III. — Applications à la géométrie analjrtique

La recherche des axes principaux dans les courbes du second degré dépend de ce problème.

Étant proposé le polynôme

/= AX«-f-2BXY-4-GY«,

déterminer les coefficients de la substitution

:r = ctX-f-a'Y,

^'^ ( j.= px + 3'Y,

et les quantités e, e', de manière qù!on ait identiquement

(2) AX»-H2BXY-hGY«=ea7ï-he>î et

Il s'agit, comme on voit, de trouver les valeurs de six quantités inconnues, £ et e' d'une pari, et de l'autre les coefficients de la substitution; et pour cela on a, en effet, six équations qui résultent de l'identification des termes semblables dans les relations (2) et (3). Mais nous éviterons comme 11 suit la considération de ce système compliqué d'équations.

Désignons par X une quantité indéterminée; on aura

Cela fait, cher-chons l'invariant du second membre.

L'invariant du polynôme (e — X)^'*-|-(e' — ^)^*? ^^ J considérant a: et ^ comme les indéterminées indépendantes, sera

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGENES.

{e — )^)(e' — ^); donc, si Ton fait la substitution (i), l'invariant du polynôme transformé sera

a et

Maintenant, si on Tégale à celui du premier membre, on arrivera à la relation

et OL

Or, il en résulte immédiatement que les deux quantités e et e' sont les racines de l'équation du second degré en X

Une autre conséquence à remarquer, c'est que, le coefficient de X^ •dans le premier membre étant l'unité, on a

Pour achever la solution, en regardant e et e' comme connus, on fera successivement, dans l'équation (4)» X = e, X = e', et l'on en •déduira les valeurs de x'^ et^'^, de sorte que les fonctions linéaires aX-fa'Y, pX-hP'Y peuvent dès lors être regardées comme <;omplètement déterminées.

Passons à la question analogue pour les surfaces du second •ordre.

Le problème est alors :

Étant proposé un polynôme à trois indéterminées

/= AX«-^- A'Y*-f- A'Z«-4- 2B YZ -h 2B'ZX -t- îB'XY,

-déterminer les coefficients de la substitution

et les quantités e, e', e*, de manière qu'on ait identiquement

X«-hY«-HZ«= ar«-+- j^«-+- ^«.

Soit, comme précédemment, \ une indéterminée, et déduisons de ces deux relations la suivante

Nous commencerons encore par chercher l'invariant du second membre. Observons, à cet effet, qu'en considérant x, y^ z comme les indéterminées indépendantes, l'invariant du polynôme

est simplement

d'où il résulte qu'en faisant la substitution (5), l'invariant du polynôme transformé sera

Maintenant, si on l'égaie à celui du premier membre, on arrivera à la relation

a CL' d"

Ainsi, les quantités e, e', e" sont les racines de l'équation du troisième degré en X

-HaBB'B'-(A-X)B«-(A'-X)B'«-(A'— X)B'«=o,

et l'on obtient encore, comme précédemment, cette conséquence

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGENES. 4^^

que le carré du déterminant

a pour valeur l'unité, de sorte que Tinvariant du second membre de la relation (6) se réduit à

Il nous reste à déterminer les coefficients de la substitution (5), c'est à quoi nous parviendrons en égalant les polynômes adjoints des deux membres de la relation (6). Mais nous avons d'abord une observation importante à faire. De l'identité

résultent les six relations suivantes

/ «1 -Hpî -+.Y» =1, a'a'-f-3'p'-4-Y'Y'=o,

aa' -1- pp' -+- yy' = o.

Or il s'ensuit, qu'étant proposé le système d'équations

on en tire

\ OL" u -h ^"V -H y'w = -20,

«; = YiFu-4-Y>u-t-Y'^o.

Substituons, en effet, ces valeurs dans les équations proposées, on les trouvera immédiatement identiques, en vertu des relations (7). En nous bornant, par exemple^ à faire la substitution dans la première équation

aa -h pPH- Y**' = ^0,

on trouvera pour le premier membre

«(«a?o-Ha>o-^a''«o)-^?(Mo-+- P>o-t- P'^o)-t- y(Y^o-»- Y>o-+-y'*o),

ou bien

a7o(a«-4- p«-+-Y')-+-J^o(««'-+- P?'-4-Ty')^-'»o(«'a-+- P'? -H t'y),

ce qui se réduit bien à Xq,

Cette remarque faite, passons à la recherche du poljnome adjoint du second membre de la relation (6). Pour cela nous aurons à effectuer la substitution suivante

«'(e — X)a:-h?'(e'— X)^-4-Y'(e'-X)^=^o, a'(e-X)arH-p''(e'-X)^-^Y'(e''-^)^ = «o,

dont les premiers membres sont les moitiés des dérivées du polynôme (e — 'k)x^-h(e' — ^)^^-f-(s*' — ^)^^ prises par rapport aux indéterminées indépendantes X, Y, Z. Et, comme nous avons remarqué que rinvariantde ce polynôme est (e — a)(^' — ^)(^ — ^)' en nommant ç le résultat de la substitution précédente, le polynôme adjoint sera, d'après la définition même, ég^al à

cpx(e-X)(£'-X)(e'~X).

