont le premier membre dépend seulement de — > donne Xr^Ar'*;
ifi enfin la condition B = — Tirri achève de déterminer /:> et q. Voici
maintenant une remarque importante qui résulte de cette méthode.
On a vu tout à l'heure que l'équation du sixième degré
(,) (ar A)5(ar — 5A)-hioB(a: — A)»— C(a7 — A)-+-5B«— AC = o
était réductible au cinquième, la transformée obtenue par M. Brioschi ayant pour racines les expressions
où l'indice v prend les valeurs o, i , 2,3,4- H s'ensuit qu'en partant de Téqualion générale
el faisant A',/ = Un^ nous allons pouvoir revenir au cinquième degré en obtenant comme conséquence du passage par l'équation (i) ces résultats bien remarquables. En premier lieu la transformée en 5, savoir
ne contient |3as, comme on le voit, de puissances paires de Tinconnue. En second lieu, comme on l'a dit plus haut, dans le cas de A = I , B = o, C = — 'A^A'- A'-, et dans celui-ci : A = o,
13 = — ., , (^i=i'>,'* -j—r-^, y c est-a-dire, au tond, en suppo-
sant B = o ou A n^ o, celle transformée peut être résolue par le^ fondions ellipliques. On \oit donc combien il importe de recon-
ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. Sqi
fcmt-re de quelle manière dépendent les inconnues 3 et $; voici ^rini:Eie on y parvient.
Soit pour un instant
'^«^ trouvera immédiatement
^l Ton en conclura 5^ = eRST, e désignant un facteur numérique. De cette expression rationnelle par rapport aux diverses quantités A",,, on déduira ensuite une autre racine quelconque Zv? en
iîlTectuant la substitution J /* [-Ce résultat montre qu'en faisant
/„= ;/„, le produit RST, qui devient alors une fonction rationnelle des racines ç©» $«? S27 is? ^4? est symétrique par rapport à quatre d'entre elles, et peut s'exprimer rationnellement en Ç©? au moyen des coefficients de l'équation et de la racine carrée du discriminant.
Effectivement, la substitution j '* (j par laquelle -Sv se déduit
de ^Oî s'obtient comme on Ta vu dans le paragraphe précédent, en faisant sur les racines \ la permutation circulaire qui consiste à ajouter le nombre v aux indices. Cette propriété singulière et si remarquable du système des valeurs de la fonction cyclique désignée par w, se retrouverait encore dans le produit de ces trois facteurs où 0) est arbitraire, savoir
R = M«-T- Mo-T- ^(«2 -4- ^^3), S = ^^l -h U'^-\- {i}{u^— Mo), T = Ui — Ui-{-oi(ui — II,,),
Ainsi on reconnaît que les substitutions
donnent pour résultats
R, S, T ) ( R, S, T I I R, S, T -R, -S, Tj' 1 R, -S, -TÎ' (-T, R, -S
Mais, nous proposant d'approfondir cette nouvelle formule de transformation qui ramène à l'équation (2) l'équation générale du cinquième degré, nous supposerons toujours dans ce qui va suivre
Les recherches qui me restent à exposer dépendent principalement du choix de la fonction cyclique des racines Ço» Su is? Sa» i*? de l'équation générale
(ac,p,YaSPS«')(^, i)»=o,
que l'on a précédemment désignée par u. C'est de là en effet que se déduira la formule de transformation z = RST, 011 la nouvelle inconnue est une fonction rationnelle et entière de la racine Ç©? ^^ en prenant pour u un invariant par rapport aux racines, celte formule, comme celle dont j'ai d'abord fait usage, savoir
tOi(x, i)-+- M çj(ir, i)-f- p cpj(a-, i)-+- tvç4(:c, i)
conduira à une transformée dont les coefficients seront des invariants de la forme /= (a, j3, y, y', p', 0L')(x^yy, Les deux substitutions se ramènent en effet au même type, et chaque expression u donne naissance à des covariants cubiques tels que 0| (x, y), ?2(^? y)j • •' mais dont l'ordre est toujours un multiple de 4 augmenté de 3. J'ajouterai encore à ce rapprochement entre les deux méthodes de résolution de l'équallon du cinquième degré, en déduisant de la seconde les conditions de réalité des racines. Sous ce nouveau point de vue, on verra qu'il ne sera plus nécessaire de
ÉQUATION DU CIIfQUlKME DBGRÉ. SqS
recourir au principe de Jacobi, le caractère propre de la seconde méthode consistant en ce que Ton opère toujours directement sur les racines. C'est pourquoi nous aurons lieu d'employer, dans tout ce qui va suivre, une transformée canonique de la forme proposée, différente de celle qui a été considérée au début de ces recherches. Nous la définirons par une substitution linéaire qui donne pour
résultat
et de manière qu'aux racines Ço? ii? $2? $3» $4 correspondent respectivement les quantités i, e, o, 00, r,, en posant
Soit donc I = a'»6(Çoï $m $27 ^3? 5*) l'expression en Ç©) 5i? ••• d'un invariant dont l'ordre soit un nombre pair quelconque n; en désignant le coefficient de Çj dans B par 8(Ço7 iii $2» ^3? $4)1 on aura pour forme canonique
I=(5û)«e(l,6,0,Tl).
Je vais appliquer ce résultat à l'invariant du dix-huitième ordre K, dont je rappellerai d'abord l'expression en fonction des racines.
Soient à cet effet
F=(5o-5i)(Ço-Î4)(î,-5«)-t-(5o-Çî)(5o-Ç.)(5i-Ç4), o=(Ço-5i)(5o-Çî)(Î4-5a)-t-(?o-Ç3)($o-54)(5i-Çî), H=(Ço-îi)(5o-Ç.)(54-Ç«)H-(5o-«î)(Ço-5v)(Î3-5i),
et convenons de représenter par Fy, Gy, Hy ce que deviennent respectivement ces quantités, en ajoutant aux indices des racines, toujours pris suivant le module 5, le nombre v; on sait qu'en faisant
Xy = Fy Gy Hy
on aura, abstraction faite d'un facteur numérique, K = a«»XX,X,X5X4.
Cela étant, désignons par ^y, (Jy, 3Cy les formes canoniques des quinze facteurs Fy, Gy, Hy; elles s'exprimeront en s et 7| comme
394 OE u V R E s
DE CHARLES IIERMITE.
il suit :
rf = I — 2e-i-Erj,
Oe = I — 2r, H
,fi=2e — e«— r,,
^1 = 267)— eî— 71,
:je, = — e«H-7
^ï=E-+-TQ — eTi,
g, = £ - TT) -4- Er„
.fj=e-f-r)— I,
g4 = E — ^.ÊTjH-r,»,
:jek = — e -h 71
et, si Ton pose
la transformée canonique de l'Invariant du dix-huitième on K =(5û)»»a;-\m.\:jA:3A:.4.
