X -+- ay -h bz -h cf

y-ha'z-^ b'v,

THÉORIE DKS POLYXOMKS HOUOGÉNKS. 477

Or on reconnaît que ce déterminant se réduit à son terme principal, qui est l'unité.

Nous pouvons ainsi regarder comme connu le produit ss^s^s'". Cela posé, faisons dans l'équation précédente v = o, un raisonnement tout semblable montrera que es' s" est l'invariant du poljnome à trois variables y(x, y, 5, o).

Continuons de même en supposant p = o, -3 = 0, puis enfin i; = o, 5 = 0, y = 0, on trouvera successivement que e, e' est l'invariant de/(x, r, o, o) et s le coefficient de x^, dans le polynôme proposé. Ces quatre coefficients pourront être calculés d'une manière directe, comme nous l'avons annoncé.

En général, soit /{Xq^ Xt, ..., x,,) un polynôme homogène à n -H 1 indéterminées; nommons A/ l'invariant du polynôme qu'on en déduil en annulant toutes les indéterminées Xi^^, J^i+a, . . ., -T/i, et Aq le coefficient de xj, on trouvera par la méthode de décomposition en carrés, dont nous nous occupons, le résultat suivant :

les fonctions linéaires ayant cette forme,

X/ = Xi -4- axi^i -+- bxi^i -h . . . -+- kj'n,

où ûf, 6, . . ., Xr sont des constantes réelles.

L'espèce à laquelle appartient le polynôme / se détermine donc directement d'après le nombre des termes positifs et négatifs de la suite

. Al Aj A„

Ao A, Art|

ou, ce qui revient au même, d'après le nombre des variations et des permanences de la suite

Ij *^o» '^lï ^ii •••1 ^n-l» A/i»

C'est donc de ces quantités que dépend la détermination de l'expression désignée tout à l'heure par (/) dans le polynôme

011 dans celui qui a pour expression symbolique

(<-OF-(g)F(?;-)-(/-C)F(C)F(;)

Relativement au premier de ces polynômes, on trouve ainsi que

le signe \] représentant la somme des termes qu'on déduirait du

premier en y faisant toutes les permutations des racines. Or ces formules sont précisément les fonctions de M. Sturm, sous la forme que leur a donnée M. Sylvester; de sorte que les considérations précédentes peuvent être considérées comme donnant une démonstration nouvelle du théorème de ce célèbre géomètre, démonstration dont le principal caractère est de n'employer aucune considération de continuité.

A ces dernières observations sur la réduction d'un polynôme du second degré à une somme de carrés, nous ajouterons un procédé donné par M. Moutard, professeur à Paris, pour effectuer l'opération dans un cas où la méthode serait en défaut, par exemple s'il était question du polynôme

f = oLxy H- p^r^ H- -^yz dans lequel les carrés des variables n'existent pas. On observe que

et qu'on peut ensuite écrire

^(OLX -\-^Z)(OLjr -^ ^z)= [ a 37 -+- a^ -^ ( y -h ^ ) 3 ]*

ce qui donne bien une décomposition du polynôme proposé en trois carrés. Et l'on pourrait opérer d'une manière semblable dans les cas analogues relatifs à un nombre quelconque d'indéterminées.

SUR