HI

La première sera évidemment le produit de 0^,^.1 ^,^i — A par le déterminant !„? et la seconde, en v considérant pour un instant <*i,/M-«* ^*i.«+»' •••? ^«,«4.1 comme n indéterminées, sera au signe près le polynôme adjoint du polynôme suivant :

— X„ [ a^^i Xi -»- an^i Xj ^ . . . — ( a^,^ — X 1 X, ].

duut fiu\ariaut est précisément A^. Or. en substituant au lieu de a. »luu^ A,,4.|. la série des racines t,, de Téquation A^ = o. cet inva- I »aul "s*évanouira, et alors le polynôme adjoint, se réduisant à un » tinv parfait* sera toujours du même si«:ne, quelles que soient les vti(^ur5 des quantités <i|.i,^.i, <ï2.«^>i, ...• rt/».«^i. Maintenant il est j\iflii> de voir que le coefficient de a^.,^, sera le déterminant A«i, «itlv^lédu signe — . Donc pour les valeurs

THÉORIB DES POLYNOMES HOMOGÈNES. 4^3

les Signes correspondants de A,,^, seront ceux de — A;,,, c'està-dire, d'après ce qu'on admet,

Joignons enfin à ces substitutions les suivantes : X= — oo et )w = -|-oo; en observant que le premier terme de A,;^| est ( — \)"'^*j on trouvera finalement que les signes de cette fonction pour

X = — 30, r^i, Tj5, 7)3, ..., *jr)«, H- 30

seront

De là résulte que, sous les hypothèses admises, Téquation A,|^, = o a toutes ses racines réelles. Et de plus on voit par les limites entre lesquelles sont comprises ces racines que A;, jouirait, par rapport à cette équation, de la même propriété que la fonction dérivée du premier membre. Dès lors, les propriétés que nous voulions établir dans toute leur généralité découlent immédiatement de ce qu'elles ont été démontrées dans le cas particulier que nous avons eu en vue pour la recherche des axes principaux des surfaces du second ordre.

IV. — Théorème général sur la réduotion des polynômes homogènes du second degré par des substitutions à coefficients réels, à des sommes de carrés.

Ce théorème s'énonce ainsi :

De quelque manière qu'on Crans/orme un polynôme du second degré à coefficients réels en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant affectés de coefficients numériques également réels, le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le même.

Ainsi, par exemple, étant proposé le polynôme

464 CECVIES DE CHAILBS IIERMITK.

oa ae pourra par aucune substitution réelle de la forme

x» = a^ X^^ ?• X, H- . . .-h xo X„.

' X,= X,X*-r-S«Xi-r-...-»-X«X„,

le transformer en un autre polvnome tel que

(3, «Xî-Xî-...-XÎ-^XU,^XÎ^,-H...-f-XA,

k étant différent de i. C'est ce cas particulier auquel se ramène immédiatement le théorème général que nous allons établir.

Et d*abord on peut supposer k > i, car, s'il en était autrement, on résoudrait les équations (2) par rapport aux indéterminées X, et Ton raisonnerait sur cette nouvelle substitution à coefficients réels comme ceux de la proposée. Cette résolution d'ailleurs n'est jamais impossible, car, en nommant pour un instant 3 le déterminant relatif aux équations (2), on sait que Tinvariant du polynôme (i), à savoir ( — i)'"*"*, sera le produit de Tinvariant du polynôme (2) dont la valeur est ( — i)*^*, multiplié par le carré de 0; et cette relation monti*e que 8 n'est jamais nul.

Cela posé, parmi les diverses équations auxquelles les coefficients de la substitution (2) doivent satisfaire, on voit s'offrir en premier lieu celle-ci :

- aj— af -^. . .- a? -h at*^, -h a?^, -f-. . .-h aj = - i,

qui m* pourrait évidemnienl être vérifiée que par des valeurs imaginaires des quantités a, si Ton avait

3to=o, a, = o, ..., ai = o.

Or on va voir comment, en admettant la substitution (2), il est possible d'en déduire une nouvelle, qui, changeant le polynôme (1) en le polynôme (3), ait ses coefficients réels, et de plus présente ce caractère que l'indétenninée Xo ait disparu dans les expressions de J\, r,, ..., x^^f. Comme on suppose A' > /, k — i sera au moins épd à i\ et, les conditions précédemment énoncées se trouvant réalisées, notre théorème se trouve par là même démontré.