Or, en représentant pour un instant par w, ç, w les quantités (e — X)^, (e' — X)y, (e* — X)^, les équations (g) coïncideront avec les équations (8), ainsi, d'après la résolution qui a été effectuée de ces dernières, nous trouverons

a =(ê —\)x= aLXQ-\- l'y-Q-r- a'^o, i'=(e'-X)^=pa7o-hp>oH-P'^o, m'=(ê'— X) z = Y^o-HY'^o-^-Y''2o•

11 en résulte pour la transformée en a?o, J^o? ^o du polynôme

(e X)^«-h(Ê'-X)7*-+-(e'-X)^«, l'expression

-^ 717x0^0-+- p>o-H p'^o)*-^- p^ry ^"^^«"^ iy<^-^ Y^o)\

et l'on voit qu'en mettant X, Y, Z au lieu de a?o, jKo? ^o? on pourra

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGÈNES. 457

écrire simplement

d'où suit, pour le polynôme adjoint du second membre de Téquation (6), l'expression

çx(e — X)(e'— X)(6'-X)= (e'— X )(e'- X)ar«

Cela posé, faisons successivement

dans le polynôme adjoint du premier membre de l'équation (6), savoir/ — X(X^-h Y^-h Z*^), on trouvera qu'il se réduit :

Dans le premier cas à (e' — e) (e'' — e)j:^. Dans le deuxième cas à (e" — £')(^ — ^')y^i Dans le troisième cas à (e — s")(ê' — e")^^>

de sorte que les carrés des trois fonctions linéaires qui nous restaient à déterminer étant connus par les seules quantités e, e', e*', ces fonctions elles-mêmes et les coefficients de la substitution (5) sont complètement déterminés.

L'analyse que nous venons d'employer s'étend d'elle-même au cas d'un polynôme à un nombre quelconque d'indéterminées, et nous pensons n'avoir besoin de rien ajouter pour que les élèves puissent faire eux-mêmes cette généralisation. Mais il nous reste à démontrer que toutes les quantités dont nous avons donné la détermination ont des valeurs toujours réelles.

Rien n'est plus facile pour le cas des polynômes à deux indéterminées

/= AX*-t-'2BXY4-GY«.

En effet, nous avons trouvé sous la forme suivante l'équation

en X, savoir

et en suppos^ant, pour fixer les idées, A >> C, on voit immédiate-

ment qu'en substituant dans le premier membre les valeurs

il prendra les signes

L'équation proposée a donc deux racines réelles : l'une plus grande que A, l'autre plus petite queC, et nous pourrons supposer que la première soit e et la seconde e'. Cela posé, les valeurs obtenues pour les carrés x'^ et y'^ donnent, en y faisant, par exemple, Y = o, les équations suivantes

et, d'après ce que nous venons de dire, on reconnaît qu'elles sont positives; donc a et ^ sont réels, et il en serait de même pour a' et ^'.

Abordons maintenant la même question dans le cas plus difficile des polynômes à trois variables.

Afin d'indiquer complètement tout ce qu'il est nécessaire de connaître pour étendre au cas général la méthode que nous allons suivre, nous démontrerons d'abord ce lemme, qui est important en lui-même :

Lorsque Vinvaviant d^un polynôme homogène du second degré se réduit à zéro, le polynôme adjoint est un carré parfait.

Considérons, par exemple, les polynômes à trois variables /•= AX«-h A Y*-f- A'Z^H- 2B YZ -H 2B'ZX -f- iB^'W,

et prenons, mais sans supposer les coefficients réels, la substitution que nous avons précédemment déterminée :

:r = aX-ha'Y-ha*Z, j.= ?X^P'Y-f-p'Z, 3 = YX-^Y'Y-hY'Z,

de telle sorte qu'on ait

THÉORIE DES POLYNOMES IlOMOtiÈNES. 4^9

Nous avons trouvé, quelle que soitrindéterminée X, le polynôme adjoint de

égal à

donc, supposant X = o et désignant par F le poljnome adjoint de/, on voit que la substitution ci-dessus donnera en même temps

Cela posé, si l'invariant de f est nul, l'équation qui a pour racines e, e', e", savoir

sera vérifiée pour X = o, de sorte que l'une de ses racines s'évanouira. Or on voit qu'alors des trois carrés dont se compose F un seul subsistera, ce qui démontre la proposition annoncée. Observons que dans le cas du polynôme à deux variables

celte proposition serait évidente, car le polynôme adjoint étant alors S.y'^ — ^Ba^j'-f-Cr^ est un carré parfait en même temps que/, lorsque l'invariant AC — B^ est nul. Ce seul cas nous suffira même pour ce qui va suivre, comme on va voir.