Ces quantités F, G, H ont pour notre objet une grande tance, et tout à l'heure il sera nécessaire de connaître ce elle se permutent les unes dans les autres, lorsqu'on effc
substitution : / >• Or on trouve aisément ces résultats, sa ( ;3v> )
j G Gi G, G3 G; I
\ H Hi H, H3 H,
Ktîlalivemenl à la substitution • ' ;? on obliendrail
( H — Hj -H, -H, -H3 r
(__G -G, —G; —G, — Gaf
i II Hi H2 II3 H. I
( F F, F, Fi F3 r
ri par consécjucnt les expressions suivaiiles,
«GFFiF^FaF,. a^ H H, HoII, H;.
que Ton reconnaît immédiatement être des invariants, et qui sont aussi des fonctions cycliques des racines, se reproduiront Tune et
l'autre, changées de signe, lorsque Ton fera la substitution j ^ >•
Elles réunissent donc les conditions qui permettent de les employer à composer une fonction u contenant deux indéterminées; mais leur élude exige que l'on considère en même temps que F, G, H les quantités
/=(5»-îi)(Ç2-54), ^=($i-ÎO($«-$3), A=(Çi-b)(Î5-50.
En désignant par /vj ^v» fh ce qu'elles deviennent lorsque Ton ajoute V aux indices des racines, on trouve que la substitution
( opère les changemenls que voici :
\ S gz K hx gi
\^g g\ gt gi gi.
\ g ^i Ak /i hi
i^ h hi hi hz h^
\ h. /a gK gx /j
La substitution ] \ [ donne pour résultat
j / /i At A A
{ — h — /i, — /14 — /«i — hi
g g\ gt gz g\
— g — gt —g^ —g\ —gz
\ h hi ht hz hk
d'où l'on voit que, sauf certains changements de signe, les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, quand on efi'ectuc les mêmes permutations sur les racines de la proposée. Me bornant à remarquer en ce moment qu'en posant, pour abréger.
396 OEUVRES DE CHARLES HERlflTE.
on a les relations suivantes :
j'arrive immédiatement à l'étude de nos fonctions cycliques.
Soient à cet effet
U=a«FF,F,F5F^, V = a«HH,H,H3H4,
de sorte que l'on ait pour l'expression de u avec deux indéterminées ^ ^^
le système des six valeurs : w«, £/©, w^ W2, Ws, u^ s'obtiendra, d'après -^^ ce qui a été dit au paragraphe XIV, en effectuant sur la première, -^ )
qui représente w«, la substitution ] J U ce qui donnera ui en -*
prenant i= o, 1,2, 3, 4« On aura, d'après cela,
U«= a6FF,F,F,F4, V«= ««HHiHjHaH^,
Uo = — a«FH,GjG,H4, Vo = a^HGiFjFjGk,
Ui=-a«HF,H,G5G4, V, = a«GHiG,F,F4,
U, = -a*GH,F,H5G,, V, = a«FG,H,G,F„
U, = — a« GG, H, F3 H; , V3 = «8 FF, G, H, G„
U4 = — ««HGiGjHjF*. \i = «fiGFiFjGjH^;
or ces expressions donnent lieu aux transformations remarquables que voici :
U, = 4-a6F[A3Hî-4-(/i3 4-/^A)FH-+-(Aî-+-/^)W], Uo= + flc«F[/i»H«-(A»H-/^yi)FH-f-(A«-f-/^)«/],
U, =-a6H[^3G« + (^8^/^A)GH-4-(^«-+-//i)»/],
Uj =-+- a6 G[/3 F«-(/» 4- /^/i)FG -(/«-+- ^/0«/], U3=-a6G[/3F»-4-(/3-+-/r/i)FG-+-(/«-f-^A)«/],
el
( Vo=-+-a«H[/3F«H-(/»-4-/^/i)FH-(/«-t-^A)«/],
j V, =--a«G[/i»H« + (A»-i-/§'yi)GH-(yiî-f-/r)«/], ( V4=H-a6G[A3H«— (/l'H-Zç'AjGH— (/t«-h/^)«/],
V, = + a*F[^»G5-4-(^5-4-/§'/l)FG-(^«-+-//t)«/], V3=H-a«F[^»G«-(^'3+/^/,)FG-(^«-+-//0«/].
La démonstration est facile, comme on va voir; il suffit, en effet, <i'élablir la seule relation
U«= a«F[/i»H»H-(A»-H/^A)FH H-(/i«-H/^)»/],
pour en déduire toutes les autres. Or elle revient à cette égalité
FiF,F3F^=A»H«^(/i3-t-/rA)FH-+-(/i»-t-/r)*/,
que Ton vérifie immédiatement en employant les expressions suivantes :
F,F, = (?,-ÇOMI+(Ço-«i)(«o-«2)(A«+/^), F3F, = (Ç3-«OAH-i-(Ço-?3)(«o-Ç4)(A*-t-/r),
et observant que Ton a identiquement
(Ço-«i)(?o-«0(Ç3-?0+(Ço-Çj)Uo-ÎO(«i-«î) = (Ço-Çi)(«o-?0(Ç»-Sî)H-(Ço-$î)(Ço-Î3)(îi-Ç4)=F.
Quant aux produits F|F2, FsF4, je remarque qu'en multipliant le premier, par exemple, par ^^fif^i on obtient un invariant par rapport aux racines dont la forme canonique est
(5a)^ 7l(Ê — Tl)(2t — i* — Ti)(e-^-Ti — eTi). Voici d'ailleurs la forme canonique de la quantité
aVi/î[(?i-«î)^*H^(5o~Çi)(?o-î«)(^'-H/r)], savoir
de sorte qu'ayant
(ae — e»— Yi)(e -+- Ti — eTj = (e — i)if)î-T-(e3— 3e»-H e)Ti — e«(e — 2),
on établit par Tégalité des formes canoniques celle des expressions proposées elles-mêmes. Après avoir démontré la relation
nous en déduirons comme il suit toutes les autres. Soit pour un instant
nous obtiendrons d'abord U©, en efTec tuant sur les racines la substitution I .^ } qui laisse / invariable et donnera ( Çsv» )
Uo=*(F, -H,A,/i«+/^, /).
Maintenant, ajoutons aux indices les nombres i, 2, 3, 4} il viendra, en désignant par /,, I2J /s, l^ les valeurs correspondantes de/,
Ut = *( F„ - H„ A„ Aï -+-/, ^„ /i ), U,= 4>(F„ - H„ A„ /i|-+-/,^„ /,),
Effectuons ensuite dans chacune de ces égalités la substitution
>> on tirera les suivantes :
U3 = 4>(-H„ -G„ ^,, ^l-f- A4/;, hh
~ U4= *(- G,, F,, /s, fi^gtht, /,).