\ cet effet, nous commencerons par remarquer qu'on peut,

sans changer le polynôme (3), y remplacer Xo et X| par XqCos© -4- X| sin», Xosiny — X| cos',p, et introduire par là un angle arbitraire cp dans les formules (2), qui deviendront

Xo = {oLo coscp -+- Po sincp)Xo-4-(ao sincp — 3o coscp)Xi-4-. . ., Xi =(ai coscp -f- p, sin<p)Xo-l-{ai sincp — pi coscp)Xi-h. . .,

Maintenant, et quels que soient les coefficients a, p, . . ., on pourra disposer de cet angle de manière à avoir

«0 coscp -\- Po sin<p = o,

et Ton sera amené à une nouvelle substitution également réelle où l'indéterminée Xq aura déjà disparu dans la valeur de Xq. Cela fait, partons de cette nouvelle substitution pour y introduire de nouveau un angle arbitraire, en remplaçant X| et X2 par X, coscp -+- X2 sincp, X| siny — X2 cos'^, ce qui se fera encore sans changer le polynôme (3). On voit, en raisonnant comme tout à l'heure, qu'on pourra annuler le coefficient de X| , dans l'expression de Xq. Or des calculs analogues pourront être continués jusqu'à ce qu'on soit amené à remplacer X;t, et X^ par Xj^.i cos'^ + Xa sincp, X*| sin^ — X^coscp, et en dernière analyse on voit que de la substitution (2) on aura déduit par des opérations toujours possibles une substitution réelle dans laquelle Xq, X,, ..., X;^.^ auront disparu de l'expression de l'indéterminée x^^. Ce premier point établi, nous concevons qu'on répète, en raisonnant sur la valeur de l'indéterminée suivante J7|, des opérations toutes semblables, mais en se bornant à faire disparaître de proche en proche, dans l'expression de cette indéterminée, les coefficients de Xo, X^, . . ., X;fr 2. On n'aura ainsi besoin d'introduire dans les substitutions successives que les indéterminées Xq, X<, ..., X;fr<, de sorte que, ces calculs faits, on ne verra reparaître dans la valeur de^o aucune des indéterminées qui en ont déjà été éliminées. Cela posé, il est clair qu'en raisonnant d'une manière analogue successivement sur X2, Xz, ..., on sera en dernier lieu conduit à faire disparaître la seule indéterminée Xo de la valeur Xft i. Elle ne se trouvera point d'ailleurs, dans les indéterminées précédentes x/f 2j ^A 8, . . ., Xq, et de la sorte on sera parvenu à une dernière substitution, conséquence de la substitution (2), changeant encore le polynôme (i) en le polynôme (3) et qui tombe dans le cas indiqué H. — II. 3o

466 OEUVRES DE CHAILES BBRMITE.

plus haut, où il est manifestement impossible que les coefficients soient des quantités réelles.

Passons maintenant au théorème que nous voulions établir.

Supposons qu'un polynôme homogène quelconque du second

degré k n -{- i indéterminées, /{Uq^ u% £/«), soit transformé

d'une première manière en une somme de carrés affectés de coefficients numériques, par la substitution réelle

il£o = û^o ^0 H~ ^0 "^l ~*~ • • • "^ ^"o^m a, = ai aro-+-6, x,-f-...-+-X-,jr«.

"«= ««îTo -^ bnTx-r-, ..-I- A-|,J"/,,

de sorte qu'on ait

/( Mo, "I, . . M "n ) = Eo^î -I- El J*! -^ • • • -^ E„ Xj .

Si l'on donne une seconde substitution également réelle

££u = Ay Xq -h Bo X| -H . . . -i- Ko X„,

M, = A, Xo-hB, X|-4-...-f- K,X„,

Mrt = AnXo-+- B«Xi-r-. . .-î- K/iX^Y

de laquelle résulte la transformation analogue

/(Mo, M,, ..., a,i)=T,oXJ-4-T,,Xî-u...-f.rj„Xî,

il s'agit de prouver que le nombre des quantités e, qui auront un signe donné, sera égal au nombre de quantités r», qui auront aussi le m/'me signe.

