X H- 0 OL — ^X

pour considérer, comme nous le faisons ici, les substitutions les plus générales. Effectivement, aucune combinaison rationnelle des coefficients /?,, p^^ ...^pn ne fait apparaître les covariants de l'équation proposée; mais, comme nous allons voir, il arrive que ces quantités se manifestent, au contraire, immédiatement par l'introduction des variables T, Tq, T|, . . ., T„2. C'est ce qui résulte de la proposition suivante :

Soit

F(X) = (yX -h Q)^/(''^^!) = AX« -h BX«-i -+-. . .-+- HX -+- K = o la transformée par la substitution (i) de l'équation proposée.

(') Par exemple, les conditions qui déterminent le nombre des racines réelles et imaginaires dans les équations à coefficients ré«4s dépendent uniquement des invariants, sauf le cas du quatrième degré. J^ai donné ces conditions, indépendamment du théorème de M. Sturm, pour les équations du cinquième degré, dans un Mémoire sur la tlàéorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. {Cambridge and Dublin maihematical Journal, année i854. )

TUÊORÈMBS d'algèbre ET ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRE. 33

ei représentons l'expression analogue à o(^), mais relative à celte équation, par