Enfin, dans chacune d'elles ajoutons aux indices des racines le nombre nécessaire pour ramener dans la fonction 4> les quantités F, G, H, et Ton obtiendra de cette manière
-U3 = *( G, F,/, /i + ^/,, /), U,= *(-II, -G, ^, ^î+V, /),
d'où Ton conclut, comme Ton voit, les résultats qui concernent les quantités U. A l'égard des quantités V, il suffira d'effectuer dans
ÉgUATlON DU CINQUIEME DEGRÉ. 399
les égaillés qui précèdent la substitution : ] U car IJ,, U,,, U,,
^27 t>3î 1 4 deviennent par là — V^, Vq, V2, V4, V^, V3, de sorte que Ton aura
-V« = *(-H, F, -/, /«-i-^A, /), Vo = 4>(-H,-F, -f^p^gh,l\
-V, =c|>(G, -H, /,, /i«-h/r, /), V, = *(-F, G, -g.gt^hf, /), V, = *(-F, -G, ^g^g^^hf,l\
-V4 = 4.( G, -H, -h,h^-^fg,l),
et toutes les relations données plus haut se trouvent ainsi démontrées.
La considération des quantités U et V ne suffit pas seule à Tobjet que nous avons en vue, et aux résultats précédents il est nécessaire de joindre ceux que nous allons tirer des fonctions cycliques du second ordre envisagées par M. Brioschi dans le beau et important travail déjà cité : Sul metodo di Kronecker per la risoluzione délie equazioni di quinto grado. Voici d'abord les valeurs de ces fonctions, ainsi que leurs formes canoniques en e et 7^ :
u.= aM$o-?r)^;i-Ç5)(?«-?0(?3-;0(?4— $o)=-i3û«e(i-e)(i-Ti;, Uo=a«(Ço-Ça)($3— î*)^5v— îi)($i — b)($i-?o) = -->.5û2£(7i -£), Ui = a'(5i-5v)($4-5o)($o-$i)($i— ?3)($s-?i) = '25aMe— rj(i-r,), u, = a*(Ç,-$o)($o-$i)(;i-b)(;3-$0(Ç4-çi) = 2'5a«r,(i-6), U3 = a«(5,-Î,)(5, — $,)($,— ?0(;v-?o)(îo—Çj) = '25û«er,( Y)- I), U4=a»(54-?i)(b-53)($3-$o)(îo-$i)(îi-?0 = --i-3û«Ti(e-7i)(£-i);
I îï.= a*(5o-Çi)(;î-ÇO($.-?i)($i-$3)(?3-îo)=25o«r.(r,-£), li»o=a«($o-ÇO($.-$î)(;î-?.)(?3-?i)(;i~$o) = 25a«r,(i-£)(i-T)), )l»,=a«(?i-$o)($o~$3)($3-Î4)(54-?î)(?t-?i)=-^5o«eTi(e-i), jp, = aî(Ç,-$0^^- $.)($.- ?o)(ço- $3)^3- Çi) = '25o«e(e-7))(7i-i),
U, = aV54-$3)(;3~îi)($i-et)(Î2-îoK?o-$v)=25o«e(i-7)). Cela posé, et au moyen des formes canoniques, on vérifiera immé-
400 OEUVRES DE CHARLES HBRlflTB.
diatement les relations suivantes, dont on verra bientôt l'importance, savoir :
j 2U,= -f-a»A(H-4- F), a»«=:H-a«/(H — F), l 2Uo = — aU(H— F), . 2i>o = — aV(H-HF),
1 2U,=-haV(0 — H), a»i = H-a«A(GH- H), \ 2Ui = — aV(GH-H), 2»4 = — a«A(G — H),
f au, = — a«/(F— G), 20, = — a«^(F H- G}, ! 2U5 = — aVCF -^G), 2tï, = -aV(F — G).
J'en déduirai d'abord l'expression des invariants du quatrième, du huitième et du douzième ordre, de la forme du cinquième degré, en fonction de F, G, H et/, g^ h. On trouve aisément, en effet,
ui-+- uj H- uf -t- uj -^- «î H- uj = — 25(25 A -+- 3 v/5D), »iH- oj -^- «? -H »ÎH- »î-h pj =— 25(25 A — 3 v/3D),
et, par conséquent,
a*[A«(F«-hHM-t-^«(H«-hG«)H-/«(G«-hF«)] = — 5o(25A-+-3/5D), a*[/s(F«-^ H* )-+. A»(H«H- G«)-*- ^«(G«H- F*)] =— 5o(25 A — S/SD),
d'où
a*[/*(2F'-r-Gî-HM-r-^«(2G*H-HS-KF»)-t-/l«^2H«-r-F*— G»)] = — 25ooA,
Considérions ensuite la somme des produits trois à trois, que l'on poul écrire de celle manière :
Klle e>l la mémo pour les deux groupes de quantités n el 0, et a
iH>ur valeur 4. ^*t —D, — AD). CVsl donc un des invariants du
dourième oi\tiv qui sVvanvmissent comme D,* lorsque la forme pn>pvosèe aJmol Jeux couples de racines doubles; je Fintroduirai
ÉQUATION DU CINQUiéllE DEGRÉ. 4oi
en le désignant par (D, de sorte que l'on aura
-L(jE) = l/i^îAï(G«-+-H»)(H«H-F«)(F«-t-G»)
-+- ^/*(F* — H*)* [^*{F* -^ G»)-+- /i«(G»H- H»)] -h^^HG»— F«)«[/!«(G«-+-H»)H-/«(H«-+-F»)] -f- ^ /i^ H« — G»)« [/«(H«H- F«)-f- ^»(F« -4- G«)].
Mais ces divers*îs expressions ne sont pas sous leur forme définitive ; obsédant en elïet que F, G, H n'y entrent que par leurs carrés, on pourra, au moyen des relations
G»-H>=4//, H«-F« = 4/^, F»- G^=ilh,
auxquelles je joindrai
les faire uniquement dépendre des quatre quantités F^, g, h et /. On trouvera ainsi
= fghl^^{g^h)ghl,
et la valeur de cO montre bien effectivement qu'il s'évanouit pour i=o et g = Oj c'est-à-dire lorsque doux couples de racines deviennent égales entre elles.
Les équations (i) peuvent aussi servir à démontrer immédiate- H. — IL 26
4oa (CUVRES DE CHARLES HERMITE.
ment ces identités remarquables données par M. Brioschi, savoir:
uo -+- Ui -t- «î -4- «3 -+- U4 = u«-t- 2I>«, M«— «i -+- «f -^ «j — «4 = «0 -*- 200,
««— Uo— Ut-4-Us-HU4= Ui-H 2O1, ««4- Uo — Ui — - Uj -h U4 = Ui -h 20,,
«••4- «0-t- «1 — u,— «4 x= «jH- atïs,
Mais nous les employons principalement à Tétude des nouvelles fonctions cycliques du sixième ordre formées en élevant u et p au cube, et que nous allons joindre à U et V.