A rei effet, et pour fixer les idées, supposons négatives les quanrir/'^ £^, e,, ..., e/, et positives les suivantes e/^i, e/^.»? — ^«- Supp''»sons aiis^i f(ue r,o, 7ji, ..., r,* soient négatifs, tandis que 7;*j.i. ^.kui, . . ., ^// seront positifs. On aura d'abord, en égalant entre elles >/•< f\frnt f'xpressions du polynôme proposé/(Wo, f/|, ..., w„),

lt,Tl — î, 37? H- . . .-4- £„XÎ = T,o XJ -+- r^i X} -h . . . H- TJn XJ,

J^* '/;if i;ibleH étant liées par ces relations,

a., T^, ^ fj^xi-h. . .-^ /cq J-n = Ao X» -T- B,, X| -h. . . -i- Ko X^, '/f y., - />»! j"i -h. . .-4- X'i T,i = A| Xo-!- B, Xi -+-. . .-h Kl X,,,

//,! /.,— //„ j^, — ... H- X:,i x„ = A„ Xy -!- B„ Xi -h . . . -«- K,i X^.

TIIÉOBIE DES POLYNOMES HOMOGÈNES.

Maintenant remplaçons Xu,X|, ...,a:i d'une part, Xi^i^Xi^2-"^^n

-y I r » • • • > ei y > ■ ,

de Tautre, par ^ !zi -7==» •• •» y ' et , » -7=' • • •»

Xft X| X*

Remplaçons de même Xq, X|, ..., Xa par /— 1^> / *

et Xa+i, Xa+2, . . ., X;, par -7=='

amené à la relation

/— 'îo /— lit s/—'^k

^Tl*-f-l V''IAh-î

on se trouvera

= - XS- X? -. . .- XÎ-+. XL, -+. XL, -^. . .^- Xî,

les variables x dépendant des variables X, par les relations à coefficients réels

, Xq h , X\

Ao a,

/ ^ I -I- . . . -1 T= aT/t

/— TQl

Xn,

^—6, /en

^Xo+^|i=X,

-ilo

/— êo yZ—ei

^- .Xo4--I^Xi + ...+ ^X«.

•TQO

Or, en résolvant ces équations par rapport auï indéterminées x^ on sera conduit à une substitution réelle, telle que

a^o = «0 Xo -h Po X.1 -+- . . . -f- xo Xrt, Xx =a,Xo-h Pi Xi -+-... -4- xiX„,

F«=a„Xo-l- PnX,-l-...H-x„X„,

et l'impossibilité d'une telle substitution a été démontrée précédemment. Ajoutons encore que la résolution d'équations dont il vient d'être question n'est sujette à aucun cas d'impossibilité ni d'indétermination, si l'invariant du polynôme proposé

/(Mo, M„ ...,an)

est différent de zéro, et si aucune des quantités e n'est nulle. Nommant, en effet, A cet invariant, et S le déterminant relatif aux équations (4), on aura, comme conséquence de l'équation

la relation

d'où il résulte bien que S ne peut être supposé nul.

La proposition que nous venons de démontrer montre comment la distinction en diverses espèces qui a été faite de polynômes à trois indéterminées, au point de vue géométrique de la distinction des diverses surfaces du second ordre qui sont douées de centre, peut s'étendre à des polynômes à un nombre quelconque d'indéterminées. Chaque espèce de ces polynômes se trouvera définie par le nombre des carrés qui se présenteront affectés de coefficients positifs ou négatifs, lorsqu'on fera évanouir les rectangles par une substitution réelle. Et la propriété essentielle de cette classification consistera en ce que tous les polynômes qu'on peut déduire les uns des autres par des transformations linéaires à coefficients réels, offriront tous le même caractère spécifique. Mais ces considérations vont recevoir une nouvelle et importante application dans la question suivante.

V. — Sur la détermination du nombre des racines réelles des équations numériques qui sont comprises entre des limites données.