Mettons l'équation en X, en employant la valeur développée du déterminant sous cette forme

( (A'~X)[(A-X)(A'-X)-B'»] ^'^^ \ [(A — X)B«— 2B'BB'-f-(A'-X)B'«] = o,

et considérons l'équation du second degré

(II) (A — X)(A'— X)- B'îrrO.

On a établi tout à l'heure la réalité de ses racines, et l'on a démontré qu'en supposant, par exemple, A >• A' l'une d'elles y^ était plus grande que A, et l'autre V plus petite que A'. Cela posé,

46o OEUVRES DE CHARLES HERMITB.

subslituons dans le premier membre de réquation les valeurs

X=-hao, Tj, r/, — 00,

les signes correspondants aux valeurs extrêmes seront — ooet-f-oo, et nous allons prouver que pour X = y^ il est positif, et pour X=t/, négatif. Dans ces deux cas, en effet, la première partie de l'équation (lo) s'évanouit, et la seconde, en y considérant, pour un instant, B et B' comme deux indéterminées, représente un polynôme à deux variables, dontrinvariantégalà(A — ^)(A' — X) — B** s'évanouit par hypothèse. Quels que soient donc B et B', ce polynôme sera du signe de son premier terme; mais nous savons que l'on a

A— Tj<o, A— Tj'>o;

les résultats des substitutions ont donc les signes que nous avons annoncés. 11 s'ensuit que l'équation en X a ses trois racines réelles; la plus grande, e, supérieure à ti; la moyenne, e', comprise entre r, et y/; la plus petite, e", moindre que V- Et en même temps on obtient cette conséquence que les racines de l'équation (i i) étant comprises, l'une entre s et e', l'autre entre e et e'^, le polynôme

possède exactement la propriété caractéristique de la fonction dérivée du premier membre de l'équation (9). On remarquera aussi qu'il suit du mode de détermination précédemment obtenu pour les coefficients a, 3, y, . . ., qu'on a ces valeurs

Or, d'après ce qu'on vient de dire, et en ayant égard à Tordre de grandeur des quantités e, e', £", on reconnaît immédiatement que ces valeurs sont positives. Maintenant il suffit d'avoir prouvé que al' est réel, par exemple, pour en conclure que a' et a le sont aussi. Comparant, en effet, les termes en YZ et ZX dans le développement de (aX -h a' Y -+- a"Z)2 et du polynôme adjoint de

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGENES. 46l

f — €(X'''-h Y^H- Z^), on trouvera pour a' a" et a" a des expressions réelles; donc, etc.; et Ton raisonnerait de même par rapport aux quantités p', ^' et f, /.

Nous terminerons ce sujet en faisant remarquer que la méthode suivie pour établir la réalité des racines de l'équation du troisième degré en X a déjà été donnée par M. Cauchy, mais sous une forme un peu diflerente, dans le troisième Volume des Exercices mathématiques. Nous ferons voir aussi, en peu de mots, qu'elle s'étend immédiatement aux équations générales relatives à des polynômes homogènes du second degré à un nombre quelconque de variables, équations qui s'offrent dans la détermination des inégalités séculaires des éléments du mouvement elliptique des planètes.

Considérons à cet effet l'équation en \ de degré /ï 4- i» dont le premier membre serait le déterminant

An^,=

ûtn,l «/i,î ••• ««,n — ^ «/i,rt-»-l

««-+-1,1 «n-t-l,î ••• «n-+-t,/i «/ï-Hl,n-t-i — ^

les quantités a, j vérifiant pour toutes les valeurs des indices la condition aij= ay^,. Nous supposerons qu'on ait démontré la réalité des racines de l'équation analogue, mais de degré /i, dont le premier membre serait le déterminant

ai,i — X a,,, ... ai,« «j,t «î,î— X ... ai,«

An =

et nous nommerons ces racines, rangées par ordre croissant de

grandeur,

TQlï T^t» ""^s, -..î Tfin.

Nous supposerons aussi qu'on ait démontré que le déterminant déduit du précédent, en supprimant la dernière colonne verticale et la dernière ligne horizontale, savoir

An-.,=

Jhi OEUVRES DE CUARLBS HBIMITE.

.ya«i<«^ U propriété caractéristique de la dérivée première de Ar, 4f?!:«e pdur rapport à X, c*est-à-<lire que, si Ton y fait les substitu-

^ = ^jlï ^lî» ""il- • • •» ""iw

les >içaes des résultats seront respectivement

et lie présenteront que des variations. Cela posé, nous décomposer«>u> Xt+i ^n deux parties comme il suit :

«ni

«ltH-I,«-»-| X