Je montrerai en premier lieu que ces deux groupes de quantités U et B», de natures si différentes au premier abord, peuvent être compris dans la même forme algébrique. Pour cela, je remplace les carrés F=* et H^, dans Féquation
8iiî= 3t«A»(F'-+- 3F«H -H 3FH*-+- H»),
par H^ — 4 (^ c'^ F^ -+- 4 '^^ après avoir divisé par 4^ il viendra ainsi :
2ui=a«(A»F»-f-A»H»-^3^A»/F — 3^A»/H).
J'opère de même dans la relation
U.= at«[A'FHî-t-(A'-H/^A)FîH-^(A»-t-/§')*/F],
ce qui donne
l.= ï*[A»F»-hiA»-/A— /i»AH»
-+-^/*-t-2,/^A— /îA«— 6/A»— 3A*i/F — 4«/'A — 2/*A« — A^)/H].
On \oil donc que les deux fonctions cycliques du sixième ordre soûl comprises dan^ celle forme
çv/»A^F* — i^/.AtH»--=,,/,Ai/F~4rn/.A)/H,
5 cl i cUnl deux polynômes homogènes du troisième degré, 0| cl ^1 du quAlrième^ et il y aurait lieu sans doute d*en faire Tétude
EQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 4o3
en recherchani Texpressiou la plus générale de ces polynômes qui permette d'obtenir ainsi des fonctions cycliques. Mais, pour ne pas trop m'étendre, je me borne aux quantités U et «», et, observant (|ue l'expression
où fghl est proportionnel à la racine carrée du déterminant, est aussi du sixième ordre, j'envisagerai seulement lea expressions de cette forme
mU -f- /i«'-4-/^A/(fjLu -H vu),
où m, /i, [JL, V sont des constantes. Cela étant, je me suis arrêté à la combinaison suivante :
U — 2UΗ /§'/</(6m-4i>)= t),
d'où l'on tire
j t).= an-+-/^^H»-f-(/i-2/)^»A/H-t-/WF],
En opérant ensuite dans t) la substitution ] ^ (, j'en déduis ce second système, savoir :
( '<).= a«[-/^/iF«-4-(/-2yi)^«//F-AWH],
\\=an-^A^H»— (A — 2^)/«A/H-+.^WG],
%p,= a6[/^/,G»-t-(^- 2/)A«^/G -4-/WF], •v?3=a«[-+-/ç'AG3-(^-'A/)A«^/G-h/WF].
Maintenant je prendrai pour la fonction ii celte expression où figurent quatre constantes qui tout a l'heure se réduiront à deux seulement, savoir :
4o4 OEUVRES DE CHARLES HERMITB.
C'est dans cette détermination que se trouve le point le plus difficile et le plus important de mon travail, et elle ne pourra être justifiée que par les résultats qui en sont les conséquences, et que je vais exposer.
Je reviens maintenant, pour en effectuer la détermination, aux quantités précédemment désignées par R, S, T, et qui figurent dans la formule de transformation propre a la méthode de M. Kronecker, savoir ;
R = u^-\- Mo -^ lo ( wj -+- "3 ),
T = ui — Ui-h (i)(ui — ti^).
On se rappelle qu'on a posé o) = — ; faisant d'après cela, pour
abréger,
f = — i .jt/* F î — (/ « -4- a ^/i n ^ — A ) / -^ /s/» / ,
on IrouNora immédialiMnenl
' i:\ — v^s — w» v\ — i\ = — (.) i5 cbG,
f V i— V\ — w^V ,— \ ; — x^AbH,
V, — V't — tu V. — \\ = - x^i'gG.
Soil on >ov\Mul liou
ÉQUATION DU CINQUIBUE DEGRE. 4o5
et l'on aura de même
/ a/ç'A/ [««-+- Uo-+-u)(u, -4- Ua )] = -+- a«/t'F,
l '2/^A/[ui-+-«4-+-w(u«— «o)] = — a«A|ï'Il,
1 2/^A/[U3— Ui-+-U)(Ui— «4)] = — «Vlï'G, (2)
I2/^^^["«-+- ^0 -4- u)(i>t -+- «s)] = -+- u)a«/r F, ifghl\ Os — tïf -4- (li ( Oi — 1>4 )] = — u)a« ^0' G.
Or il résulte des équations (i) que p et/?' n'entreront dans R, S, T que par la combinaison tùp +/>', et des relations (2) que q et q' se réuniront dans l'expression analogue çr-f-coy'; posant, en conséquence,
w/?-4-/>'=p, ^-+-wy'=n,
on trouvera simplement
R = a6/F(pf-4-nr),
— S = a«AH(p|>-4-q|>')-
La formule de transformation z = RST peut donc être présentée comme le produit de ces deux facteurs, qui, l'un et l'autre, sont des invariants, savoir
oL^/ghFGU et a««(pf-4- ^ï')(pB 4- w')(p!l 4- qVh
Le premier, qu'on peut écrire ainsi
^. ..FGH ^, ^—aîFGH «•/^A^—p- = SV^D ^ — y
met immédiatement en évidence une fonction rationnelle de la racine Ço ; mais il reste encore à donner explicitement au second cette même forme, et c'est ce que je vais faire, après avoir ajouté
cette remarque, facile à vérifier, que la substitution J ^ i n'a
d'autre effet que d'y changer le signe du radical \/5.
Comme élément essentiel de l'importante transformation qu'il
4o6 OBUVRES DE CHARLES HERUITE.
s'agit d'opérer, j'introduirai l'expression suivante :
C'est un invariant, comme on le voit de suite, et de plus une fonction rationnelle de la racine Ç©? car le facteur a'(/ — g){g — h){h — /) représente l'invariant cubique de la forme du quatrième degré obtenu en divisant la proposée par Ç — Ç©- Désignant donc par Ao? A|, A21 ^3j ^vt les cinq déterminations qui correspondent ainsi aux racines ^o? ^19 ^39 ^39 \s^ on aura ces relations remarquables, savoir :
Xo-X,=-+.2a^(îo-5i)H,G3H,,
Xo-X, = -2aHÇo-?î)G,F3F,, Xo-X, = -2a^(îo-Çï)F,F,G,, Xo-Xv = -f.2«Kîo-5v;H,G,H,;
X,-X3=-2aK5i--$j)FG,F4, X,-X, = -îiaV($,-$OFF,G„ X,-X, = -2aHÇi-$v)GF,F„ X,-X, = -+- 2aV(5,- 53)GH,H„
X3-X, = 4-2aHb-îv)HG,H„ X,- X, = -+. 2ci^(Si- Ç,)HH,G,.