Nous considérerons une équation à coefficients réels quelconques (le degré /?, F(v^)= o, dont les racines, su|>posées inégales, seront désignées |>ar a, 6, c, ..., k. Cela posé, soient t une indéterminée réelle, et /le polynôme homogène suivant :

THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGÈNES. ^6g

nous établirons d'abord celle proposition :

En réduisant / à une somme de carrés par une substitution réelle (ou si l'on veut en cherchant l'espèce à laquelle appartient ce polynôme)^ le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des couples de racines imaginaires de l'équation proposée, augmenté du nonibre des racines réelles qui sont plus grandes que t,

Soil, pour abréger,

<p ( Ç ) = ar -+- Ç7 -H Ç« 5 -h . . . -h Ç"- » f , on pourra écrire /de celle manière,

et il est bon tout d'abord de remarquer que la présence des racines imaginaires dans l'équation proposée n'empêchera pas les coefficients de ce polynôme d'être réels. EfTectivement ces racines devant être conjuguées deux à deux, si l'on a a = a -+- p^ — i, une autre racine, b par exemple, aura pour expression 6 = a — py/ — i, et les termes ^ 1 T __ » ou entrent ces racines, seront également des quantités imaginaires conjuguées de la forme A -|- B^ — i et A — By/ — I , dont la somme sera réelle.

Cela posé, il nous est nécessaire d'établir qu'en faisant

/ ar -4- ay -h a'-s -h. . .-4- a'*-^v = X,

\ X -h ky -h k^z -h. . .-{- A'"-* i' = V,

on en tirera, sans impossibilité ni indétermination, les valeurs de J7, ^, :;, . . ., exprimées linéairement en X, Y, Z, .... Effectivement ces équations peuvent s'écrire ainsi

^(a)=X, cp(6)=Y, ..., cp(A-)=V, et la formule d'interpolation de Lagrange donnera immédiatement

470 OBUTBES DB CHABLB8 HBBMITB.

Or, en égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de 2^, on obtiendra les expressions linéaires de x^y^ js, ..., çn X, Y, Z, ..., sans autres dénominateurs que les quantités P(a), F'(fr), ..., F'(Ar), dont aucune ne s'évanouit, puisque par hypothèse l'équation proposée n'a pas de racines égales.

Ce point établi, considérons en premier lieu le cas où les racines Uj bj c^ ...j k seraient toutes réelles. On pourra alors employer la substitution (i) pour reconnaître l'espèce à laquelle appartient le polynôme/, car, exprimé en X, Y, Z, . . ., il devient

et l'on voit que le nombre des carrés affectés de coefficients positifs est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes que t. La proposition annoncée se trouve ainsi immédiatement démontrée dans ce premier cas.

Supposons, en second lieu, la présence d'un ou de plusieurs couples de racines imaginaires, et soient, pour fixer les idées, a = a-f- P^ — I, fr = a — p^ — i. Alors la substitution (i) n'est plus à coefficients réels, mais nous observons qu'elle le deviendra en mettant, au lieu de X et Y, X + Y^/ — i et X — Y^ — i. Effectivement, au lieu des équations f (a)= X, ^ (fr) = Y, on aura les suivantes :

;p(a)= (p(a -H p/^)= X-h Yy/IIT,

et l'on voit bien que les nouvelles indéterminées X et Y seront

la partie réelle et le coefficient de y/ — i dans l'expression

cp(a-+- P/ — i). Semblablement, s'il se présente un autre couple de racines imaginaires conjuguées c et d^ au lieu de poser cp(c)= Z, çp(rf) = U, on écrira

cp(c;=Z-hUv/^=T, ç(rf)=Z-U/^.

Cela posé, effectuons, dans le polynôme /, la substitution (i), modifiée comme on vient de l'expliquer par rapport aux racines imaginaires. Les termes de ce polynôme qui correspondent aux racines réelles donneront précisément, comme dans le premier

THKORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. ^71

cas, autant de carrés affectés de coefficients positifs, qu'il y aura de racines moindres que /; ainsi nous n'avons plus à considérer que les termes correspondants aux racines imaginaires conjuguées. Soient a et 6 deux racines de celte espèce; les termes

— -— y^(a)-f- , .y^(fe) deviendront, en effectuant la substitution,

i(x^Yv/=T)'^^(x-Y/=:T)'.

expression susceptible d'une réduction remarquable.

