DES COURBES GAUCHES

Nouvelles Annales de Mathématiques, 2* série, t. V, 1866, p. ^gy.

On donne dans l'enseignement un calcul un peu long pour déduire de la formule

I ^ df p '^ ds

l'expression du carré de l'inverse du rayon de courbure au moyen des coordonnées x, y^ z et de l'arc 5, savoir

\ = -^^{{^dxd^y -- dy d:^x)'^'\-{dy d>z--dzd'^yy-\-{dzd:^x^dxd^zY\^

la variable indépendante étant quelconque. On peut l'abréger comme il suit.

Soit pour un instant

dx , dy dz

a = —7-* 0 = — j- 1 c = -j-i ds ds ds

et faisons

ûf' = aH-é/a, b' •= b -^ db^ c' = c -^ de,

l'angle de contingence d<f sera donné par la formule relative au sinus, savoir :

sin*rf'f =(a6'— 6a')»H-(ac'- ca')^-{-{bc'—cb')^]

48o OEUVRES DE CHARLES IlERMITE.

de sorle que Ton aura iminédialement d'^^ en calculant les expressions ab' — ba' ^ Or on trouve

ah'— ba' = a{b -+■ db)^ b{a -h da), = a db — b da, __ dx , dy dy , dx "^ ds ds ds ds

et cette dernière expression donne lieu à la réduction suivante

dx d^y ds — dy d^s dy d^x ds — dx d^s ^dx d^y — dy d>x ds ds* ds ds^ ~ ds*

On a donc par un calcul bien facile

,, , , dxd^y — dyd^x ,

ab—ba= , . d$^

as*

et semblablement

, dx d^z — dz d^x ,

ac — ca = p- ds.

ds*

ds* d'où suit, comme on voit, la formule annoncée.

SUR L'INTÉGRALE ff^-

Annali di Matematica, t. I ('2* série, 1867, p. i55).

' présente deux cas bien distincts, suivant

que Texposant m est pair ou impair; dans le premier, elle est

transcendante, dans le second, simplement algébrique et de la

forme Py/i — x*', P étant un polynôme entier en x qu'on obtient

ordinairement au moyen du procédé de l'intégration par parties,

mais que l'on peut déterminer différemment et de manière à mieux

mettre en évidence sa nature analytique.

Je chercherai en premier lieu le degré de P, en développant

suivant les puissances décroissantes de la variable les deux

membres de l'équation

Dans le premier, le terme le plus élevé en x sera =, et dans

le second aa:H^+'\/ — i, si l'on fait P = 7lxV--\- ol'xV-'* -f-. . .; de sorte

que l'on a

jjL = m — I ,

et l'on obtient en même temps la valeur du coefficient a, savoir

fit Cela fait je poserai, pour obtenir P, ^^ x»»dr

A^ Pv/V^=-«::.