Pour les établir il suffit, par exemple, de démontrer celles-ci :
Xo-Xi = -f.2aV(Ço-$i)H,G,H4, Xo-X, = -2a^(?o-Çî)GiF3F„
les autres s'en déduisant par une simple permutation cyclique des rarincs: or ellos se vérifient au moyen des formes canoniques en i el r, des faeleurs de Tinvarianl du dix-huitième ordre et des quanlilés A elles-mêmes, lionl vt>iei le Tableau complet :
Xo — ( 5 a )^ (^ I — £ ^ ( I — T, ) ( î -r- T, > ( E — -2 T< ) (^ '2 £ — T, ),
Al = V *> tt)^ £ n — £ M £ - T, ) M -h T, ) ( I — •2r, ) (r^ — 2 ), Àj = (^ )a)^eTj(£ -i- T, — -2^1 £ — ir^ -r-\){r^ — '^.e -+- i), À., = l Jû^^(£ -T-T^ — •2£r,),^£ — >.r, -^tr,)yr, — •2e-r-£rJ, Xv = i^5û)^r,i^l -- rJi^T, — £Ui-+- £)( I — 2e) (£ — 2).
Cela posé, el en se rap|)eianl que l'on a désigné par K l'invarianl
du ili\-luiiliriue ordre, on lire ties premières multipliées membre
à membre
. , . . « . it>/K
OU birn
ÉQUATION DU CINQUIEME DEGRÉ. ioy
en faisant, pour abréger,
n(X)=(X-Xo)(X-.x,)(X-x,)(X-x,)(x-xo,
et, par suite,
pour les diverses valeurs de l'indice. C'est ce qui va permettre d'établir la proposition suivante :
Tout invariant donné sous forme de fonction entière des racines, symétrique par rapport à Ç|, ^2? ^s? ^4 ^^ dont le degré en Ço est multiple de 4, s^ exprime par
Lo-+- XoL, -h XJ L,-4- X J L3-4- X J L4,
les coefficients L|, L2, ... étant des fonctions entières des invariants fondamentaux A, B, C.
Soient en effet, pour un instant, 8oj ^i? • • • les cinq valeurs de cette fonction; j'observe que le polynôme du quatrième degré en X
qui se réduit à 80? ^m •• m pour X = Xo, X=X|, ..., peut, d'après la valeur de n'(Xv), s'écrire ainsi :
'"" i6KjL.
«îFvGvHvev D(X)
flt /v X — Au
Or a/v étant la dérivée du premier membre de l'équation proposée pour Ç = $V7 on sait par un théorème élémentaire que 16 K6 s'exprimera en fonction entière des coefficients de cette équation.
D'ailleurs les quantités By et ^ / ^ sont des invariants, donc il
en est de même des coefficients des puissances de X. Or, d'après la supposition faite sur le degré de By, leur ordre sera ^o, mod4 ; ainsi ils seront tous le produit de K par une fonction entière de A, B, C, rinvariant du dix-huitième ordre disparaissant ainsi comme facteur commun, et l'on en conclut relativement à 6 la proposition annoncée.
4o8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Je vais l'appliquer à l'expression
«"(pt-t-nr)(pn-w')(P^-i-q^').
préalablement mise sous la forme
où 0 et %' restent invariables quand on fait la substitution | ^ |;
mais, avant de commencer le calcul, j'ajouterai quelques remarques sur le système des quantités \.
Je considère à cet effet la combinaison suivante :
(lï«Do-+-Dilïv--t>tlï,)— (U«ll0-+-«l«4— «î«s);
en employant les relations (i) du paragraphe XVII, on trouvera qu'elle devient
ou encore
et, par suite, que sa valeur est Xq. En partant de là et effectuant sur les racines $(,, Ç,, ... une permutation cyclique, on en conclut cet ensemble de relations, savoir :
>'0 = (OaoUo-l-»lOv— »ï»j) — (U„Uo-+-UiU;— UjUa), Xi=(0«oOiH-Oîtio— OaOv)— (U«Ui-+-«,Uo— U3UO,
^J = (U«t)2-+- Oj»! — »;»o) — (U.Uî-+- U3«l— U;Uo), >^3 = (U«»3-^»V»2— »0»l) — (WaoWj-+-«4«î— WoUi), ^ V = (»»f V -+- J^O f 3 — ïïl Jïî ) — (W« WV -+- «0U3 — «l «2 )•
Or, en faisant usage de nouveau des relations (i), on voit que Ton pourra exprimer les seconds membres au moyen de F, G, H
et y, g^ A. Ainsi, nous avons déjà
et, en faisant, pour abréger,
*(^i^ï 5) = — /*a?* — ^*^*— h^z'^-\'if yz-^-^^ zx-^7.h'opy^
on parviendra à ces expressions fort simples :
On en tire ensuite les relations suivantes
X, — X4= a* F(^'H -+- A'G), X,--Xt = a* F(^'H - A'G), X,— X3=a*G(A'F-+./'H), X, — Xv= aVG(A' F -/H),
et par conséquent, en employant les expressions précédemment obtenues pour les différences des quantités X,
îi(Ç4-S«)F,G, = ^'H4./i'G, îà(Ç,-$,)G,F,= ^'H-A'G, a(5,-b)H,H4=A'F-4-/'H, 2($,- 5,)F,F, = AT -/'H,
îï(5.-5i)H,Gv = /'Gh-^'F, 2(Î4-Ç,)GiH, = /'G-^F.
Ces dernières équations multipliées entre elles conduisent à cette valeur de l'invariant du dix-huitième ordre, savoir :
— 64/rAK = a»8FGH(^»H«-A'«G«)(A'*F«~/'*H*)(/'»G«— ^'«F»).
Nous parviendrons à l'égard de la même quantité à un autre résultat en considérant les différences X© — Â| , X© — Xa, . . ., et employant l'équation
(Xo-X,)(Xo-X,)(Xo-X,)(Xo-XO =
a»FGH'
on trouve, en effet, après quelques réductions faciles, qu'en faisant pour un instant
*i(ar, y,z)^f(x'^ — yz)-^ g\y\^zx)^ h\z^'-xy)y
4tO CCrVBES DE CBABLES BBEHITE.
on a
7(À* — X,)=«**,fF, G, Hi, 7r Àt— Xj) = a* ♦, « F, — G, H », 2rA.— X^) = ii*,f— F. G, H^
On en conclut par conséquent, en multipliant membre à membre,
/K = a«»FGH[/'< F«— GH>h- ^(G«— HF>-r- A'< H«— FG)] X [fi F«- GH )-»- ^'« G«— HF)^ A'f H«— FG)] x[/7F«-vGH;-+-^'(G*— HF»-^A'(H«-uFG)] x[/'(F«-GH)^>^^G«-+-HF>-i-A'(H«-»-FG)].