Soit en effet = pfcoscp -hv — i sino), t étant réel; t :

sera la quantité conjuguée, à savoir = p(cos© — y/ — i sincp),

et notre expression deviendra

p [(cos ? +v/=Tsin î) (X ^- Yv/~)j'

^ p r/cos2 — /TTsinSVx — Y/=r7)1* ou bien

2 p ( X ces - — Y sin ? ) — 2 p ( X sin î h- Y ces - ) •

Nous sommes donc amenés à cette conclusion, que la présence d'un couple de racines imaginaires conjuguées dans le polynôme/ donne lieu à deux carrés dont l'un est affecté d'un coefficient positif, et l'autre d'un coefficient négatif, quel que soit t. Et en général, si l'équation proposée contient [jl couples de racines imaginaires, les termes du polynôme f qui contiennent ces racines donneront lieu à jjl carrés affectés de coefficients positifs et à pi carrés affectés de coefficients négatifs. Le nombre total des carrés affectés de coefficients positifs qui s'offriront pour caractériser l'espèce à laquelle appartient le polynôme sera donc, comme nous l'avons annoncé, le nombre de couples des racines imaginaires augmenté du nombre des racines réelles de l'équation proposée qui sont plus grandes que /.

Désignons par (/) ce nombre total des carrés affectés de coefficients positifs, et représentons par t^ et t^ deux valeurs distinctes de l'indéterminée t dont la première soit plus grande que la seconde. Il est visible que l'expression (^1) — (/q) sera précisément

le nombre des racines réelles de l'équation proposée F(^)= o, qui sont comprises entre les limites /^ et /|. Maintenant il ne nous reste plus que quelques mots à ajouter pour montrer que le polynôme f peut s'évaluer au moyen des coefficients de Téquation F(?J)= o. Observons, à cet effet, que tous les coefficients de/ sont

de la forme

ai bi ci ki

Or, en décomposant en fractions simples -rr- — -^ on prouvera

/' F' < M „ ai bi ki

= Uit)

n(/) désignant la partie entière. Si donc on divise /' F'(/) par F(/), et qu'on désigne par R le reste de la division, on aura précisément

K gi bi ki

La quantité désignée par (t) se trouvera donc en réduisant à une somme de carrés un polynôme du second degré entièrement connu; mais cette détermination des coefficients peut être évitée par l'analyse suivante qui se fonde sur la proposition déjà démontrée, que tous les polynômes déduits de /, par des substitutions réelles, appartiennent à la niéiiie espace, c'est-à-dire qu'en les réduisant d'une manière (juelronque à une somme de carrés, on arrivera toujours au même noml)re de carrés affectés de coefficients positifs ou négatifs.

Soit

Téquatlun proposée. Posons

nous ferons en [»remier lieu la substitution propre à rendre identique, par ra[)port à rindélerminée ^, l'équation

Kn comparant dans les doux uiembres les coefficients des mêmes

THÉORIR DES POLYNOMES HOMOGENES. 473

puissances de Ç, on déterminerait effectivement les valeurs de x^ y^ 3, ..., en X, Y, Z, — Mais il suffit de remarquer qu'en mettant à la place de î^ les racines a, 6, ..., A*, on en tire les relations

Il s'ensuit que le polynôme /, que, pour abréger, nous écrirons ainsi :

se change par cette substitution dans le suivant

le signe \] indiquant la somme de tous les termes relatifs aux

diverses racines a, 6, . . ., A*.

Cette transformation obtenue, nous en ferons une seconde, en remplaçant X, Y, Z, . . ., V, par des indéterminées qu'il convient de représenter ainsi : Çq, Ç|, Ç27 •••? ^«-o et cela en posant

] Z =Çn-3-+-/?lÇn-k-l-/>ïÇ«-5-+-.-.-+-/>n-jÇo»

' V = Ço.

On arrive alors à cette conséquence, que les fonctions linéaires ^(a), ^(6), . . ., ^(^), peuvent être représentées parles quotients

= — ^-^j ^ ,, ••• ç — ^, SI, la division faite, on remplace dans

chacun d'eux une puissance quelconque de s? ^elle que Ç', par l'indéterminée si. Nommant donc Ç' une seconde quantité analogue à Ç, il est clair que l'expression

représentera parfaitement, et sans ambiguïté possible, ce que de

474 OEUVRRS DE CHARLES HKRMITB.

vient, par la substitution (A), le polynôme

pourvu que, les divisions effectuées, et après avoir ordonné par rapport à Ç, on écrive d'abord Çi au lieu de s', sans toucher d'ailleurs à Tindélerminée Ç'; puis, cette opération faite, qu'on remplace semblablement t^'* par Ç,, après avoir ordonné par rapport à Ç'.

