UÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ

Comptes rendus de l'Académie des Sciences y l. XLVf , i858 (I ), p. 961 .

On sait que loule équalioii/(j7) = o peut être transformée en une autre du même degré en j/* par la substitution j^ = ç(j;), où ça: désigne une fonction rationnelle. Ce procédé de transformation, qui est si fréquemment employé en Algèbre, va nous servir pour ramener Téquation générale du quatrième degré aux équations particulières qui ont été considérées dans un précédent article, et dont j'ai exprimé les racines au moyen des fonctions elliptiques. Mais, en raison de son importance, et notamment de son application à la résolution de Téquation du cinquième degré, ce mode de transformation m'a paru demander une étude nouvelle, et je commencerai d'abord par en donner les résultats.

Soit

f{x) = ax" -4- bx"-^ -!-...-+- gx* -h hx -^ A' = o

Inéquation proposée; l'expression la plus générale de ox sern^ comme on le sait, une fonction entière du degré n — 1 , savoir :

0(X) = / -+- tf^X -4- tiX' -+-. . .H- t„^iX"-^.

Gela posé, en représentant la transformée en y par

l'un quelconque des coefficients, tel que/?/, sera une fraction ayant pourdénominateurrtf''""'^',etpournumératcur une fonction entière^

TIIÉORÈSIES D'ALGBBKE ET ÉQUATION DU OUATRIÉHE DEGRÉ. 3l

homogène, de degré i par rapport à ^, /o? ^^ • • -^ ^/f^a? et de degré (// — \)i par rapport aux coefficients a, 6, . . ., /i, A*. Ce degré si élevé rend en quelque sorte impraticable le calcul de l'équation en y^ aussi ce qui a été obtenu Je plus important par la considération de cette transformée, en particulier le théorème de M. Jerrard sur l'équation du cinquième degré, ne semble établi qu'à titre de possibilité, en raison de Texcessive complication des opérations nécessaires pour parvenir à un résultat effectif. Mais on peut surmonter ces difficultés par la proposition suivante :

Soit

to = aTo -h bTi

gT„^i-h hT„ -t,

Cette substitution effectuée dans la fonction pi la changera en une fonction Pi du même degré par rapport aux indéterminées nouvel/es T, To, T|, . . ., T„2j fficiis débarrassée de tout dénominateur, et du degré i seulement par rapport aux coefficients a^ b^ . . , A, k. De plus, P„ sera divisible par a, de sorte que - P„ ne sera que du degré n — i par rapport à ces coefficients.

Cette proposition, très facile à établir, conduit à la véritable forme analytique qu'il est convenable de donner à la fonction ç(j:), de sorte que désormais la formule de transformation sera ainsi représentée :

y = -^(x) = ftT

- fi.r -b

- bx

■ ax^

et Téqualion transformée par

-h PjJ^''-* -

^ bx'^-^

tous les coefficients étant des fonctions entières de ceux de f\J:).

Une autre conséquence résulte encore de l'introduction des

variables T, To, T,, . . ., T,,2. On sait de combien de travaux a

3a GEUVHES DE CHARLES I1ER.M1TE.

été l'objet la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées, et combien de notions analytiques importantes cette étude a données à l'Algèbre. Par exemple, ces fonctions désignées sous le nom à! invariants, en raison même de la propriété qui leur sert de définition, de se reproduire dans toutes les transformées par des substitutions linéaires, donnent les éléments qui caractérisent les propriétés essentielles des racines des équations algébriques, celles qui subsistent dans ces diverses transformées (*). D'autre part, la connaissance acquise de ces fonctions, et de celles qu'on nomme covariants, permet, dans beaucoup de circonstances, d'obtenir sans efforts le résultat de longs calculs qui, sans leur emploi immédiat, n'eussent au fond servi qu'à les mettre en évidence, ou à faire ressortir dans une question spéciale l'une des propriétés dont on possède maintenant la signification la plus étendue. Mais tant de beaux résultats, dont la Science est surtout redevable aux travaux des savants géomètres anglais MM. Gayley et Sylvester, semblent ne pouvoir être utilisés lorsqu'on sort de la comparaison des équations par des substitutions linéaires de la forme

aX-+-3 .. ., Ix-^ (\) a? = — r; ^1 OU bien X= -i