Enfin, nous joindrons à ces expressions celle du carré de Tinvariant du dix-huitième ordre, sous celte forme, savoir
K»=»:aï»F«G«H«[/^r/— ^)Fs — /'«/][/A(/— A)F«-<-/'«/] x(^A(^-A)G«-^«/]rA(^-/)G«-+.^'«/] x[A/rA— /)H«— A'«/J[^A(A-^)H«-+- A'«/].
Elle se tire de la relation K*= U.Lo, L i U4, UjUj, en employant les égalités
U.U«= a'» Fî[ A/rA -/)H«— A'«/][^A( A — ^)H«-h A'»/],
U,U,= a"GM/?r(/-^)F*-/«/][/A(/-A)F«^/'«/], U,L\=aitHî[/rAr^-A)G«-/r'»/l[/4r(^-/)G»-h^'«/],
qu'il est aisé de vérifier. J'indique ces résultats, bien que je n'aie pas à en faire usage plus lard, pour montrer dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré le rôle des deux groupes de quantités F, G, H et/, g, A, qui servent de base au calcul suivant.
Un premier point à établir avant de mettre sous forme d'un polynôme entier en Ao l'expression
(pf-hqf')(p0-4-q0')(pt-r-qlï')
est de montrer que la partie multipliée par le radical y/5, et qui seule, comme on l'a remarqué plus haut, change de signe par la
EQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 4ll
substitution | ^ U contient dans tous ses termes le {RCteur/ghl,
Or en faisant, par exemple, /=o, et par suite g = — //, on trouvera
PB -i- qu ' = — P A » / ( i -+- V^ ) ,
d'où
(Pf-+- qn(P0 -\- qu'XPiï -^ q!ï') = - 8p« A8/»[p(F«— uA/)- qA/],
et l'on verrait que le radical y/5 disparaît pareillement lorsque Ton suppose «^ = o, A = o et / = o. On peut donc écrire
a"(pf -+- qf'Xpiï -f- q0')(plï -h qU') = 0 -i- a^fghl%\
où B et 6' seront invariables par la substitution ] ^ : , qui change
de signe le produit fghl^ et par suite symétriques par rapport aux quatre racines Ç|, Ça? vij $4- Ces quantités, qui sont des invariants, réunissent donc les conditions du théorème donné au paragraphe XX, et, comme elles sont du douzième et du huitième ordre, on est assuré de pouvoir les mettre sous la forme de polynômes en Xo du troisième et du second degré. Faisant ainsi
(0 eH-a*/^A/e'=LoH-XoLiH-XjLî-f-XJL,,
les coefficients Lq, L|, Lj, L3 seront respectivement d'ordre 12, 8, 4 et o, el s'exprimeront au moyen des invariants fondamentaux et de la racine carrée du discriminant par ces formules, où je pose
afin de simplifier quelques expressions, savoir :
Lj = Go-i» -h tu v^ A,
Li = cX*-i- c'a -f- uJUv^A,
a. G, ... étant des constantes numériques qu'il s'agit maintenant de déterminer.
A cet effet, j'observe que le premier membre de l'équation (i)
4l2 OEUVRES DE CHARLES IIERIIITE.
peut être mis sous la forme d'une fonction homogène de F- et /, dont les coefficients contiendront seulement g et A, car il suffira d'y remplacer G^ et H^ par F^ — 4 'A, F* -H 4'^» puîs d'éliminer/ au moyen de la relation y-1-^4- A = o. D'ailleurs le second membre est immédiatement de cette même forme, en vertu des expressions des invariants fondamentaux obtenus au paragraphe XVII, et de la valeur
Cela étant, je dis que dans les deux membres les coefficients des diverses puissances de F* sont Identiquement les mêmes ; car autrement on aurait entre F^ et / une équation homogène qui
pourrait donner -y- exprimé en g et A, c'est-à-dire une fonction
de la racine $0) et par conséquent cette racine elle-même exprimée au moyen des quatre autres, puisque ^ et A ne contiennent pas Ço« On voit donc qu'il suffira de calculer ces coefficients des diverses puissances de F pour arriver par l'identification aux valeurs des constantes a, 6, .... En supposant A = i , et n'ayant pas égard aux puissances de g supérieures à la seconde, ce qui rend les opérations faciles, on pourra ainsi les obtenir toutes, à l'exception de p', facteur d'un polynôme en g commençant par le terme g^. Mais, afin de simplifier encore, je vais, en considérant le cas particulier de/= o, établir a priori que l'on a c = o, ^ = o. Cette supposition donne, en efiet,
(D = ai«/i8/«(F«— 4/1/), Xo = — 2a*/i»/,
et tout à riieure on a obtenu
(pf-f-qr)(p0-+-q0')(pl,-hql|') = — 8pî/|8/t[p(F«— 2A/)— qA/ . L'identité qui en résulte, savoir :
— Sa/iî'/^^ 86/i8/«(F2— 3/1/)
— 8c/i"/(F«— 3A/)2— 8D/i«(F«— 3/iO'H-^'/t*^'(F*— 4^*0
conduit immédiateiTient aux résultats annoncés.
Sans entrer maintenant dans tous les détails du calcul, j*en rapporterai les éléments principaux, qui seront d'abord les expressions suivantes, où l'on n'a gardé que la première puissance et le carré de g^ en supposant, pour simplifier, a = i,A = i,/^=i, savoir :
XJ = 8-h36^-+-i8^«,
t£) = ^»F«— 4^»F*-4-( I -h 4/r -+- '•^/Ç'*) F*-+- 2^ -h 4^«, .l,îv/Â= — (4/r-t-i2^*)F*-+.(8^-+.i2^«)Fî-4/r,
En second lieu, si l'on fait
(pf -h (\i'){n -H ^%')(V^ -+- <l!l')= LF^-»- MF* -h NF«-h P, on aura
N =— 8p»- i6p'(2 —/S)g - 8[(i I - 3 v/5)p' -t- 8pîq — 2 pq«]^«,
P =i6p»— 8p»q-t-4[i4p' — (9-+-5/5)p*q-i-2/5pq«]^
-h8[(ih-4\/5)p»4-(2 — iov/5)p«(|— (5— 4/5)pq«-i-q»]^*.
Cela posé, on obtient sans peine :
a ^-jtif^— ptq, lit = /5(— 2p»-+- 5p*(| — 2PH*),
6 = o, li = o,
c' = 46p'— i5p*q — I2pq*-+- 4<l', p = i/5p'.