Ceci bien compris, rien ne sera plus facile que de saisir les transformations successivement indiquées dans les équations suivantes :

= Fa)F(o2réç:(^-f^)

Lu dernière nous conduit à employer les relations bien connues

de sorte que le résultat de la substitution (A) dans le polynôme f se trouve représenté par cette expression très simple, et de laquelle ont disparu les racines a, 6, . . ., X*, savoir

Quelques applications suffiront au lecteur pour se rendre familière cette métamorphose curieuse d'une fonction entière de deux variables Ç et X^ en un polynôme homogène du second degré, et l'on verra sans peine un algorithme pratique, qui permet d'effectuer rapidement cette transmutation de la première expression uualytique dans la seconde. Mais, pour abréger, nous supprimerons ces détails et nous nous bornerons à remarquer que, lorsqu'on

donne numériquement les limites ^09 ^19 on doit, pour obtenir les quantités nommées précédemment (Iq) et (^i), opérer sur les expressions

(/o-;)F(;)F(;-)-(ro-C)F(r)F(;)

çTTw >

dont les coefficients sont purement numériques, et non pas sur l'expression générale, contenant l'indéterminée t. A la vérité, on trouverait de cette manière (après avoir fait disparaître les rectangles des variables) les coefficients des carrés exprimés par des fonctions de t, dans lesquelles on pourrait substituer a posteriori les valeurs ^0 et /< ; mais l'opération serait beaucoup plus embarrassée et plus longue.

Supposons, par exemple, qu'on veuille savoir combien de racines de l'équation

sont comprises entre zéro et l'unité. On trouvera d'abord (suppression faite du facteur positif 3) que l'expression

donne le polynôme quadratique à trois indéterminées

Ce polynôme pour ^ = o se réduit à

ÇÎ-«-2ÇoÇî+4ÇiÇ» = (Ço-Çi)'-(Ci-^Ç.)«+3ÇÎ;

et, si l'on y fait / = i , il devient

-îiÇo'-3ÇÎ-ÇÎ-+-2Çi;o^-4îiÇt = -(Çî-^Çi)«-t-(;i-Ço)»-3ÇJ.

Dans le premier cas on obtient deux carrés affectés de coefficients positifs, et aucun dans le second; ainsi : (0)= 2, (i)= 1; de sorte que le nombre des racines de l'équation proposée qui sont comprises entre zéro et l'unité, est égal à 1 , différence des quantités (o) et (i). Observez enfin que, pour une valeur de t infiniment

grande et positive, § se réduit au polynôme qu'on décompose aisément comme il suit :

-(C.-Ço)'-^(ç,-^;o)*-.^«.

Donc, comme on n'obtient aucun carré affecté de coefficient positif, le nombre des racines de l'équation proposée qui sont supérieures à l'infini, augmenté de la moitié du nombre des racines imaginaires, c'esl-à-dire évidemment le nombre des couples de ces dernières racines, se réduit à zéro. Ainsi l'équation proposée a toutes ses racines réelles.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les considérations précédentes, qui ont fait voir toute l'importance de cette opération algébrique si simple et si élémentaire, qui consiste à mettre un polynôme homogène du second degré sous la forme d'une somme de carrés. Mais, ainsi que nous l'avons promis en commençant, nous reviendrons, pour la compléter, sur le mode particulier de décomposition qui a été donné au paragraphe I.

Considérons, par exemple, un polynôme à quatre variables y(a:,y, z, v)] la méthode dont nous parlons conduit à un résultat de cette forme,

et, comme il importe surtout de connaître les facteurs e, e', e", e'",

dont les signes déterminent l'espèce du polynôme, nous allons

donner le moyen de les calculer directement.

A cet effet, nous observons que l'invariant du second membre

sera, d'après les théorèmes précédemment établis, le produit ee' s" s'",

multiplié par le carré du déterminant relatif aux fonctions

linéaires