;)' = — 4p3^32p»n — 8pq«, ;)' = -8p»,
La constante p' reste donc seule à déterminer; je considérerai pour l'obtenir le cas particulier de ^ = i , A = i , ce qui donnera^
4t4 oevvnEs de Charles hermite.
en supposant toujours a = i , / = i ,
(ô =4F«H-4iF»,
Ao = o;
on aura d^aiJIeurs
x[p(4Fî-t-7-+-V^)~2i|(3-^5)]
et le terme indépendant de F^ suffit pour donner immédiatemcol
p' = /5(— 44P'-H I i5p«q — 42pq>-t- 4q*)-
Les éléments de la nouvelle formule de transformation de l'équation du cinquième deçré, à laquelle conduit la méthode de r^olution de M. Kronecker, sont donc maintenant complètement obtenus, et Ton a mis en évidence le mode d'expression de celle formule comme fonction rationnelle et entière de la racine iof^^ qui est un des résultats auxquels je désirais surtout parvenir. On observera que les valeurs de a, G, ... prennent une forme un peu plus simple par le changement de q en q -h ap; on trouve alors en effet :
a =— pîq. m =— /5(3p»q-T-2pq«),
*:'= — i5p2q-hi-2pq*-T-4q', P =2/5p»,
^'=--28p'-8pq«, />'=v/5(5op»~5p»q~i8pq«-i-4i|';,
<\oii Ton conclut
= p»(— 8 i> — •iStl.A^j^.-l.îvT— îovT»)— p*q(Xo-r-/3Â)' — apq^i XJ V TA — 6X,, A — i A A -+- 9v'TÂ^W U^{K^ H- /ÏÂ^!'.
<'l c'est en multipliant ce résultat par :L*/ghFGïl que s'obtient en rrsumé la valeur de w. Or on va voir qu'on est ainsi ramené au type
KQUATION DU CINQUIKAIE DEGRÉ. 4l5
de substitution donné par la formule
to'iix, i)-h uot(x, i)-+- 1' 9,(rr, 0-4- w o^(x, i)
que j'ai employée au commencement de mon travail.
Après avoir été précédemment conduit à exprimer en fonction des racines les invariants des formes du cinquième degré, nous allons d'une manière analogue définir quatre covariants cubiques d'ordre 3, 7, 11, i5 qui s'offrent d'eux-mêmes dans la nouvelle formule de transformation à laquelle nous venons de parvenir. N'ayant d'autre but en ce moment que de rattacher à un point de vue commun les deux méthodes de résolution que j'ai étudiées, je ne chercherai pas à étendre au delà de mon objet des considérations qu'il serait peut-être intéressant de généraliser, et je me bornerai aux résultats suivants.
J'observe que, l'expression a'FGHX'J étant symétrique par rapport à Çj, $2) $37 $i> on pourra écrire
les coefficients N, A, . . . étant des fonctions entières de ceux de la forme proposée /(a:, j) = ( a, p, y, y', ?S ^')(^> J^)'* C'est ce que l'on reconnaît par l'égalité
qui a lieu quel que soit Ç, et d'où l'on tire pour le coefficient de Ç* cette valeur
ou, plus simplement.
4l6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Or on a déjà remarqué, paragraphe XX, que la quantité — -. — -
est, par rapport aux racines, un invariant comme Xv Ce coefficient N se distingue donc de tous les autres en ce qu'il est un im-ariant dont Tordre est 4^-1-2, de sorte qu'il s'évanouit en supposant n inférieur à 4- Cela étant, je dis que
est un co variant de la forme du cinquième degré, et je l'établirai en cherchant ce que devient l'égalité
a»FGHXS=A$î-4-3B{î-h3B'$o-HA'
appliquée à la transformée F(X, Y)=:/(/nX + m' Y, /iX -h /l'Y). Faisant à cet eflet o = m/i' — m'/i, et remarquant que les racines
de l'équation F(X, i)=o sont les quantités — ^ — r-, on trouve que le premier membre devient
»'FGHX; ^..,
Si Ton désigne par 51, B, . . , les valeurs de A, B, . . ., lorsque l'on y remplace x, 3, ... parles coeilicients de la transformée F(X,Y), on aura
et, par conséquent,
C-ette ôiialilô, ayant lieu en substituant à i^ Tune quelconque des racines, est identique }Kir rap|x»rt à cette quantité, et Ton voit facilement qu'on faisant
ou on conclut
. Vr- -^-UVrV - .Brvî-^A H t'''*«= 3Xî — 3BXîY^3B'XY»-ha'Y',
de sorte qu'aux valeurs n = o, i, 2, 3 correspondent bien, comme on l'a annoncé, quatre covariants cubiques d'ordre 3, 7, 11, i5. Cela posé, et en les désignant pour un instant par Ço(^j J^)« ?i{^^y)j ?2{^^y)y ?3(^,r)> j« reviens à la formule (I) 3 = a6/^AFGH(Lo-+-XoL,-hXJL,-+.X5L5),
où l'on a, d'après les valeurs de a, P, . . .,
L, = — /5Â( 3 p* q -h -2 pn* »,
L, = — A(i5p*q — iapq*— 4<l'),
Lo= *.l>A(9.8p'— Spq*)— 8(0pî
-+-/5Â[2(vl.«p3H- A(5op3— 5p*q — i8pq*-4-4q»)].
Or, en multipliant et divisant par a/=/ç($o, i), elle prend cette forme
et c'est le type de substitution que je voulais mettre en évidence, les indéterminées ^, m, ç, w étant remplacées par Lo, L|, L2, Lj. De plus, on reconnaît que les covariants yo(^) x)> ?i(^jJK) sont précisément ceux du troisième et du septième ordre dont j'ai fait usage, et la relation
?i(5o, i)=a»FGHXo
donne même une démonstration nouvelle de ce fait, établi au paragraphe VII, qu'on a ^^(lo, i)=o lorsque Ço est une racine double (*). Mais je remarque surtout cette conséquence que l'équation transformée en z étant (§ XII)
, 5B , 5(qBî— AG) 1 5/ir
les valeurs en p et q de /, m, ^, w, savoir : / = Lo, a= L ,
(*) A l'égard des formes du troisième et du quatrième degré /(a:, ^), le covariant quadratique ou Hessien, quand on y fait x = Ç^, ^ = i, a pour valeur le carré /b(^o» ') ^^ ^^ covarianl du troisième ordre le cube de la même quantité.
4l8 UEUVRES DE CHARLES HERVITE.
font disparaître le coefficient de z^, propriété bien remarquable de la forme cubique en t, w, v, w qui représente ce coefficient.
Un autre point de vue sous lequel on peut encore envisager la formule (i) résulte de Téquation
établie au paragraphe XIX, car elle conduit à cette expression où n'enlre plus que la quantité Xo, savoir
n'(Xo)
L'équation proposée /(x, i)=o disparaît donc pour faire place à celle-ci : n(X)=o, qui est directement ramenée à l'équation (2). Ce résultat obtenu, il ne reste plus, pour arriver à la résolution par les fonctions elliptiques, qu'à calculer l'expression de la quantité A, afin de déterminer par l'équation A = o le rapport -•
J'ai indiqué au paragraphe XII par quelle voie M. Brioschi avait été conduit à l'équation en z. et je rappelle succinctement qu'en désignant par m. une fonction cyclique des i-acines de l'équation générale du cinquième degré /(;, 1^=0, qui change de signe par
la substitution l^ -, et nommant m/ ce que devient w. par la sub-
stitution l [, l'expression suivante, où e est numérique, savoir
5 = £ [W.— I/o— CO^M,-^ Ui)] X [ M| — ti'^ -H Cu< M. — U^ 1] X [Mj— Mj-H W( //i — l/i »],
satisfait à l'équation
B , i,i)B2— VC. I i-
los quantités A, B, C et II s'exprimant rationnellement par les
ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRé. 4l9
coefficients et la racine carrée du déterminant de la proposée. C'est dans le cas particulier de A := o que cette équation est immédiatement résolue par les fonctions elliptiques, et l'on a trouvé qu'en faisant
Ao v/5 = tt^ v^5 -+- 1*0 -h Ml -I- Mj -H tta -h Wvî
- A1/5 = lio-h p*tti-+-p'ai4- p*tt3-i- pu^, -Aiv^ = iio-H P"i -h p*Mj-4-p'ii8-4- p^Mv,
où p est une racine cinquième de l'unité, donnant
/5 = p«-+-p»— p - pv,
on avait
A = AJ-4- A, Aj.
Cela posé, voici comment s'obtient cette quantité si importante lorsque l'on prend pour u l'expression dont j'ai fait usage
On a vu que les quatre indéterminées />,/>', qr, q' se réduisaient, dans la valeur de z, aux deux suivantes
de sorte que l'on peut supposer /? = o, q' =0^ ce qui donne plus simplement
ou encore, en changeant q en q 4- 2p, comme au paragraphe XXI, M = p%? -h 2a*/^/i/(q -4- 2p)u.
Or, on a pour les six valeurs de ^ et U ces expressions •<?^=OL^[-fghF^-\-{f—ih)g^fl¥ — AWH], 2U.=-f.a»A(F -h H ),
x?, = a6[-+-/^/iH3-(A--2^)/«A/H-^WGJ, 2U, =- a«^(H -G),
t?,= a«[H-/^AH3-(/i-.2^)/«A/H-h^^/G], 2U,=- a«^(H -+- G),
•^^^^0L^[--fghG^-^{g—'xf)h^glG-^fH¥], 2«,=-at/(F-G),
%?,= a«[-+-/^/iG3-(^-2/)Aï^/G-h/WF], 2U,=— a»/(F-hG).
4tM> OEUVRES DE CHARLES HERIIITB.
Elles montrent qu'en supposant G ^ o on a
et, par conséquent, i/, == «4, 1/2=1/3, de sorte que Téquation A = o devient alors une somme de deux carrés, savoir
y ^^"^^ -+-Ui-i-W,j -i-[ll«H-(p-l-p*)«*l-«-(P*-«-p')"î]' = Oi
ou encore, en faisant toujours co = 9
(-=-^ --hisiUtj -!-(MiH CDJ =0.
Mais rhjpothèse G = o re>'ient à supposer nul l'invariant du diihuitième ordre, ou bien à établir entre les invariants fondamenlaui de la forme du cinquième degré une relation du trente-sixième ordre, et, comme la quantité qu'il s'agit d'obtenir est seulementdu douzième, celle relation ne pourra la modifier en rien, et c'est en me plaçant dans ce cas particulier que je vais en faire le calcul. J'observe d'abord que les égalités
donnant pour G := o : H- = — 4 if, F-=4/^« il suffit, pour obtenir les invariants, d'employer celle valeur de F- dans les expressions du para«;raphe X\ II. Mais on peut éviter ce calcul, car les invariants, fonctions symélriques des racines, ne changent pas
de valeur en etlectuant la substitution suivante : . ]^ ' qui
change F, G, H,/, g. h en G, — H, — F, g^ A, /; ainsi Ton a, par exemple.
Or celte dernière expression donne immédiatement
et Ton aurait de même
i^=— 2V(^-/)(^'-«-3A»/-+-8A*/*-+-ïi^V-«-8^V*-^3A/»-h/«)/».
Cela posé, en faisant (o'= — -y on trouve pour G = o,
après quelques réductions faciles,
et il vient, pour la somme des carrés, après avoir remplacé F^ et H* par ^Ih et — 4'^»
Soit donc, en me bornant au coefficient de p*, 4aiî(/— ^a))*(/8a)«-.A»t.>'«)//i/»
On trouvera d'abord a = o, en supposant /= o, et, après avoir supprimé le facteur /A, il suffira de faire/= A, /= — A, /^ o, et enfin de comparer dans les deux membres les termes en /'•A, pour obtenir bien facilement
Le calcul des deux autres coefficients est plus facile encore, et l'on obtient en définitive l'équation
l3(ô-h2^liA — ' lp«
— 4(*^-«-v/53^)AW--a(X — 3/5Â)Ah«=o.
Ce résultat complète l'étude que je me suis proposé de faire de la méthode de M. Kronecker, en prenant pour point de départ les quantités u, o, XD, %> et je serais au terme de mes recherches si la marche que j'ai suivie ne conduisait encore à une autre fonc-
lion cyclique dont je vais dire quelques mots. Aux expressions
U«=a«FF|F2F3F4 et V« = a«HH|HaHsH4, composées avec les
facteurs F et H de l'invariant du dix-huitième ordre, on peut
. . ( îv joindre celle-ci : W.= a®GGiG2GsG4, que la substitution ]
laisse invariable, de sorte qu'on en déduit, en la multipliant par n. ou par u^, une fonction du huitième ordre, changeant de signe par cette même substitution, et que Ton peut par conséquent prendre pour u. Soit donc ainsi M=^uW + 5rtt, on aura, à l'égard de l'équation A = o, cette conséquence remarquable que les coefficients dep'^^pçj q^ étant du seizième, du dixième et du quatrième ordre, cette équation ne contient pas le terme en pq. Mais j'ajourne l'étude de cette nouvelle espèce de fonctions, et je vais terminer en reprenant sous un autre point de vue la question déjà traitée des conditions de réalité des racines de l'équation du cinquième degré.
En désignant par A, B, C les invariants fondamentaux et posant
